高等数学电子课件同济第六版04重积分的应用

1、立体的体积一)(１．曲顶柱体的体积xyz),(yxfzDDdyxfV),(、一般立体的体积2),(yxzz1),(yxzz2DdyxzyxzVD)),(),((12一、二重积分的应用解:设两个直圆柱方程为,222Ryx利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为:dxdyxRVD22822022xRdyxRdxxRR022)(83316R222Rzx22xRz00:),(22RxxRyDyxdxR08222Ryx222Rzx:解求两球交线的投影zRzzyxRzyx消去由2222222222243Ryx投影柱面方程D投影域22243Ryx222yxRz222yxRRzdyxRRyxRVD)]([222222dRRdR2302220)2(3125R实例　一颗地球的同步轨道通讯卫星的轨道位于地球的赤道平面内，且可近似认为是圆轨道．通讯卫星运行的角速率与地球自转的角速率相同，即人们看到它在天空不动．若地球半径取为R，问卫星距地面的高度h应为多少？通讯卫星的覆盖面积是多大？(二)、曲面的面积卫星hoxz１．设曲面的方程为：),(yxfz,Dxoy面上的投影区域为在,Dd设小区域,),(dyx点.)),(,,(的切平面上过为yxfyxMS.dsdAdAdsszd则有，为；截切平面为柱面，截曲面轴的小于边界为准线，母线平行以如图，d),(yxMdAxyzso面上的投影在为xoydAd,cosdAd,11cos22yxffdffdAyx221DyxdffA221曲面S的面积元素曲面面积公式为：dxdyAxyDyzxz22)()(1所以当曲面的方程为：),(yxfz,Dxoy面上的投影区域为在dxdyxyDyzxz22)()(1３．设曲面的方程为：),(xzhy曲面面积公式为：.dzdxAzxDxyzy221２．设曲面的方程为：),(zygx曲面面积公式为：;dydzAyzDzxyx221同理可得，含在圆柱体axyx22内部的那部分面积.由对称性知14AA,1D：axyx22曲面方程222yxaz,于是221yzxz,222yxaa解)0,(yx1221412224Ddxdyyxaacos0220142adada.4222aa22和222yxaz)0(a所围立体的表面积.解解方程组,22222yxazazyx得两曲面的交线为圆周,222azayx在平面上的投影域为xy,:222ayxDxy得由)(122yxaz,2axzx,2ayzy221yxzz22221ayax,441222yxaa知由222yxaz221yxzz,2dxdyyxaaSxyD222441故dxdyxyD2daada022204122a).15526(62a(三)、平面薄片的质心设在),(yxxoy12(,)xy22(,)xy(,)nnxy1m2mnm设在平面上有n个质点，它们分别位于点，……处，质量分别为…，由力学知识知道该质点系的质心坐标为，11niiyiniimxMxMm11niixiniimyMyMm1nyiiimx1niiMm其中1nxiiiMmy为该质点系的总质量为该质点系对y轴的静矩。为该质点系对x轴的静矩。当薄片是均匀的，质心称为形心.,1DxdAx.1DydAyDdA其中,),(),(DDdyxdyxxx.),(),(DDdyxdyxyyxoyD(,)xyD设有一平面薄片占有平上的闭区域，在点处的面密度为，在上连续，则该薄片）yx,(）yx,(的质心：求位于两圆sin2sin4和薄片的重心.oyx42D解：利用对称性可知0x而DydxdyAy1Dddsin312dsin4sin22d04sin9562956d204sin295637C。之间均匀0sin31d43212个质点，它们分别位于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处，质量分别为nmmm,,,21．则该质点系对于x轴和y轴的转动惯量依次为niiixymI12，niiiyxmI12.(四)、平面薄片的转动惯量),(2DxdyxyI.),(2DydyxxI薄片对于轴的转动惯量x薄片对于轴的转动惯量yxoyD(,)xyD设有一平面薄片占有平上的闭区域，在点处的面密度为，在上连续，则该薄片）yx,(）yx,(的对坐标轴的转到惯量：设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别为a、b，求这三角形对其中任一直角边的转动惯量.解设三角形的两直角边分别在x轴和y轴上，如图aboyx对y轴的转动惯量为,2dxdyxIDybabydxxdy0)1(02.1213ba同理：对x轴的转动惯量为dxdyyIDx2.1213aboyxba已知均匀矩形板（面密度为常数）的长和宽分别为b和h，计算此矩形板对于通过其形心且分别与一边平行的两轴的转动惯量.解先求形心,1DxdxdyAx.1DydxdyAy建立坐标系如图oyx,hbA区域面积因为矩形板均匀,由对称性知形心坐标b,0x.0yhDxdxdyyI222222hhbbdxdyy.123bhDydxdyxI2.123hb},,,{zyxFFFF,)(),(23222dayxxyxkFDx,)(),(23222dayxyyxkFDy.)(),(23222dayxyxakFDz为引力常数k(五)、平面薄片对质点的引力xoyD(,)xyD设有一平面薄片占有平上的闭区域，在点处的面密度为，在上连续，求该薄片）yx,(）yx,(对位于z轴上的点（0,0,a）处单位质量的质点的引力。求面密度为常量、半径为R的均匀圆形薄片：222Ryx，0z对位于z轴上的点),0,0(0aM处的单位质点的引力．)0(a解由积分区域的对称性知,0yxFFdayxyxakFDz23)(),(222dayxaD23)(1k222oyzxFdadaR0222023)(1k.11222aaRka所求引力为.112,0,022aaRka立体体积••占有空间有界域的立体的体积为zdydxdV二、三重积分的应用例1.求半径为a的球面与半顶角为的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为:则立体体积为zdydxdVcos202ardrdasincos316033)cos1(3443arMO说明:当2334aVcos20ar020时,0sind20drdddrsin2就得到球的体积设物体占有空间区域,有连续密度函数,),,(),,(dxdydzzyxdxdydzzyxxx,),,(),,(dxdydzzyxdxdydzzyxyydxdydzzyxdxdydzzyxzz),,(),,(),,(zyx则其重心坐标为:当),,(zyx常数时,则得形心坐标：,Vdxdydzxx,VdxdydzyyVdxdydzzzdxdydzV物体的体积2.物体的重心一个炼钢炉为旋转体形，它的曲面方程为3039222zzzyx,)()(若炉内储有高为h的均质钢液，且不计炉体的自重，试求它的重心。解：利用对称性可知重心在z轴上，故0yx)41229(923hhhzdydxdVhzdzz02)3(9zDhdxdyzd0oxhzVzdydxdzz则钢液体积yx)41229(922hhhV钢液体积,)3()(9222zzyxhzdzz022)3(9zDhdxdyzdz0zdydxdzMz)51233(923hhh225409043060hhhhhVMzZ物体的转动惯量设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数),,(zyx类似于讨论物体重心的方法,先用“大化小,常代变”得到质点系对z轴的转动惯量近似值:kkkkkkv),,()(22令,就得到物体对z轴的转动惯量0zdydxdzyxyxIz),,()(22类似可得:zdydxdzyxIx),,(zdydxdzyxIy),,(nk1zI)(22zy)(22zxxyoz的转动惯量.解:取球心为原点,z轴为l轴,设所占域为2222:azyx则zIzdydxdyx)(22552a5158addrdrsin2用球坐标xzy132220d34sinrd03sin)sinsincossin(222222rrrdra04问题：如何用截面