数学说题—2018全国卷I理科数学第16题

原题呈现16．已知函数2sinsin2fxxx，则fx的最小值是_____________．2018年全国I卷理科命题立意2018年全国I卷理科数学第16题方法规律解答过程变式拓展试题价值解题思路命题立意本题以三角函数为背景：考查三角函数求导，利用导数处理最值问题等知识，考查转化与化归思想、推理论证能力、运算求解能力、函数与方程思想，体现了数学运算、数据推理等核心素养.试题难度：难.16．已知函数2sinsin2fxxx，则fx的最小值是_____________．解题思路的，求已知函数xfxxxf2sinsin22周期辅助角公式换元化归思想xxxxfcossin2sin2最小值xxxf2cos2cos2通过考察函数的极值得到函数的最值函数的单调性导数难点求导解答过程由题意可得：是周期函数，并且最小正周期是xxxf2sinsin22那么可以只需考虑函数在一个周期内的单调性即可，不妨设，2,0xxxxf2cos2cos21cos1cos22cos4cos22xxxx学生求导过程易出错学生在恒等变换过程中易出错因式分解也是难点，令0xf1cos21cosxx或所以.353xxx或或解得10,cos,1,0,32xxfxfx当时，单调递增；单调递减；时，，当xfxfxx,0,21,1cos3.,0,1,21cos235单调递增时，，当xfxfxx单调递减；时，，当xfxfxx,0,21,1cos35.2333f，23335f，0)2(0ff计算边界点和极值点处的函数值得所以函数的最大值是，最小值是.233233方法一解答过程方法二通过三角函数定义和向量可以得到函数的几何意义：oxyBAFCx)sin,(cosxxA)0,1(B)0,1(C)0,(cosxF)1(cossin2cossin2sin2)(xxxxxxf轴上方在xABFAF,2轴上在xA,0轴下方在xABCAF,2=只需求的最大值.历年真题17年全国卷II14.函数23sin3cos4fxxx（0,2x）的最大值是．14年新课标II理科14.函数的最大值为14年全国大纲卷14.函数的最大值为换元化归思想辅助角公式三角函数求最值问题常见类型辅助角公式，利用三角函数的有界性换元化归思想，利用二次函数求最值通过分析函数的单调性求最值xbxaycossin)0(sinsin2acxbxay讨论函数的单调性方法规律变式拓展2cossin2fxxx变式一：函数的值域是________解题思路：通过化简发现，所以解题过程与16题一样.xxxxfcossin2cos22coscos2fxxx变式二：函数的值域是________解题思路：通过化简发现，应用换元化归思想.1cos2cos22xxxf序号知识点课标要求地位作用能力培养1导数的运算掌握1、理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义。2、能求简单函数的导数。3、能进行简单的三角恒等变换。4、了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性。逻辑思维、推理论证、运算求解能力2函数的最值理解3二次函数的性质理解4三角函数、倍角公式掌握5函数的单调性与导数的关系掌握试题价值该题总结了三角函数的周期、倍角公式、复合函数求导及利用导数求单调性等知识点.在以后的高考复习中，求三角函数最值时，不可忽略导数对函数单调性的作用.