高一数学必修4课件：章末归纳总结1

成才之路·数学路漫漫其修远兮吾将上下而求索人教A版·必修4成才之路·数学·人教A版·必修4第一章三角函数第一章三角函数成才之路·数学·人教A版·必修4第一章三角函数第一章章末归纳总结第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4知识结构第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4三角函数任意角和弧度制任意角正角、负角、零角象限角、终边相同的角弧度制1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角角度与弧度的换算：1°＝π180rad，1rad＝180°π°任意角的三角函数三角函数的定义正弦余弦正切三角函数线同角的三角函数关系平方关系sin2α＋cos2α＝1商数关系tanα＝sinαcosα第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4三角函数三角函数的诱导公式公式一～四：α＋2kπk∈Z，－α，π±α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号公式五、六：π2±α的正余弦函数值，分别等于α的余弦正弦函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号三角函数的图象与性质图象正弦曲线、余弦曲线、正切曲线图象特征性质周期性奇偶性单调性最大、最小值函数y＝Asinωx＋φ的图象A，ω，φ对函数图象的影响图象画法五点法变换法三角函数模型的简单应用第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4专题突破第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4专题一任意角三角函数的概念任意角三角函数涉及内容分类解读任意角三角函数的概念是本章的基础，主要包括两个方面：(1)任意角和弧度制．理解任意角的概念及弧度的意义，能正确进行弧度与角度的换算．(2)任意角的三角函数．掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义及三角函数线，能够判断三角函数值在各象限的符号．第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[例1]已知角α的终边与单位圆交于点P(－12，32)，则sin(α＋kπ)(k∈Z)的值是多少？[分析]结合三角函数的定义，利用诱导公式，对k进行分类讨论，求得结果．第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[解析](1)当k为奇数时，sin(α＋kπ)＝－sinα＝－(32)＝－32；(2)当k为偶数时，sin(α＋kπ)＝sinα＝32.第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4专题二同角三角函数的基本关系及诱导公式1．本专题主要包括以下内容：同角三角函数的基本关系、诱导公式．三角函数的有关概念是进一步研究三角函数的基础，是学好三角函数的基石，其主要考查题型为选择题与填空题；同角三角函数的基本关系，利用诱导公式进行三角函数的化简求值及简单三角恒等式的证明，其主要考查形式也是客观题．第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修42．在解答本专题的问题时常会用到数形结合思想、分类讨论思想及函数与方程的思想，具体体现在利用诱导公式进行三角函数化简、求值及“sinθ±cosθ”与“sinθ·cosθ”的相互转化上．[例2]已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈(0，π)，求sin2θ－cos2θ的值．[分析]由sinθ＋cosθ的值求出sinθ－cosθ的值，从而求得sin2θ－cos2θ的值．第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[解析]∵sinθ＋cosθ＝15，∴sinθcosθ＝12(sinθ＋cosθ)2－12＝12×125－12＝－12250.∴sinθ和cosθ的符号相反．又∵θ∈(0，π)，∴θ∈π2，π.∴sinθ0，cosθ0.∴sinθ－cosθ0.∴sinθ－cosθ＝1－2sinθcosθ＝1＋2425＝75.∴sin2θ－cos2θ＝(sinθ＋cosθ)(sinθ－cosθ)＝15×75＝725.第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[例3]已知f(α)＝sin2π－α·cos2π－α·tan－π＋αsinπ＋α·tan－α＋3π，(1)化简f(α)；(2)若f(α)＝18，且π4απ2，求cosα－sinα的值；(3)若α＝－313π，求f(α)的值．第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[解析](1)f(α)＝sin2α·cosα·tanα－sinα－tanα＝sinα·cosα.(2)由f(α)＝sinαcosα＝18可知(cosα－sinα)2＝cos2α－2sinαcosα＋sin2α＝1－2sinαcosα＝1－2×18＝34.又∵π4απ2，∴cosαsinα，即cosα－sinα0.∴cosα－sinα＝－32.第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4(3)∴f(－31π3)＝cos(－31π3)·sin(－31π3)＝cos(－6×2π＋5π3)·sin(－6×2π＋5π3)＝cos5π3·sin5π3＝cos(2π－π3)·sin(2π－π3)＝cosπ3·(－sinπ3)＝12·(－32)＝－34.第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4专题三三角函数的图象与性质三角函数的图象和性质，分别从“形”和“数”这两个不同侧面反映了三角函数的变化规律，我们应结合三角函数的定义，掌握三角函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等有关性质．第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[例4]f(x)＝sin(2x＋φ)(－πφ0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝π8.(1)求φ；(2)画出函数y＝f(x)在区间[0，π]上的图象．[分析](1)利用对称轴的几何意义列方程求解；(2)五点法作图．第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[解析](1)∵x＝π8是函数y＝f(x)的图象的对称轴，∴sin(2×π8＋φ)＝±1，∴π4＋φ＝kπ＋π2，k∈Z.∵－πφ0，∴φ＝－3π4.第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4(2)由y＝sin(2x－3π4)知x0π83π85π87π8πy－22－1010－22第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4故函数y＝f(x)在区间[0，π]上图象是第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4规律总结：(1)对称轴的几何意义是函数在此处取得最值，对称中心的几何意义是在此处函数值为0.(2)五点法是作函数在某一区间上图象的基本方法．第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[例5]已知函数f(x)＝2sin(2x－π6)＋a.(a为常数)．(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的单调递增区间；(3)若x∈[0，π2]时，f(x)的最小值为－2，求a的值．[分析](1)T＝2πω；(2)类比y＝sinx的单调递增区间，整体处理；(3)换元，利用单调性．第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[解析](1)f(x)＝2sin(2x－π6)＋a.∴f(x)的最小正周期T＝π.(2)当2kπ－π2≤2x－π6≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－π6≤x≤kπ＋π3(k∈Z)时，函数f(x)单调递增，故所求单调递增区间为[kπ－π6，kπ＋π3](k∈Z)．第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4(3)当x∈[0，π2]时，2x－π6∈[－π6，5π6]，∴当x＝0时f(x)取得最小值，即2sin(－π6)＋a＝－2，∴a＝－1.第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4规律总结：(1)研究性质前，先要把函数化简为y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式．(2)求最小正周期通常直接利用公式T＝2π|ω|或根据函数图象求得．(3)求三角函数最值常用方法是换元法．第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4专题四数学思想1．数形结合思想数形结合思想是数学中重要的思想方法之一，数形结合解题的特点是：具有直观性、灵活性、深刻性，有较强的综合性．平时解题时要注意运用．第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[例6]函数f(x)＝cosx＋2|cosx|，x∈[0,2π]的图象与直线y＝k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是________．[分析]作出f(x)＝cosx＋2|cosx|和y＝k的图象．第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[解析]f(x)＝cosx＋2|cosx|＝3cosx，x∈[0，π2]∪[32π，2π]，－cosx，x∈π2，3π2.作出函数f(x)的图象如右图所示，则k的取值范围是1k3.[答案]1k3第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修42．分类讨论思想利用分类讨论思想解答分类讨论问题已成为高考中考查学生知识和能力的热点问题．它的实质是：整体问题化为部分来解决，化成部分后，从而增加题设条件，这也是解分类问题总的指导思想．[例7]已知－π6≤βπ4，3sin2α－2sin2β＝2sinα，试求sin2β－12sin2α的最小值．[分析]本题注意隐含条件对结果的制约作用．第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4[解析]∵－π6≤βπ4，∴－12≤sinβ22，0≤sin2β12.∴0≤2sin2β1.∵2sin2β＝3sin2α－2sinα.∴0≤3sin2α－2sinα1，即3sin2α－2sinα≥0，3sin2α－2sinα－10.解得23≤sinα1或－13sinα≤0.第一章章末归纳总结成才之路·数学·人教A版·必修4∴y＝sin2β－12sin2α＝12(3sin2α－2sinα)－12sin2α＝(sinα－12)2－14.当sinα∈[23，1)时，y＝(sinα－12)2－14是增函数，当sinα＝23时，ymin＝－29；当sinα∈(－13，0]时，y＝(sinα－12)2－14是减函数．∴当sinα＝0，ymin＝0.综上，sin2β－12sin2α的最小值－29.