3.1-数学期望的定义与性质

第一节随机变量的数学期望第三章随机变量的数字特征二、数学期望的性质三、小结一、随机变量的数学期望离散型随机变量的分布列全面地描述了随机变量的统计性规律，但这样“全面的描述”有时不方便，或不必要。如比较两个班级的成绩的优劣，通常比较考试的平均成绩即可；要比较两地的粮食收成，一般比较平均亩产。310172821165一、离散型随机变量的数学期望引例某手表厂在出产产品中抽查了N=100只手表的日走误差，数据如下：秒）日走误差()kN只数（2101234这时抽查到的100只手表的品均日走时误差为：42(2)3...451.22100kkkNN（秒/日）444222=NkkkkkkkNNkkfN记作为事件“日走时误差为k秒”的概率：kfkNN定义：思考：1、为什么要绝对收敛？2、若不绝对收敛会有什么结果？设离散型随机变量的可能的取为，其分布列为若绝对收敛，则称随机变量存在数学期望ia(i=1,2...){},1,2,.iiPapi1iiiapi1E=iiap关于定义的两点说明(1)是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量取可能值的真正平均值,也称均值.(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变,之所以这样要求是因为数学期望是反映随机变量取可能值的平均值,它不应随可能值的排列次序而改变.E他们的射击技术分别为乙两个射手甲,,试问哪个射手技术较好?例1谁的技术比较好?乙射手击中环数概率10982.05.03.0甲射手击中环数概率10983.01.06.0解80.390.1100.69.3(),E环80.290.5100.39.1(),E环,,.设甲乙射手击中的环数分别为故甲射手的技术比较好.例2二项分布{}(1),(0,1,2,,),knknPkppknk.10p则有0(){}nkEkPkknknkppknk)1(0设随机变量服从参数为n,p二项分布,其分布律为knknkppknkkn)1()!(!!0)1()1(11)1()]!1()1[()!1()!1(knknkppknknnp1)]1([nppnp)1()1(11)1()]!1()1[()!1()!1(knknkppknknnp则两点分布b(1,p)的数学期望为p.=npknknkppknk)1(0例3泊松分布{},0,1,2,,0.!kPkekk为则有0()!kkEkek11)!1(kkkeee.~P(),且分布列例4在某地区进行某种疾病普查，为此要检查每一个人的血液，如果当地有N个人，若逐个检验需要N次，有没有办法减少检验的工作量？析：把每k人分到一组，其血液混合，若检验的结果为阴性，则这k个人的血液全为阴性，因而每人只需检验1/k次；否则，对这k人逐一检验即可，则这k人每人学检验(1+1/k)次，从而k个人需要检验次数可能是1或是(1+k)次，是一随机变量。k11-q.k每人的检验结果是独立的，若每人的血液呈阳性的概率为p,呈阴性的概率为q=-p,则这k个人血液呈阴性的概率是q,而呈阳性的概率为k令表示检验时个人一组每人所需验的次数，其分布列为：122E1(11)(1)11kkkpapkqkqqk1由此可求的每人所需的平均检验次数：=ak1-+1k1q1k,1-+1k.kkqqqk每人检验一次，所以当时，即需要分组，若已知，还可以从E=选出最适合的整数1111kkkkqq例5几何分布1{},kPkqp则有1111()kkkkEkqppkq.rv设的分布律为1kkqp)()(1kkqppqpqqp11112)()(1;1,2,;01qpkp若g(x)为的单值函数,{},(1,2,),iiPapi设离散型随机变量的分布列为1.一维离散型随机变量函数的数学期望二、离散型随机变量函数的数学期望i=11(),()()iiiiigapEggap如果有x证明()=,(1,2,...)()()ijjigabgbjPbPaj令（），则仍是一个离散的随机变量，设其可能取值为则1()()jjjEgEbPb1()()ijjijgabbPa由数学期望的定义有：1()()()ijiijgabgaPa1()()iiigaPa定理2.3若是二维随机变量，其联合分布列为(,)(,)](,).ijijijijijijgabpEggabp，有(,)(,),.1,2,...ijijPabpij又是实变量的单值函数，如果2.二维离散型随机变量函数的数学期望(,)gxy,xy11.,.().abEaEbCECC若则存在，且特别是一个常数，则证明ii=1i=1i=1,()aa()biiiiaabEppEpb由于则a=1212122.Ek,k(k+k).kEkEEE设二维离散随机变量（，），若，存在则对任意实数则有三、数学期望的性质121211(2)()()ijijEkkkakbij证明p3.EEEE又若，相互独立的，则存在，121111)ijijijijkakbpij=p+1.11ijjijkabpi.2=p+ki=11(3)ijijjEabp112()().nniiiiiiEaaE性质可推广：1kEE2=+ki=11iijjjapbpEE).,)((,,.10,20互独立并设各旅客是否下车相下车是等可能的设每位旅客在各个车站求表示停车的次数以有旅客下车就不停车如到达一个车站没个车站可以下车旅客有位旅客自机场开出一民航送客车载有XEX解,iX引入随机变量.10,,2,1,,1,,0iiiXi站有人下车在第站没有人下车在第.1021XXXX则例6,109}0{20iXP则有,1091}1{20iXP.10,,2,1i.,2,1,1091)(20iXEi由此)()(1021XXXEXE得)()()(1021XEXEXE20109110).(784.8次..RV一、连续型的数学期望1..().iiiRVExPx我们已经讨论了离散型的数学期望：.....RVRV试问：连续型的数学期望是什么？当然要把连续型进行离散化01211....(),.iinnRVPdfPxxxxxxxx设连续型的为取分点11[,),(0,),()()().(0,)iiiiiixiiixxxxxinPxpxdxpxxin其长度也记为则..RV离散化后的的分布列：010011.()()()nnnxxxpxxpxxpxx0.....()niiiiRVRVxpxx显然这个分布列可作为连续型的一种近似而这个离散型的数学期望为...RVE此式近似地表达连续型的数学期望由数学分析知1Max{}.iinx记则00lim()().niiiixpxxxpxdx于是有下面的定义+.(),().RVPdfpxxpxdx定义：设是连续型.,为当+().xpxdx时，称的数学期望存在，且E..(,),.RVUabE例1设则求(,)(,),pdf我们已讨论过参数为的分布其为+=().2baxabExpxdxdxba【解】1,0,()()0,0.xxexpxx1,在此分布中令及(1)1,得,0,()0,0.xexpxx21p(x)=,1pdfEx(柯西分布)的为问例4是否存在.(1,).这是参数为的指数分布.即就是参数为的指数分布..(1,),.RVE例如果求2+00=()xxExpxdxxedxxde【解】000110.xxxxeedxe2..(,),.RVNE如求例果3【解】=E【解】21()..1xxpxdxdxEx不存在二、连续型随机变量函数的数学期望..()()RVpdfpxfxx如果是连续型,为,又是实变量定理1的函数，且()().fxpxdx()()().Effxpxdx那么,)(,)(,),pdfpxyfxy如果(的联合为,又是二元定2函数理且(,)(,),fxypxydxdy(,)(,)(,).Effxypxydxdy那么2定理可以推广为：1212121(,,)(,,,)(,,,).nnnnEffxxxpxxxdxdx，三、连续型随机变量数学期望的性质...RVRV连续型的数学期望的性质同离散型.的数学期望的性质相同.现罗列如下：()1,,().PcEcEcc01那么即,.abaEb02那么,().kREkkE031212().nnEEEE04ikR0034合并为：有11221122().nnnnEkkkkEkEkE121212,,,().nnnEEEE05当相互独立时，12120,0,.EEE06则由此，如果，那么.EE07四、连续型随机变量的方差22.(-)(-)RVEEEE设是.,又存在，那么定称义.,RVD为.的方差，记为即2(-).DEE.DRV称为.的根方差或标准差.四、小结1.数学期望是一个实数,而非变量,它是一种加权平均,与一般的平均值不同,它从本质上体现了随机变量X取可能值的真正的平均值.2.数学期望的性质0001201();2()();3(k);4,.ECCECCEEKEEEEE独立作业：31；32；333.常见离散型随机变量的数学期望分布分布律E(X)(0-1)分布X~B(1,p)kkppkXP1)1(}{k=0,1p二项分布X~B(n,p)knkknppCkXP)1(}{k=0,1,2,…,nnp泊松分布)(~PXP{X=k}=ekk!k=0,1,2,…几何分布P{X=k}=ppk1)1(k=1,2,…p1根据生命表知,某年龄段保险者里,一年中每个人死亡的概率为0.002,现有10000个这类人参加人寿保险,若在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.问每人一年须交保险费多少元?例1你知道自己该交多少保险费吗?备份题解设1年中死亡人数为X,)002.0,10000(~bX则10000010000)002.01()002.0(1000)(kkkkkXE).(20人被保险人所得赔偿金的期望值应为).(40000200020元若设每人一年须交保险费为a元,由被保险人交的“纯保险费”与他们所能得到的赔偿金的期望值相等知4000010000a),(