拉格朗日插值实验报告

实验名称：实验一拉格朗日插值1引言我们在生产生活中常常会遇到这样的问题：某个实际问题中，函数f(x)在区间[a,b]上存在且连续，但却很难找到其表达式，只能通过实验和观测得到有限点上的函数表。显然，根据这些点的函数值来求其它点的函数值是非常困难的。有些情况虽然可以写出表达式，但结构复杂，使用不方便。所以我们总是希望根据已有的数据点（或函数表）来构造某个简单函数P(x)作为f(x)的近似值。插值法是解决此类问题的一种比较古老的、但却很常用的方法。它不仅直接广泛地应用于生产实际和科学研究中，而且也是进一步学习数值计算方法的基础。2实验目的和要求运用Matlab编写三个.m文件，定义三种插值函数，要求一次性输入整张函数表，并利用计算机选择在插值计算中所需的节点。分别通过分段线性插值、分段二次插值和全区间上拉格朗日插值计算f(0.15)，f(0.31)，f(0.47)的近似值。已知函数表如下：x0.00.10.1950.30.4010.5f(x)0.398940.396950.391420.381380.368120.352063算法原理与流程图（1）原理设函数y=在插值区间[a,b]上连续，且在n+1个不同的插值节点a≤x0,x1,…,xn≤b上分别取值y0,y1,…,yn。目的是要在一个性质优良、便于计算的插值函数类Φ中，求一简单函数P(x)，满足插值条件P(xi)=yi(i=0,1,…,n)，而在其他点x≠xi上，作为f(x)近似值。求插值函数P(x)的方法称为插值法。在本实验中，采用拉格朗日插值法。①分段低次插值当给定了n+1个点x0x1…xn上的函数值y0,y1,…,yn后，若要计算x≠xi处函数值f(x)的近似值，可先选取两个节点xi-1与xi使x∈[xi-1,xi]，然后在小区间[xi-1,xi]上作线性插值，即得11111)()(iiiiiiiixxxxyxxxxyxPxf这种分段低次插值叫分段线性插值，又称折线插值。类似地，我们可以选取距离x最近的三个节点xi-1，xi与xi+1，然后进行二次插值，即得11112)()(iikikjijjkjkxxxxyxPxf这种分段低次插值叫分段二次插值，又称分段抛物线插值。②全区间上拉格朗日插值对节点xi(i=0,1,…,n)中任一点xk(0≤k≤n)，作一n次多项式lk(x)，使它在该点上的取值为1，在其余点xi(i=0,1,…,k-1,k+1,…,n)上取值为零。对应于每一节点xk(k=0,1,…,n)，都能写出一个满足此条件的多项式，这样写出了n+1个多项式l0(x),l1(x),…,ln(x)，其中0111()()()()()()kkkknlxAxxxxxxxxxx；由条件()1kklx可得0111()()()()kkkkkkknAxxxxxxxx于是我们可以得出如下的拉格朗日n次插值多项式（对于全区间上的插值，n取函数表的长度）00110110011()()()()()()()()()()()()nnnnkknkkkkkkkknPxylxylxylxxxxxxxxxyxxxxxxxx（2）流程图分段线性插值分段二次插值全区间拉格朗日插值4程序代码及注释1、分段线性插值%分段线性插值functiony=piece_linear(x0,y0,x)%x0，y0为已知点，x为待求点n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);%n，p，m分别为x0，y0，x长度ifn~=pfprintf('Error!Pleaseinputagain!\n');%x0和y0长度不等时，报错elsefori=1:mz=x(i);sum=0.0;l=0;%给l赋初值,根据x的值确定lifzx0(1)|zx0(n)fprintf('Error!x(%d)isoutofrange!\n',i);break;end%当插值点超出范围时，报错forj=2:nifzx0(j)l=j;endifl~=0break;endend%一旦l有非零值，则终止循环,选出合适的lfork=l-1:la=1.0;fors=l-1:lifs~=ka=a*(z-x0(s))/(x0(k)-x0(s));endendsum=sum+y0(k)*a;endy(i)=sum;fprintf('y(%d)=%f\nx1=%.3fy1=%.5f,x2=%.3fy2=%.5f\n\n',i,y(i),x0(l-1),y0(l-1),x0(l),y0(l));%输出插值结果和所需节点endendend2、分段二次插值%分段二次插值functiony=piece_square(x0,y0,x)%x0，y0为已知点，x为待求点n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);%n，p，m分别为x0，y0，x长度ifn~=pfprintf('Error!Pleaseinputagain!\n');%x0和y0长度不等时，报错elsefori=1:mz=x(i);sum=0.0;l=0;%给l赋初值,根据x的值确定lifzx0(1)|zx0(n)fprintf('Error!x(%d)isoutofrange!\n',i);break;end%当插值点超出范围时，报错forj=1:n-2p=0.5*(x0(j)+x0(j+1));ifzpl=j;endifl~=0break;end%一旦l有非零值，则终止循环,选出合适的lendifl==0l=n-1;end%输入正确时，若l还等于零，l=n-1fork=l-1:l+1a=1.0;fors=l-1:l+1ifs~=ka=a*(z-x0(s))/(x0(k)-x0(s));endendsum=sum+y0(k)*a;endy(i)=sum;fprintf('y(%d)=%f\nx1=%.3fy1=%.5f\nx2=%.3fy2=%.5f\nx3=%.3fy3=%.5f\n\n',i,y(i),x0(l-1),y0(l-1),x0(l),y0(l),x0(l+1),y0(l+1));%输出插值结果与所需节点endendend3、拉格朗日全区间插值%拉格朗日全区间插值functiony=lagrange(x0,y0,x)%x0，y0为已知点，x为待求点n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);%n，p，m分别为x0，y0，x长度ifn~=pfprintf('Error!Pleaseinputagain!\n');%x0和y0长度不等时，报错elsefori=1:mz=x(i);s=0.0;ifzx0(1)|zx0(n)fprintf('Error!x(%d)isoutofrange!\n',i);break;end%当插值点超出范围时，报错fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;fprintf('y(%d)=%.5f\n',i,y(i));%输出插值结果endendend5算例分析1、测试示例x=[1234];y=[234];y2=lagrange(x,y,x0)Error!Pleaseinputagain!x=[1234];y=[2345];x0=[0.55.5];y2=lagrange(x,y,x0)Error!x(1)isoutofrange!x=[1234];y=[2345];x0=[1.55.5];y2=lagrange(x,y,x0)y(1)=2.50000Error!x(2)isoutofrange!y2=2.5000000000000002、首先输入函数变及待求点x=[0.00.10.1950.30.4010.5];y=[0.398940.396950.391420.381380.368120.35206];x0=[0.150.310.47];注：保证在matlab工作目录中有三个.m文件3、分段线性插值y0=piece_linear(x,y,x0)y(1)=0.394039x1=0.100y1=0.39695,x2=0.195y2=0.39142y(2)=0.380067x1=0.300y1=0.38138,x2=0.401y2=0.36812y(3)=0.356927x1=0.401y1=0.36812,x2=0.500y2=0.35206y0=0.3940394736842110.3800671287128710.3569266666666674、分段二次插值y1=piece_square(x,y,x0)y(1)=0.394460x1=0.100y1=0.39695x2=0.195y2=0.39142x3=0.300y3=0.38138y(2)=0.380225x1=0.195y1=0.39142x2=0.300y2=0.38138x3=0.401y3=0.36812y(3)=0.357247x1=0.300y1=0.38138x2=0.401y2=0.36812x3=0.500y3=0.35206y1=0.3944603195488720.3802246915953730.3572468448844885、全区间拉格朗日插值y2=lagrange(x,y,x0)y(1)=0.39447y(2)=0.38022y(3)=0.35722y2=0.3944728038780610.3802190624547320.3572221123394856讨论与结论1、使用tic,toc函数计算下列四种方法计算上述问题所运行的时间Functionlagrange(x0,y0,x)piece_linear(x0,y0,x)piece_square(x0,y0,x)运行时间(s)0.0002720.0003750.000272从三次实验结果可知，三个程序的运行时间都很短。2、程序优化由分段线性插值和分段二次插值的原理，x取值在函数表范围内时，插值结果有意义，而当x取值在函数表范围以外，利用分段线性插值公式仍可以进行运算并得到一个值，但其结果不准确；分段二次插值则无法找到三个合适的点以求插值，不予以输出结果；若输入的函数表x与y的长度不相等，则无法插值。所以加入以下判断以提高插值的准确性n=length(x0);p=length(y0);m=length(x);ifn~=pfprintf('Error!Pleaseinputagain!\n');ifzx0(1)|zx0(n)fprintf('Error!x(%d)isoutofrange!\n',i);break;end3、作图比较上图为三种方法的插值曲线，其中x取0到0.5，步长为0.001，由图可得，三种曲线非常接近，这说明我们用拉格朗日插值计算所给点函数值的近似值时，引起的误差还是比较小的。参考文献[1]易大义，沈云宝，李有法.计算方法(第2版)，浙江大学出版社.p.29-53.[2]张琨高思超毕靖编著MATLAB2010从入门到精通电子工业出版社