扩散方程

电子科技大学物理电子学院周秀丽第二篇数学物理方程本篇主要内容：二阶线性偏微分方程的建立和求解重点：数学物理方程求解方法中的分离变量法和行波法.特点：加强物理模型和数学物理思想的介绍，以便充分了解模型的物理意义，有利于根据数学物理模型建立数学物理方程．电子科技大学物理电子学院周秀丽数学物理思想数学物理方程（简称数理方程）是指从物理学及其它各门自然科学、技术科学中所导出的函数方程，主要指偏微分方程和积分方程．数学物理方程所研究的内容和所涉及的领域十分广泛，它深刻地描绘了自然界中的许多物理现象和普遍规律.电子科技大学物理电子学院周秀丽声振动是研究声源与声波场之间的关系热传导是研究热源与温度场之间的关系泊松（S.D.Poisson1781～1840，法国数学家）方程表示的是电势（或电场）和电荷分布之间的关系定解问题从物理规律角度来分析，数学物理定解问题表征的是场和产生这种场的源之间的关系．电子科技大学物理电子学院周秀丽根据分析问题的不同出发点，把数学物理问题分为正向问题和逆向问题.不同出发点?正向问题，即为已知源求场逆向问题，即为已知场求源.前者是经典数学物理所讨论的主要内容.后者是高等数学物理（或称为现代数学物理）所讨论的主要内容电子科技大学物理电子学院周秀丽多数为二阶线性偏微分方程振动与波（振动波，电磁波）传播满足波动方程热传导问题和扩散问题满足热传导方程静电场和引力势满足拉普拉斯方程或泊松方程数学物理方程的类型和所描述的物理规律电子科技大学物理电子学院周秀丽三类典型的数学物理方程三类典型的数学物理方程双曲型方程波动方程为代表抛物型方程热传导方程为代表椭圆型方程泊松方程为代表退化为拉普拉斯方程电子科技大学物理电子学院周秀丽分离变量法偏微分方程标准的常微分方程标准解，即为各类特殊函数三类数学物理方程的一种最常用解法电子科技大学物理电子学院周秀丽第九章数学建模---数学物理定解问题9.1数学建模----波动方程类型的建立具有波动方程的数理方程的建立弦的横振动杆的纵振动讨论定解条件传输线方程电子科技大学物理电子学院周秀丽9.1.1波动方程的建立1.弦的微小横振动考察一根长为l且两端固定、水平拉紧的弦．讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题．要确定弦的运动方程，需要明确：确定弦的运动方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛顿第二定律.（3）按物理定理写出数学物理方程（即建立泛定方程）(1)要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移(,)uxt电子科技大学物理电子学院周秀丽2αxdxx+1αAux1TB2TC图9.1注意：物理问题涉及的因素较多，往往还需要引入适当假设才能使方程简化．数学物理方程必须反映弦上任一位置上的垂直位移所遵循的普遍规律，所以考察点不能取在端点上，但可以取除端点之外的任何位置作为考察点．电子科技大学物理电子学院周秀丽根据牛顿第二定律mFau方向运动的方程可以描述为2211sinsind(d)ttTTgssu（9.1.1）作用于小段ABC的纵向合力应该为零：2211coscos0TT(9.1.2)仅考虑微小的横振动，21,2221,夹角为很小的量，忽略及其以上的高阶小量，则根据级数展开式有2112cos11,cos12!311111222sintan,sintan3!222d(d)(d)1()ddxsxuuxx电子科技大学物理电子学院周秀丽注意到:tansinxuux故由图9.11得1122dtansin,tansinxxxxxuu这样，(9.1.1)和(9.1.2)简化为21d21dd(9.1.3)0(9.1.4)xxttxxxTuTugxuxTT电子科技大学物理电子学院周秀丽因此在微小横振动条件下，可得出12TT，弦中张力不随x而变，可记为21TTT故有d()ddxxttxxxTuugxux(9.1.5)变化量dx可以取得很小，根据微分知识有下式成立dddxxxxxxxxuuuxuxx这样，ABC段的运动方程(9.1.5)就成为0ttxxuTug(9.1.6)电子科技大学物理电子学院周秀丽即为2ttxxuaug（9.1.7）上式即为弦作微小横振动的运动方程，简称为弦振动方程．其中2/aT讨论：（1）若设弦的重量远小于弦的张力，则上式(9.1.7)右端的重力加速度项可以忽略．由此得到下列齐次偏微分方程：2ttxxuau（9.1.8）称式（9.1.8）为弦的自由振动方程电子科技大学物理电子学院周秀丽(2)如果在弦的单位长度上还有横向外力(,)Fxt作用，则式(9.1.8)应该改写为2(,)ttxxuaufxt(9.1.9)式中(,)(,)Fxtfxt称为力密度t，为时刻作用于x处单位质量上的横向外力式（9.1.9）称为弦的受迫振动方程.电子科技大学物理电子学院周秀丽2、均匀杆的纵振动B段的运动方程为dd(d)xxxttxxxuYSuYSuYSxSxux（9.1.10）可得0xxttYuu（9.1.11）这就是杆的纵振动方程．电子科技大学物理电子学院周秀丽讨论(1)对于均匀杆，Y和是常数，(9.１.11）可以改写成2ttxxuau（9.１.12）其中Ya2这与弦振动方程（9.１.8）具有完全相同的形式．（2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程（9.１.9）完全一样，只是其中(,)fxt应是杆的单位长度上单位横截面积所受纵向外力电子科技大学物理电子学院周秀丽3.传输线方程（电报方程）2222()LCRCGLGRxttvvvv（9.1.13）同理可得：2222()iiLCRCGLGRittix(9.1.14)式（9.1.13）及（9.1.14）即为一般的传输线方程（或电报方程）．电子科技大学物理电子学院周秀丽(1)无失真线22222212iiiixatat(9.1.15)其中221,aRGLC(2)无损耗线2222LCxtvv（9.1.16）2222iiLCxt(9.1.17)具有与振动方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同电子科技大学物理电子学院周秀丽(3)无漏导，无电感线22RCxtvv（9.1.18）22iiRCxt(9.1.19)它们具有与下节将讨论的一维热传导方程类似的数学形式，尽管它们的物理本质根本不同．电子科技大学物理电子学院周秀丽9.1.2波动方程的定解条件定解条件：初始条件和边界条件1.初始条件波动方程含有对时间的二阶偏导数，它给出振动过程中每点的加速度．要确定振动状态，需知道开始时刻每点的位移和速度．波动方程的初始条件通常是00(,)|(,)(),(,)|(,0)0)(ttttuxtuxxuxtuxx（9.1.22）电子科技大学物理电子学院周秀丽例9．1．1一根长为l的弦，两端固定于0x和xl,在距离坐标原点为b的位置将弦沿着横向拉开距离h，如图9.5所示，然后放手任其振动，试写出初始条件。xuoblh图9.5【解】初始时刻就是放手的那一瞬间，按题意初始速度为零，即有0(,)|(,0)0tttuxtux初始位移如图所示(0)(,0)()()hxxlbuxhlxbxLlb电子科技大学物理电子学院周秀丽2.边界条件常见的线性边界条件分为三类：第一类边界条件直接规定了所研究的物理量在边界上的数值第二类边界条件规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数的数值000,,000(,,,)|(,,,)xyzuxyztfxyzt（9.1.23）000000,,(,,,)xyzufxyztn（9.1.24）电子科技大学物理电子学院周秀丽第三类边界条件规定了所研究的物理量及其外法向导数的线性组合在边界上的数值000000,,()(,,,)nxyzuHufxyzt（9.1.25）ftH其中是时间的已知函数，为常系数．电子科技大学物理电子学院周秀丽9.2数学建模－热传导方程类型的建立9.2.1数学物理方程――热传导类型方程的建立1.热传导方程推导固体的热传导方程时，需要利用能量守恒定律和关于热传导的傅里叶定律：热传导的傅里叶定律：dt时间内，通过面积元dS流入小体积元的热量dQ与沿面积元外法线方向的温度变化率un成正比dSdt也与和成正比，即：ddduQkStn（9.2.1）式中k是导热系数电子科技大学物理电子学院周秀丽xzyoxdx+xDdxHEnFBCnAG图9.2图9.8取直角坐标系Oxyz,如图9.8),,,(tzyxu表示t时刻物体内任一点（x,y,z）处的温度在dt时间内通过ABCD面流入的热量为d|()|ddd()|dddxxxuuQktyzktyznx同样，在dt时间内沿y方向和z方向流入立方体的热量分别为()dddduktxyzyy()dddduktxyzzz电子科技大学物理电子学院周秀丽在t到dtt时间内，小体积元的温度变化是dutt0C如果用和分别表示物体的密度和比热，则根据能量守恒定律得热平衡方程0[()()()]dddddddduuuukkktxyzCtxyzxxyyzzt或写成0[()()()]uuuukkkCxxyyzzt(9.2.2)电子科技大学物理电子学院周秀丽2.扩散方程2220(0)uuattx(9.2.3)其中2.aD将一维推广到三维，即得到2222222[]0(0)uuuuattxyz(9.2.4)上述方程与一维热传导方程具有完全类似的形式电子科技大学物理电子学院周秀丽若外界有扩散源，且扩散源的强度为(,,,)fxyzt这时，扩散方程应为2222222[](,,,)uuuuafxyzttxyz（9.2.5）从上面的推导可知，热传导和扩散这两种不同的物理现象，但可以用同一类方程来描述.电子科技大学物理电子学院周秀丽9.2.2热传导（或扩散）方程的定解条件1初始条件热传导方程的初始条件一般为(,,,0)(,,)uxyzxyz（9.2.6）2边界条件(0)tt第一类:已知任意时刻边界面上的温度分布(,,,)|(,)uxyztft(9.2.7)直接给出函数u在边界上的数值,所以是第一类边界条件.电子科技大学物理电子学院周秀丽2.第二类已知任意时刻(0)tt从外部通过边界流入物体内的热量。设单位时间内通过边界上单位面积流入的热量为(,)t.考虑物体内以边界上面积元dS为底的一个小圆柱体，如图9.10所示.dSndS'图9.311.2.2图9.10dS物体内部通过流入小柱体的热量为u小柱体内温度升高所需要的热量()cdSu随着柱高趋于零而趋近于零电子科技大学物理电子学院周秀丽所以当0由热平衡方程给出:dd(,)dd0ukSttStn0ddSS考虑到时,则得1|(,)Sutnk(9.2.8)电子科技大学物理电子学院周秀丽3.第三类根据牛顿冷却定律:单位时间从周围介质传到边界上单位面积的热量与表面和外界的温度差成正比,即1d(|)QHuu这里1u是外界媒质的温度.0H为常数与推导条件(9.2.11)相似,此时可得边界条件1[]uhuhun(9.2.9)其中Hhk电子科技大学物理电子学院周秀丽9.3数学建模——稳定场方程类型的建立9.3.1数学建模——稳定场方程类型的建立1静电场的电势方程直角坐标系中泊松方程为2222220UUUxyz(9.3.1)V0若空间中无电荷，即电荷密度，上式成为2222220UUUxyz(9.3.2)称这个方程为拉普拉