哈工大威海理论力学学习课件-配哈工大第七版第11章

第十一章动量矩定理§11-1质点和质点系的动量矩1．质点的动量矩对点O的动量矩()OMmvrmv对z轴的动量矩()()zOxyMmvMmv代数量,从z轴正向看,逆时针为正,顺时针为负.vmr)(vmMO)(vmMz[()]()OzzMmvMmv1()nOOiiiLMmv1()nzziiiLMmv2．质点系的动量矩对点的动量矩对轴的动量矩[]OzzLLOxyzLLiLjLk即（1）刚体平移()zzCLMmv()OOCLMmv二者关系（2）刚体绕定轴转动iiiiizzrvmvmML)(2iiiiirmrrm2iizrmJ－－转动惯量zzJLdd()()ddOMmvrmvttdd()ddrmvrmvtt§11-2动量矩定理1．质点的动量矩定理设O为定点,有d()()dOOMmvMFtFv0质点对某定点的动量矩对时间的一阶导数,等于作用力对同一点的矩.－－质点的动量矩定理d()()dxxMmvMFtd()()dyyMmvMFtd()()dzzMmvMFt投影式:ddd()()dddOOiiOiiLMmvMmvttt(e)d()dOOiLMFt质点系对某定点O的动量矩对时间的导数,等于作用于质点系的外力对于同一点的矩的矢量和.(i)(e)d()()()dOiiOiOiMmvMFMFt(i)(e)d()()()dOiiOiOiMmvMFMFt2.质点系的动量矩定理0－－质点系的动量矩定理(e)d()dxxiLMFt(e)d()dyyiLMFt投影式:(e)d()dzziLMFt问题：内力能否改变质点系的动量矩？3．动量矩守恒定律若则常量。(e)()0zMFzL有心力：力作用线始终通过某固定点,该点称力心.()0OMF()Mmvrmv常矢量若(e)()0OMFOL则常矢量,面积速度定理：质点在有心力作用下其面积速度守恒.(1)与必在一固定平面内,即点M的运动轨迹是平面曲线.rvd(2)drrmvrmbt常量ddrrt即常量d2drrAddAt因此,常量面积速度思考：谁先到达顶部？(e)sinOMMmgRRmgMmvRJtsin][dd22sinmRJmgRMRa已知：,小车不计摩擦.,,,,MJRma求:小车的加速度.RvmJLO解:Rvatvdd由,得例11-1已知：,,,,,,不计摩擦.mOJ1m2m1r2r求:（1）NF（2）O处约束力（3）绳索张力，1TF2TF例11-2)(222211rmrmJO(e)1122()()OMFmrmrg2222112211)(ddrmrmJgrmrmtO由,得(e)d()dOOLMFt222111rvmrvmJLOO解：(1)（2）由质心运动定理CyammmgmmmF)()(2121NNF212211212211)(mmmrmrmmmmamammymyaiiiCCy1111T11rmamFgm)(11T1rgmF)()(221121NrmrmgmmmF（3）研究1m22222T2rmamgmF)(22T2rgmF2m（4）研究求：剪断绳后,角时的.已知：两小球质量皆为,初始角速度。m0例11-3020221maamaLz2)sin(22lamLz时,00时,202)sin(laa12zzLL解：§11-3刚体绕定轴的转动微分方程12,,,nFFF主动力:d()()()dizzizNJMFMFt()ziMFd()dzziJMFt即:()zzJMF或22d()dzzJMFt或转动微分方程约束力:21NN,FF已知：物理摆（复摆），。求：微小摆动的周期。aJmO,,例11-422dsindOJmgat解：sin微小摆动时，mgatJO22dd0dd22OJmgat即：)sin(tJmgaOO通解为称角振幅，称初相位，由初始条件确定.OmgaJTO2周期求：制动所需时间.t已知：，动滑动摩擦因数。RFJNO,,,0f例11-500N0ddtOJfFRt0NOJtfFRNddOJFRfFRt解：1111RFMJt2222MRFJt2122112211iJJiMM21121221,,,,MMRRiJJ1已知：。求：。解：ttFF121221RRi因，，得例11-621nziiiJmr§11-4刚体对轴的转动惯量1.简单形状物体的转动惯量计算(1)均质细直杆对一端的转动惯量3d320lxxJlllz231mlJzlml由，得420(2πd)2π4ROAARJrrr222mRmRRmJiiz（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量2πdiiiAmrr（3）均质圆板对中心轴的转动惯量2πAmR式中：221mRJO或2.回转半径（惯性半径）mJzz2zzmJ或2CzzJJmd3．平行轴定理Czdzz式中轴为过质心且与轴平行的轴，为Cz与轴之间的距离。即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积.2211()CziJmxy)(222yxmrmJiiz])([2121dyxmiiiimdymdyxm2121212)(证明：2CzzJJmd04．组合法OJ求：.ld已知：杆长为质量为，圆盘半径为，质量为.1m2m盘杆OOOJJJ231mlJO杆2222)2()2(21dlmdmJO盘)83(222ldldm)83(3122221ldldmlmJO解：21JJJz2222112121RmRm解：222πmRl211πmRl其中2212π()lRRm由，得)(212221RRmJz44121π()2zJlRR222212121π()()2lRRRR21,,RRm已知：。zJ求：.5．实验法思考：如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？将曲柄悬挂在轴O上，作微幅摆动.mglJT2由lm,TJ其中已知,可测得，从而求得.6.查表法均质物体的转动惯量薄壁圆筒细直杆体积惯性半径转动惯量简图物体的形状212lmJCz23lmJz32lCz3lz2mRJzRzRlh2薄壁空心球空心圆柱圆柱)3(1221222lRmJJmRJyxZ)3(121222lRRyxzlR2)(222rRmJz)(2122rRz)(22rRl232mRJzRz32Rh23圆环圆锥体实心球225zJmRRz5233π4R2223103(4)80zxyJmrJJmrl)4(80310322lrryxz2π3rl223()4zJmRr2243rRz222πrR矩形薄板长方体椭圆形薄板2222()444zyymJabmJamJb222122babayxzπabh222222()12()12()12zyymJabmJacmJbc)(121)(121)(121222222cbcabayxzabc2222()121212zyymJabmJamJbbabayxz289.0289.0)(12122abh§11-5质点系相对于质心的动量矩定理1．对质心的动量矩CCiiiiiLMmvrmvCiiirLrmviCirvvvCiiCiiirLrmvrmv(')0iiCiiCrmvmrvxyz'x'y'zCCrOimir'iririivmr'?0(')OCiiLrrmv')CiiiirmvrmvCvmCLOCCCLrmvLeddddOCCCiiLrmvLrFtt2相对质心的动量矩定理eeCiiirFrFddddddCCCCCrLmvrmvtttxyz'x'y'zCCrOimir'irCv0()eiFed'dCiiLrFted()dCCiLMFt－－质点系相对于质心的动量矩定理质点系相对于质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩.思考：如何实现卫星姿态控制？动量矩守恒定律实例航天器中反作用轮姿态控制系统示意简图例11-7已知：均质圆盘质量为m，半径为R，沿地面纯滚动，角速度为。求：圆盘对A、C、P三点的动量矩。CAPCAP解：点C为质心22mRJLCC点P为瞬心232mRJLPP或2321222mRmRmRLRmvLCCP2)12(212222222mRmRmRLRmvLCCA是否可以如下计算：23)(22mRmRJJLCAAee()CCCmaFJMF2e22e2ddd()dCCCrmFtJMFt§11-6刚体的平面运动微分方程平面运动随质心平移绕质心转动投影式：eee()CxxCyyCCmaFmaFJMFetene()CtCnCCmaFmaFJMF以上各组均称为刚体平面运动微分方程.已知：半径为r，质量为m的均质圆轮沿水平直线滚动，如图所示.设轮的惯性半径为，作用于轮的力偶矩为M.求轮心的加速度.如果圆轮对地面的滑动摩擦因数为f，问力偶M必须符合什么条件不致使圆轮滑动?C例11-8M解：N2CxCyCmaFmaFmgmMFr2222N,,,CCCCFrMraMrmrFmaFmg纯滚动的条件：sNFfF即22sCrMfmgrCa0Car已知：均质圆轮半径为r质量为m，受到轻微扰动后，在半径为R的圆弧上往复滚动，如图所示.设表面足够粗糙，使圆轮在滚动时无滑动.求:质心C的运动规律.例11-9tCart21,,sin2CCaSJmr很小解:tsinCmaFmgCJFrcos2mgFrRvmNCrRs0dd2322srRgts)sin(00tssrRg3220,,00vss初始条件grRvs23,000运动方程为trRggrRvs32sin230例11-10已知：如图所示均质圆环半径为r，质量为m，其上焊接刚杆OA，杆长为r，质量也为m。用手扶住圆环使其在OA水平位置静止。设圆环与地面间为纯滚动。求：放手瞬时，圆环的角加速度，地面的摩擦力及法向约束力。OA解:整体质心为C，其受力如图所示r42mgOCAFNFS(a)建立平面运动微分方程FrrFJFmgmaFmaNCNCysCx4222其中：2222429)4()4(1222mrrmmrrmmrJC由求加速度基点法有tconcoOCaaaa投影到水平和铅直两个方向raaraatCOCyOCx41rg203顺时针mgFmgFNs4077103