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部份作业解答（弯曲应力）1．直径为d的直金属丝，被绕在了直径为D的轮缘上，（1）已知材料的弹性模量为E，且金属丝保持在线弹性范围内，试求金属丝的最大弯曲正应力。（2）已知材料的屈服极限为Sσ，如果要使已弯曲的金属丝能够完全恢复为直线形，轮缘的直径不得小于多少？MM解：（1）由题给条件可知金属丝中性层的曲率半径为()dD+=21ρ，所以有ydDEyE+−=−=2ρσ。y取时，2/d±σ取极值，最大正应力为dDEdddDE+=⋅+=22maxσ。（2）要使金属丝能够恢复为直线，则应有Sσσ≤max。故有Sσ≤+dDEd，即dEdD−≥Sσ。2.图示梁由№22槽钢制成，弯矩mN80⋅=M，试求梁中最大弯曲拉应力和压应力。解：由表查得，464mm10761cm176×==.Imm20.3cm0320==.z，mm79=b。最大压应力MPa920107613201080630cmax...=×××==IzMσ。MPa67210761320791080630tmax..).()(=×−××=−=IzbMσ。3.图示槽形截面悬臂梁，，许用拉应力，kN10=FMPa35][t=σmkN70⋅=m，许用压应力，校核该梁的强度。MPa120][c=σdDd3m3mFm20015050y1y22525解：先求截面形心位置，以下边沿为基准，有mm571532520025015010025200220025501502.)(=××+××××++××=y。mm439657153502001..)(=−+=y。再求截面关于形心轴（即中性轴）的惯性矩232543965015050150121).(−××+××=I⎥⎦⎤⎢⎣⎡−××+×××+231005715320025200251212).(71010153298293××+=)..(48mm100191×=.。结构的弯矩图如右。可以看出，在C截面偏右有最大的正弯矩，在C截面偏左有最大的负弯矩。在C截面偏右，最大拉应力40kN⋅mIyMC2tmax+=σ10kN⋅mACB30kN⋅m86100191571531040×××=..MPa360.=。最大压应力IyMC1cmax+=σMPa9371001914396104086...=×××=。在C截面偏左，最大压应力IyMC2cmax−=σMPa24510019157153103086...=×××=。故最大拉应力在C截面偏右下边沿，其数值为，最大压应力在C截面偏左下边沿，其数值为。MPa360.MPa245.4.在图示外伸梁中，载荷F可在全梁上移动，若梁的许用拉应力，许用压应力，，求载荷F的许用值。MPa35][t=σMPa140][c=σm1=L解：先求截面形心位置，以下边沿为基准，有mm78672080201004020808010201002.)(=×+×××++××=y。801002020y1y2LABCFDL/2mm2232786780201..)(=−+=y。再求截面关于形心轴（即中性轴）的惯性矩231022322010020100121).(−××+××=I2340786780208020121).(−××+××+61008820541×+=)..(46mm101423×=.。当荷载移动到AD段的中点C处时，产生一个正弯矩的峰值4FL；当荷载移动到D点时，产生一个负弯矩的峰值2FL。由于许用压应力是许用拉应力的4倍，而截面形心到上下沿距离相差2倍左右，因此只需考虑拉应力。当荷载移动到AD段的中点C处时的最大拉应力][4t22tmaxσσ≤==IyFLIyM，故有kN6.49N649078671000351014234][462==××××=≤..yLIFσ。当荷载移动到D点时的最大拉应力][2t11tmaxσσ≤==IyFLIyM，故有kN6.83N682622321000351014232][261==××××=≤..yLIFσ。故载荷F的许用值。kN6.49][=F5.如图阶梯形悬臂梁承受均布荷载q，其横截面为宽度均为b的矩形，左右段截面高度分别为和，长度分别为和。若其总长度L不变，许用应力1h2h1L2L][σ为已知。要使梁的总重量为最小，试确定和，和的数值。1hh21L2Lqh1h2L2L解：梁必须满足强度条件。在固定端面，最大弯曲正应力622121max1maxbhqLWM==σ][3212σ≤=bhqL，故][31σbqLh≥。梁右段的危险截面在两段交界处，该处6222222max2maxbhqLWM==σ][32222σ≤=bhqL，故][322σbqLh≥。梁的总体积2221LhLLhV+−=)([]222][3LLLLbq+−=)(σ。要使梁的重量为最轻，应有0dd2=LV，即有()02][32=−LLbqσ，即LLL2112==。同时有1221][32hbqLh==σ。6.弯曲梁的某横截面尺寸如图，该截面上有剪力，求该截面上的最大弯曲切应力和A、B处的弯曲切应力。kN50S=F解：最大切应力存在于中性轴上，MPa82670402100050323Smax.=××××==bhFτ。A、B处的弯曲切应力计算：⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=223S22S4642yhbhFyhIFτ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−×××=22347070401000506y。)(.2122502190y−×=故A处的弯曲切应力，MPa113251225021902.)(.=−×=AτB处的弯曲切应力。MPa921151225021902.)(.=−×=Bτ7.简支梁的长度mm400=L，距其左端三分之二长度处承受集中力kN4=F的作用，梁是由四块宽度为mm50=b，厚度为h的木板粘接而成的。若木材许用应力mm20=MPa7][=σ，粘胶层许用切应力MPa5][=τ，校核梁的强度。解：梁的集中力作用处有最大弯矩FLM92max=，故横截面上最大正应力22maxmax126492bhFLhbFLWM===)(σ][MPa7620501240040002σ=×××=.。在梁的右段的各横截面上有最大的剪力32SFF=，故横截面上最大切应力3540BC15A3525FS10FABL/32L/3][MPa1205044000423Smaxττ=××==⋅=bhFAF。故梁强度足够。8.图示悬臂梁自由端承受水平方向上的集中力N8001=F作用，中截面处承受竖直方向上的集中力N16002=F作用。若材料的许用应力MPa160][=σ，m1=L，试在如图的两种情况下确定截面尺寸。解：（1）矩形截面][416626222132221maxσσ≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=+⋅⋅=FFbLbbLFbbLF)(，故有332116041600800410006][446×+×××=+≥)()(σFFLbmm635.=。故取。mm36=b（2）圆形截面][π43232π23222132221maxσσ≤+=+=dFFLdLFLF)()(，故有32221]π[432σFFLd+≥32216014316008004100032×+×××=.mm452.=。故取。mm54=d9.图示简支梁承受水平方向上的集中力F和竖直方向上的集中力3F的作用。求梁中最大弯曲正应力。解：梁中最大弯曲正应力只会产生在C截面或D截面。在C截面，由竖向力3F所引起的弯矩为，由水平力F所引起的弯矩为FL23FL，故该截面上的最大弯曲正应力322max4623622bFLbbFLbbFL=⋅+=)(σ。LLF1F2bd2b2bb3FFLAB3FFCLDL在D截面，由竖向力3F所引起的弯矩为，由水平力F所引起的弯矩为FL32FL，故该截面上的最大弯曲正应力322max27623262bFLbbFLbbFL=⋅+=)(σ。故梁中最大弯曲正应力3max4bFL=σ。10.横截面如图的简支梁承受竖直向下的均布荷载。若材料的许用压应力是许用拉应力的4倍，求下沿b的最佳取值。解：易得在危险截面，IyM1c=σ，IyM2t=σ。理想的结构，应有4][][tctc==σσσσ，故有421=yy。但，故可解得40021=+yymm802=y。考虑截面的形心，有8060340303060230340302=+××+××=bby，由此即可解出：mm510=b。11.当载荷F直接作用在简支梁AB的中点时，梁内最大弯曲正应力超过许用应力30%。为了消除过载现象，在梁中部配置一个辅梁CD，如图所示。试求辅梁的最小长度a。解：配置副梁前最大弯矩（跨中截面）FLM41max=。配置副梁后最大弯矩（副梁所在区间CD段）()aLFaLFM−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=∗41222max。由题给条件3.1][][3.1//maxmaxmaxmax==−==∗∗σσσσaLLWMWM，可得m38516133133.=×==La。注：配置长度为1.4m的副梁，可保证主梁安全。但对副梁本身还须进行强度计算，以确定AB3mCDa/2Fa/23m400b30y1y260其载面尽寸。12.证明：直径为d的圆形截面的截面核心是半径为8d的圆。解：设圆形截面轴的轴向压力为F，偏心距为e，则有因轴向压力而产生的横截面压应力F2Nπ4dFAF==σ，e以及由偏心而造成的最大弯曲拉应力3maxMπ32dFeWM==σ。要使横截面不产生拉应力，应有32π32π4dFedF≥，故有8de≤。即截面核心半径为8d。13.横截面为矩形的悬臂梁承受横向力F和偏心压力1作用。若材料的许用拉应力[σ许用压应力[σ定F许用值。F0的t=，c=，确MPa30]MPa90]的F解：记横截面宽为b，高为h。梁中最大拉应力的点位于固定端上沿外侧顶点。该点拉应力bhFhbbFbhhFbhFL10621062106222tmax−⋅+⋅+=σ][506tσ≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=hLbhF，故有1t506][−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≤hLbhFσkN4.86N48605018050063018060==⎟⎠⎞⎜⎝⎛+×÷××=。梁中最大压应力的点位于固定端下沿里侧顶点。该点压应力bhFhbbFbhhFbhFL10621062106222cmax+⋅+⋅+=σ][706cσ≤⎟⎠⎞⎜⎝⎛+=hLbhF，故有1c706][−⎟⎠⎞⎜⎝⎛+≤hLbhFσ⎟⎠⎞⎜⎝⎛+×÷××=7018050069018060kN11.22N11215==。故取kN4.86][=F。L=50010F18060