非线性扩散方程

第卷特刊年月莆田高等专科学校学报非线性扩散方程卢国富摘要非线性扩散方程作为一类重要的拟线性抛物型方程,来源于自然界广泛存在的扩散现象、渗流理论、相变理论、生物化学以及生物群体动力学等领域在许多情形下所提出的方程具有退化性或其他奇异性由于一方面,这类方程比线性方程和不具退化性或其他奇异性的拟线性方程更能反映某些物理实际,例如,扰动传播的有限性等,所以具有更广泛实际背景另一方面,退化性或其他奇异性的存在提出许多挑战性的问题,使得数学上研究的内容更加丰富多彩,三十多年来,特别是近十多年来,这类方程的研究吸引了国内外众多数学工作者,他们为克服由退化性和其他奇异性带来的特殊困难发展了许多新的思想和工具,大大丰富了偏微分方程的理论关键词渗流方程相似解压力解自由边界等待时间初始迹荟物理背景假设有一种不可压流体在均匀、各向同性的刚性多孔介质中流动由质量守恒定律,有!丝夕口其中表示渗流速度,表示介质的孔隙率,由定律得二一中其中为液导系数,中为总位势,,如果吸附作用、化学作用、渗透效应和热效应皆可忽略则中班其中尹是由于毛细管作用产生的吸力而引起的静力学位势,为重力位势使轴垂直向上由,,得这里我们取坐标!日」,二,。、。、日尺代万一八气口笋十一下三二一口口乙变量与班之间的关系通常按照流体问题的特征和介质的本性可根据经验确定对许。人二曰。品二‘二。。。、尹。二,。、,二、了二、、夕一现,尹正口口幽鳅·且八气口一二二万刁八气口少,一钾顶一注’匹引毛口“器·。“一其中。,。,,均为正常数在适当变量替换后,。”,由即为国家自然科学基金和福建省自然科学基金资助课题莆田高等专科学校学报年月鱼△。厉、兰次日如果流体在水平柱中运动,则相应的方程为加二二二△次如果流体在铅垂柱中运动,则相应方程为色△。,兰次刁当我们考虑单相渗流问题,假设有一种可压流体在均匀、各向同性的刚性多孔介质中流动,由质量守恒定律。口卞其中。为介质的孔隙率常数,为流体的密度,夕为流体的渗流速度对于非流体例如拟塑性流体,需要考虑流量的大小、分子与离子效应等诸多因素的影响,线性的定律不再成立,代替它的是下列非线性关系声一川叫“一,!其中和尸分别表示流体的动量密度和压力,兄和为物理常数如果所考虑的是多方气体,则压力和密度满足下列状态方程尸二万,·其中和万为正常数,于是由,和得。粤一。·加,“一,。对上式进行适当变量替换,即得特别当时鲁一·、一一、。一鲁一··一、。方程娇分别为叭渗流方程不日非渗流方程的代表,后者义称为发展的一方程圣数学问题一渗流方程考虑渗流方程‘△”’,,。尺,了从数学上说方程当时具有退化性,其退化点为扣时,当时具有其他奇异性关于以方程为代表的渗流方程的研究,土要涉及下列几方面内容特刊卢国富非线性扩散方程相似解和明显解解的存在唯一性解的正则性自由边界问题解的初始迹解的渐进性稳定性问题鉴于许多学者工作,这类方程研究已取得令人瞩目的进展相似解和明显解相似解和明显解往往既为我们研究方程解的性质提供了窗口和主要例证,又可以作为上、下解,成为我们进一步研究方程性质的工具令咨。士一刀,,。一“烤代入方程一得。士一一,刀颐’士。一一,一席·可一取,刀使得一刀则二烤满足卜列微分方程丫功士席·可二!∀#∃#%&∋()∗+&,,解[41取a=刀刀,代入(2.2)得刀=l/[2+(m一l)N],(2.4)设O)万则得方程(2.1)径向对称相似解孙,一凡’)十卢一’、“一’心·M(2.5)U‘X,‘;M)一,一{(,一。}·s’,一”)、)“一”扣(x,。M)*一M,(2.6)(2.7)R‘其中B=(m一1)刀/(Zm),而A由(2.7)确定,特别当M=l,称U(x,r;l)为Barenblatt解,i.e.一切、lse卜Iee.少十、、Jl|||/a(m一l){xLzZmNtZa/N(2.8)/rl‘、了!l记ee、口一一XUJU(x,,;1)*一1R,(11)二次压力解(Quadratiepressuresolution):取a二1/(m一l),代入(2.2)得刀=0,令m一1Zm[2+N(m一l)]邮.3)解得f(。一(t。}引’)’“用一,’,故(2.1)有’下列古典解。(x,,),称之为二次压力解.(2.9)r,八}x一,、’“m一,)IJ、.U.1.u气x,I)=}—}It。一I】\U/(2.10)其具有初值u(x,0)一}xI’《m一,’.当N·1,粼淀义莆田高等专科学校学报1999年11月l/(厅卜l)(x,r)。(一。,0]x[0,t。)(2.11)(x,t)任(0,+的)x[O,t。)、!20一0‘于‘一矛‘/产11、、nU了…丈…一一、.产‘矛,X‘了、、”U汀(x,t)为方程(2.1)的弱解,其具有初值…x}’代m一,,,x:o0,x0厂l吠we、一一、.尹ƒ日,X‘了、、”材(111)一次压力解(Linearpressuresolution):当N二1,取a=一1/(m一l)代入(2.2)得刀=1,取t。二O,由(2.3)可解得厅(一,卜}些:(丫士:)+)’“’一”,t脚J(2.12)为方程(2.1)的弱解,其具有初值·(一0,一{号(·二)·}’“”’一”(2.13)以上相似解为我们对方程(2.1)解的性质的研究提供很多十分重要的信息:从Barenblatt解可知,方程(2·,)未必有古典解;解U(x,t;l)存在自由边界国一:(t)一A’‘’‘“/B’‘’,,0;微商vu’一,在自由边界处间断,但有界;suppU(x,,;M)=瓦(,)(0),对‘以有限速度r,(t)单调扩张,且当r小。时Suppu(x,t;对)缩为一点(o,o),此时g(·,t;对)云分人了占。(嵌),对应的初值为oirac测度;有理由认为当m杏l,“(x,r;l)分w(x,t),w(x,t)为热传导方程的基本解widder解:从二次压力解可知,方程(2.1)未必有整体解,suPPU(x,t)可能在有限时间内不扩张(等待时间t’o):从一次压力解可知,方程(2.1)存在行波解.2.解的存在唯一性:(i)]‘一义解的定义:连续、非负、有界的函数“(x,。,(x,。任尽称为方程(2.1)具有初值u0的cauchy问题厂‘义解,当且仅当:vu功存在且局部可积,且卜列积分等式你u。,一vu”’·v。)“dt+伽。(x)。(x,o)“一0,(2.14)对于丫沪任C’,,(风·)满足们(x,T)=O,;。R“且沪(x,t)二0当…小1.(11)当N=1,存在唯一性结果是由O.A.Oleinik,A.s.Kalashnikov和周毓麟[s]在1958年首先给出的,他们考虑形式上更一般的问题u,二[A(u)]。,(x,t)。57u(x,0)=u。(x),x任R,(2.15)(2.16)其中u。(x)为R上的非负的局部可积函数,A(s)0,A,(s)0:A(s)任C’[O,。)且满足条夕I当s0时且A(O)二A,(O)=O特刊卢国富:非线性扩散方程他们先证明问题(2.15),(2.16)解的唯一性,其证明中取,(x·‘)一工[A(u,(x,:))一A(uZ(x,:))一d:为检验函数:然后证明广义解的存在性.令V二A(u),考虑V所满足方程的逼近问题}创‘以一几}F(士k,‘)一MLV(x,0)=w*(x)(2.17)基于对}吮{一致估计,得出}}吮}}。,今在57、的一致估计,用紧性方法证得问题(2.15),(2.16)解的u二中(V)存在,且当A(u。)满足Lip条件时,广义导数(A(u))二在S:上有界;在{u(x,;)0}的任何领域内,。为方程(2.15)的古典解.(111)当N1,唯一性结果相当难.1961年,E.S.sabinina[6]首先给出唯一性结果,D.G.Aronson[7】在1970年利用方程(2.1)的压力方程给出另一个结果,这些结果都是对有界初值u。(x)而言的:Ph.Benilan等[s]利用非线性半群理论建立了初值u。任刀(R“)方程(2.1)解的存在唯一性定理;当初值u。(x)为测度的唯一性定理是由M.Pierre〔9]在1981年给出的.存在性的证明可采用单调逼近的方法,既然有了唯一性定理,方程(2.1)的Cauchy问题的广义解将作为某个单调递减的逼近解序列的极限而得到,特别当初值u。(x)。刀(R“),则相应广义解u(x,t)。L,(S,,)。L‘(瓦).3.解的正则性:(i)当N=l,O.A.oleinik[5]在1958年证明了方程(2.9)的广义解u满足:)‘一义微商(u”,)二存在且有界,即u脚对x是Lip连续的,但Barenblatt解说明广义解可能有更高的正则性.1969年,o.G.Aronson[10]证明了11(。一):11。(、;,、C(:),特另“当}}(一’一”·}}。(*,‘C,贝“}{(·”’一”·11。(、,‘c;对、。、:、:.。。c·,·/2。s;).其中。_min丁1.止匕飞.特另。当。:一,。x、在。上Li。连续.L脚一IJ贝IJuoea,a‘’(瓦);(u’)二对x连续,特别当u(x,,)=0时,(u’):=0;当lm2,则u二存在且对x连续,特别当u(x,t)=0时,u二=0.Barenblatt解表明u们一,对x的Lip连续性是最佳的整体结果,并且H。!der指数一in{l,阎不能再”进·(ii)当N1,解的正则性问题在高维情形下是很困难的.方程(2.1)的cauchy问题广义解的连续性在很长一段时间内一直是公开的问题,直到1979年,LA.Caffarelli和A.Friedman[ll」才证明了广义解的内部H61der连续性和整体连续性,他们的方法基于比较原理;1987年,陈亚浙[12]通过引进广义B:函数推广了文【川的结果,就形式更一般的拟线性退化抛物型方程,证明的广义解的H悦der连续性.由于广义解在有界函数类中是唯一的,莆田高等专科学校学报1999年11月故只要对光滑逼近正解建立一致的H引de:模估计.4.解的自由边界:(i)存在性:当N二1时,o.A.oleinik等【5]在1959年证明了当u。(x)有紧支集,则问题(2.15),(2.16)的解u(x,t)具有扰动传播的有限性.1974年,L.A.peletier[13]指出:如果suPpu。(x)有界,则对任意的tO,VuO,此条件当N1时也成立.(ii)自由边界的一般性质:----一,‘、*田‘*而、。4,二尸才(s)J__.__buppuL’,‘少月介口,兀女宋1寸刀乌不厂“百又十田,a)当N=1,D.G.Aronson[一4]在2970年证明了:若suppu。(x)二(a.,a:),则日两条连续曲线g,(O称之为自由边界,使得一。、,(t)二inf{x。Rlu(x,O0卜suP卜。g,(0)=a,,(一l)‘g,(t)是单调上升,且g,(t)任LIP(0,他们还进一步建立自由边界上的微分方程,即g,’(t+0)=一v二(g,(t),t),u(x,,)o}=、2(‘)+ooi=1,2.11..JRT其中u:(g,(t),t)=limx”幻(,)(x,,)〔P【u}v:(x,,),尸[u]=众x,,)。s了,Vt0,i=l,2Iu(x,,)o}.b)当Nl,令。(,)={xIu(x,,)o}.1950年,L.A.ea瓜relli,A.竹iedman[巧1证明了:若u。(x)在R“上非负,H引der连续且具紧支集,则方程(2.1)的cauchy问题的解扰动传播具有限性即竹0,侧。为有界域,又彻(t)为有界集,称r=吕刃(t)为方程(2.l)j‘一’义解u的自由边界;对Vt:t!0有Q(t!)co(tZ)且存在常数CO,使得inf{IxlIx。姐(‘)卜ct】/“,一,)N·2,,即方程(2.1)的广义解u的支集0(O随着时间的推移不缩小,且其范围最终将扩大到无限大;自由边界具有H。!der连续性,即V叮O,存在正常数C挤,h,使得V(x。,t。)任r且众x。,约;0:t。}门r二必,则当t。。时有u(