1三角函数化一公式解析一、化一公式三角函数化一公式是指如下的三角函数公式:)cos()sin(cossin2222xbaxbaxbxa,其中22sincosbaa,22cossinbab,、的几何意义如右图所示。特别地,化一公式中的所有“元素”完美地融入直角梯形中。如果0ab,则公式显然成立。不妨假设0ab,则),sin(cossinsincoscossincossin2222222222xbaxxbaxbabxbaabaxbxa同理可得)cos(cossin22xbaxbxa。二、公式的应用化一公式把含有两个三角函数xsin、xcos的线性问题转化成了只含一个三角函数式的问题,从而方便了利用三角函数的有关性质解决最值、单调区间、图象对称轴、对称中心、三角方程、三角不等式、图象变换等方面的有关问题。这些问题均是三角函数的基本问题,但学生往往难以掌握。下面举例说明化一公式的应用及其注意事项。1、三角函数最值问题例1、求函数Rxxxxxf),cos(sinsin2)(的最大值。解析:142sin212cos2sincossin2sin2)cos(sinsin22xxxxxxxxx。于是,函数的最大值是12。例2、求函数Rxxxxf,94sin59sin3)(的最大值和最小值。x22baab2解析:)sin(7)sin(94sin59sin394cos59cos3cos94sin59sin3sin94cos59cos394sin59sin322xxxxxx因此,该函数的最大值和最小值分别是7、-7。例3、已知函数Rxxaxxf,4cossin2)(的小值为1,求参数a的值。解析:Rxxaxf,4)sin(4)(,2tana。因函数的最小值是1,即144a。因此5a。2、三角函数的单调区间例4、求函数2,2,2cos2sin)(xxxxf的单调递增区间。解析:用化一公式将函数简化为42sin22cos2sinxxx。注意到函数的定义域,从而45,4342x。利用正弦函数的单调性立即可知函数f的单调递增区间为2,2。例5、求函数],0[,coscossin32sin)(44xxxxxxf的单调区间。解析:因为362sin22cos2sin3cossin2sin3coscossin32sin2244xxxxxxxxxx。利用正弦函数的单调性,立即得到函数f的单调递增区间为2,653,0,单调递减区间为65,3。3、三角函数的最小正周期周期现象是一种普遍而重要的自然现象,对于描述周期现象的有力工具之一——三角函数,其最小正周期实际问题中扮演着一个重要角色,例如Fourier级数。因此,如何寻求三角函数的最小正周期无疑是一个十分重要的课题。而化一公式无疑又是解决这个问题的一把钥匙。对于例1中的函数,利用化一公式,我们立即可知该函数的最小正周期为。类似地,对于另一高考题:求函数xxsycossin32cos的最小正周期,也可获知其最小正周期为4、三角函数图象的对称轴、对称中心及相关问题例6、若函数Rxxaxxf,2cos2sin)(的图像关于直线8x对称,则参数a的值为多少?解析:利用化一公式,有axaxaxtan),2sin(12cos2sin2。根据题意43,182kaf。进而,1a。对于这个函数,如果图像关于点0,6对称,用同样的方法可知3a。例7、已知函数Rxxxxxf,1cossin23cos21)(2。该函数图象可由Rxxy,sin的图像经过怎样的平移和伸缩变化得到?解析:首先利用化一公式可得Rxxxf,4562sin21)(。4进而,该问题就可迎刃而解。5、解三角方程和三角不等式例8.求三角方程01cos3sinxx利用化一公式和正弦函数的性质,立即可知其解集为Zkkxkxx,6222或。例9.解三角不等式1cos3cossin2sin22xxxx同样地,利用化一公式和正弦函数的单调性立即可知解集为Zkkxkx,42。