第九章-质点动力学的基本方程

１．动力学的研究对象动力学是研究物体运动的变化与作用在物体上的力之间的关系。２．动力学的主要内容（1)牛顿力学或经典力学。包括动量定理、动量矩定理、动能定理。惯性参考系：相对于参考系静止不动或作匀速直线运动的系统。非惯性参考系：相对于参考系有加速度的系统。牛顿三定律只适用于低速、宏观物体。相对论力学或量子力学（2)分析力学的一些内容和机械振动的基本理论，如动静法、虚位移原理、拉格朗日方程和单个、两个自由度的振动问题。３．动力学的形成和发展与社会进步的关系（1)动力学与钟表中国古代计时方式，主要有三种：铜漏；香篆；圭表。世界上最早的机械钟雏形：东汉张衡所造的浑象仪。计时方法的关键：标准等时运动。伽利略通过实验得到了“摆的小摆动周期与摆长的平方根成正比”的结论，从理论上为钟表的核心装置——摆奠定了基础。伽利略对自由落体和摆的研究也标志着人类对动力学研究的开始。1657年，惠更斯完成了摆钟的设计。他还发表了一系列关于单摆与动力学的重要研究结果，如向心力和向心加速度的概念。1676年，英国学者胡克发表了胡克定律，使人们对弹簧出现了两项改进；弹簧发条储能器的改进；弹簧摆轮（或游丝）的发明。基于这两项改进，便于携带的钟表、怀表、手表开始出现。现代钟表由三部分组成：动力部分、传动部分和控制部分。更精密的时标：石英晶体振动或原子振荡→→电子表。（2）动力学与现代工业机器和机械设计上的均衡问题、振动问题和稳定问题，结构物在冲击和振动环境中的动态响应，交通运输工具的操纵性、稳定性和舒适性以及动力学载荷的作用、震动等都属于动力学问题；高速运转机械的动力计算、高层结构受风载及地震的影响，宇宙飞行、火箭的推进技术和运行等，更包含着许多动力学问题。４．动力学的力学模型（1）质点：指具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以忽略不计的物体。（2）质点系：指由几个或无限个相互有联系的质点所组成的系统。包括固体、弹性体和流体。（3）刚体：其中任意两个质点间距离保持不变的固体。（4）力学模型简化的条件由所研究问题的性质所决定，具有相对的概念。第九章质点动力学的基本方程本章内容及分析思路根据动力学基本定律质点动力学的基本方程求解质点的动力学问题§9-1动力学的基本定律第一定律(惯性定律):不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。第二定律(力与加速度之间的关系的定律)惯性：不受力作用的质点(包括受平衡力系作用的质点)，不是处于静止状态，就是保持其原有的速度(包括大小和方向)不变。基本表达式：Fmvdtd（9—1）在经典力学范围内，上式可写为maF（9—2）式(10—2)是质点动力学的基本方程，建立了质点的加速度、质量与作用力之间的定量关系。第三定律(作用与反作用定律)§9-2质点的运动微分方程由质点动力学第二定律，有nFFF,,21质点受到n个力作用时，22ddiimaFrmFt或（9—3）（9—3）’式（10—3）’是矢量形式的微分方程。1、质点运动微分方程在直角坐标轴上的投影riFziyixiFFF,,39设矢径在直角坐标轴上的投影分别为x，y，z，在轴上的投影分别为，则式在直角坐标轴上的投影形式为:力222222,,xiyizixyzmFmFmFtttdddddd（9—4）2、质点运动微分方程在自然轴上的投影,0,tnbaaana点的全加速度ɑn式中和为沿轨迹切线和主法线的单位矢量，如图所示。式(9—3)在自然轴系上的投影式为2,,0ttinibivmaFmFF（9—5）nitiFF,biF式中和分别是作用于质点的各力在切线、为轨迹的曲率半径。主法线和副法线上的投影，而3、质点动力学的两类基本问题1)第一类基本问题：已知质点的运动,求作用于质点的力.2)第二类基本问题：已知作用于质点的力,求质点的运动.作用在质点上的力可以是常力或变力，变力可以是时间、坐标、速度的函数或同时是上述三种变量的函数。求质点的运动就是求式（9—4）或（9—5）的解，一次、二次积分。积分常数由质点运动的初始条件决定。可见，质点的运动规律不仅决定于作用力，也与质点的运动初始条件有关。〔补例1〕电梯如图所示。已知电梯的加速度ａ＝常数、方向向上。电梯重量为Ｑ，放在电梯地板上的物质重量为Ｐ，求：（1）物体对地板的压力；（2）电梯吊绳的拉力。分析：由题意→→动力学问题→→已知运动求作用力，故属于质点动力学第一类基本问题。解（1）求物体对地板的压力选取重物为研究对象，进行受力分析和运动分析（如图b所示）。建立直角坐标轴，列运动微分方程求解式中FN’,为物体对地板的压力。或PFagPN')1(NNFgaPF（２）求吊绳的拉力。式中Ｔ＝Ｑ＋Ｐ，称为绳索的静反力。〔讨论〕压力FN,由两部分组成：物体的重量Ｐ，静压力；，附加动压力。超重。agP当ａ=ｇ时，FN,=0如果加速度方向向下，总压力为:)1('gaPFN)(PQTagPQd解得)1()1)((gaTgaPQTd〔讨论〕把绳索动反力的值Td和静反力的值Ｔ的比值称为动荷系数，用Ｋd表示：gaTTKdd1取电梯和重物整体为研究对象，受力如图a所示。选坐标轴x，由式（9—4）得投影形式的质点运动微分方程〔补例2〕如图所示桥式起重机上，小车吊着质量为ｍ的重物，沿横向作匀速运动，速度为Ｖ。，吊绳长为１。由于突然原因急刹车，重物因惯性绕悬挂点Ｏ向前摆动。试求刹车后绳索的最大张力及刹车前后瞬间绳索张力的比。分析：由题意→→动力学问题→→质点动力学第一类基本问题，先分析重物位于一般位置时。解取重物为研究对象，受力如图所示。取自然轴如图示，由式（9—5）得重物的运动微分方程投影式为cossin2PTlvmPdtdvm（1）（2）式中ｖ与φ均为变量。〔讨论〕起重机的小车急刹车时，绳索张力发生急剧变化。由式（２）得:)(cos2glvPT由式（1）知：，而ｖ＞０，故重物作减速运动。因此，在初始位置（刚刹车，φ＝０）时，重物的速度最大，，此时，绳索的张力Ｔ’获得最大值，0dtdva1cos,0maxvvv即)1(20max'maxglvPTT刹车前，重物作匀速直线运动。由平衡条件知Ｔ’＝Ｔ＝Ｐ。因此刹车前后瞬间动荷系数glvTTKd20''max1分析：由题意→→动力学问题→→质点动力学第一类基本问题。运动方程是,〔补例3〕质点M的质量为,mtdytbxsin,cos、、db其中求作用在此质点上的力。为常量，解：该质点的加速度在坐标轴上的投影分别为ytddtydaxtbdtxdayx22222222sincos代入式(9—4)，得作用在此质点上的力在yx、轴上的投影为ymmaFxmmaFyyxx22从运动方程中消去时间t，得此质点的轨迹方程12222dybx合力可以表示为rmyjximjFiFFyx22例9-1曲柄连杆机构如图所示.曲柄OA以匀角速度转动,OA=r,AB=l,当比较小时,以O为坐标原点,滑块B的运动方程可近似写为lr/ttrlx2cos4cos412如滑块的质量为m,忽略摩擦及连杆AB的质量,试求当,连杆AB所受的力.时和20t解:研究滑块cosFmax其中ttrxax2coscos21,,,lrmlABrOA设。常量已知:则ttrlx2cos4cos412求:?2,0FAB受力时杆lrlrax222cos,2且时当有lrlFmr222得2222rlmrF这属于动力学第一类问题。当,0,1,02且时rax得12mrFFeE例9-2质量为m的质点带有电荷e,以速度v0进入强度按E=Acoskt变化的均匀电场中,初速度方向与电场强度垂直,如图所示。质点在电场中受力作用。已知常数A,k,忽略质点的重力,试求质点的运动轨迹。tvytktmeAvy00dcosd0d0xvvxv分析：1）由题意→→动力学问题→→质点动力学第二类基本问题。2）求质点的运动轨迹→→质点运动方程。解:y取质点为研究对象，受力如图10-3所示。质点运动微分方程在轴和轴上的投影式xkteAtvmtymtvmtxmyxcosdddd,0dddd2222(a)按题意,0,00yxvvvt时以此为下限,式(a)的定积分为，解得0ddvtxvxktmkeAtyvysindd(b)做定积分为下限时以上两式以,00yxt,dd000tvxxttytktmkeAy00dsind得质点运动方程轨迹方程1cos02xvkmkeAy1cos,20ktmkeAytvx(c)00v0xy[讨论]如果，则运动方程式(c)为，式不变，这是一个直线运动。mRF[补例4]在均匀的静止液体中，质量为的物体M从液面处无初速下沉，如图a所示。假设液体阻力，其中为阻尼系数。试分析该物体的运动规律及其特征。分析：由题意→→动力学问题→→质点动力学第二类基本问题。解：将坐标系的原点固结在该点的起始位置上，x轴铅垂向下。该质点的受力图如图b。运动微分方程为或式中.mb/0t00v起始条件：时，，式(a)的定积分为解得0t00x再分离变量，运动起始条件为时，，则有积分得这就是该物体下沉的运动规律。时，该物体下沉速度将趋近一极限值由式(b)知，当t0bte时，mgbgv称为物体在液体中自由下沉的极限速度。应用：采矿工程中的选矿、农业中的选种。[讨论]另选坐标系，其原点O在液体底部，x轴铅垂向上。轴的正向画出，则该物体的受力图如图c所示。xx、x设仍按为运动微分方程或0t0,00vHx运动起始条件为时，。通过两次分离变量和积分，可得(说明)在选择参考系、建立质点的运动微分方程时，宜尽可能将质点置于参考坐标系的正向位置，使其速度、加速度的分量也沿着坐标轴的正向；倘若质点的真实速度、加速度的分量是沿着坐标轴的负向，也应沿正向来假设，并画出其受力图，建立它的运动微分方程。3)第一、二类基本问题的综合问题：有的工程问题既需要求质点的运动规律，又需要求未知的约束力，是第一类基本问题与第二类基本问题综合在一起的动力学问题，称为混合问题。60例9-3一圆锥摆,如图所示。质量m=0.1kg的小球系于长l=0.3m的绳上,绳的另一端系在固定点O,并与铅直线成角。如小球在水平面内作匀速圆周运动，求小球的速度v与绳的张力。运动微分方程，得选取在自然轴上投影的受力如图。以小球为研究的质点，解:N96.121/8.91.0cos2smkgmgFsm1.2sin2mFlv绳的张力与拉力F的大小相等。sin2Fvm0cosmgF解得其中sinl分析：由题意→→动力学问题→→质点动力学第一、二类基本问题的综合问题。例9-4粉碎机滚筒半径为Ｒ，绕通过中心的水平轴匀速转动，筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石的能量，铁球应在时才掉下来。求滚筒每分钟的转数n。0解：视铁球为质点.受力如图b.cos2mgFRvmNRnv30其中21)]cos([30mgFmRRnN0NF分析：由题意（滚筒转动；求使铁球在处筒壁的法向约束力＝0的滚筒转速）→→动力学点动力学第一问题→→质、二类基本问题的综合问题。列出质点运动微分方程在主法线上的投影式于是解得于是得铁球将落下，这时时当,0,0NF0cos549.9Rgn球不脱离筒壁。时当,49.9Rgn５）求出末知的力或运动。对第二类问题要应用运动初始条件确定积分常数。〔总结〕求解质点动力学问题的主要步骤：1）选取某质点为研究对象