线性规划目标函数及基本不等式常见类型梳理

1授课提纲一、线性规划问题中目标函数常见类型梳理1、基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）2、直线的斜率型3、平面内两点间的距离型（或距离的平方型）4、点到直线的距离型5、变换问题研究目标函数二、基本不等式1、（1）基本不等式若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）(2)若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）(3)若*,Rba，则22baab(当且仅当ba时取“=”）2、利用基本不等式求值技巧授课主要内容：一基本类型——直线的截距型（或截距的相反数）例1.已知实数x、y满足约束条件0503xyxyx，则24zxy的最小值为（）A．5B．-6C．10D．-10变式练习一：若x,y满足约束条件20210220xyxyxy,则z=3x+y的最大值为．变式练习二：设x，y满足约束条件13,10,xxy则z＝2x－y的最大值为______．二直线的斜率型26,53例2.已知实数x、y满足不等式组2240xyx,求函数31yzx的值域.2变式练习一：若x，y满足约束条件10040xxyxy，则yx的最大值为.变式练习二：11.若实数yx,满足00042{yxyx，则12xyz的取值范围为（）),32[]4,.(A),32[]2,.(B]32,2.[C]32,4.[D三平面内两点间的距离型（或距离的平方型）例3.已知实数x、y满足10101xyxyy，则22448wxyxy的最值为___________.解析：目标函数2222448(2)(2)wxyxyxy，点(2,2)到点B的距离为其到可行域内点的最大值，22max(22)(12)25w；点(2,2)到直线x+y-1=0的距离为其到可行域内点的最小值，min|221|3222w。变式练习一：设实数x，y满足约束条件10,10,1xyxyx，则222xy的取值范围是（A）1,172（B）1,17（C）1,17（D）2,172变式练习二：四点到直线的距离型例4.已知实数x、y满足2221,42xyuxyxy求的最小值。3解析：目标函数222242(2)(1)5uxyxyxy，其含义是点(-2,1)与可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示（直线右上方）：点(-2,1)到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得|2(2)11|4555d，故21695555d同步训练：已知实数x、y满足220240330xyxyxy,则目标函数22zxy的最大值是____。五变换问题研究目标函数例5.已知axyxxy2，且yxz2的最大值是最小值的3倍，则a等于（）A．31或3B．31C．52或2D．52解析：求解有关线性规划的最大值和最小值问题，准确画图找到可行域是关键.如图所示，Ayxz在2点和B点分别取得最小值和最大值.由),(aaAxyax得，由yxyx2得B(1，1).∴azz3,3minmax.由题意B(-2,1)112Oxy2x+y=14变式练习一：如果实数,ab满足条件：20101abbaa，则22abab的最大值是▲．基本不等式考点一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x技巧一：凑项例1：已知54x，求函数14245yxx的最大值。技巧二：凑系数例1.当时，求(82)yxx的最大值。技巧三：分离例3.求2710(1)1xxyxx的值域。技巧四：换元解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原式在分离求最值。22(1)7(1+10544=5ttttytttt）当,即t=时,4259ytt（当t=2即x＝1时取“＝”号）。技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。5解：令24(2)xtt，则2254xyx22114(2)4xtttx因10,1ttt，但1tt解得1t不在区间2,，故等号不成立，考虑单调性。因为1ytt在区间1,单调递增，所以在其子区间2,为单调递增函数，故52y。所以，所求函数的值域为5,2。考点二：条件求最值1.若实数满足2ba，则ba33的最小值是.2：已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值技巧七、已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.分析：因条件和结论分别是二次和一次，故采用公式ab≤a2＋b22。同时还应化简1＋y2中y2前面的系数为12，x1＋y2＝x2·1＋y22＝2x·12＋y22技巧八：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.法一：a＝30－2bb＋1，ab＝30－2bb＋1·b＝－2b2＋30bb＋1由a＞0得，0＜b＜16令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝－2t2＋34t－31t＝－2（t＋16t）＋34∵t＋16t≥2t·16t＝8∴ab≤18∴y≥118当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥22ab∴30－ab≥22ab令u＝ab则u2＋22u－30≤0，－52≤u≤32∴ab≤32，ab≤18，∴y≥118变式：1.已知a0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。作业：1、01xxxy求函数最小值.2、03221xxxy求函数最小值.3、若1x，则函数14xxxf最小值为.4、已知0x，0y，且1yx，求yx11的最小值.5、已知0x，0y，且32yx，求yx11的最小值.6、设0,0.ab若11333abab是与的等比中项，则的最小值为（）A8B4C1D14