函数章节知识点总结

知识点一：函数的定义域求法1、分母不为02、根号下大于等于零3、00无意义，例：x0的定义域为Rxxx,04、对数函数xyalog的定义域为Rxxx,05、正切函数xytan的定义域为2kxx习题1:求下列函数的定义域xxxxy23)1(226112xxxxy22162log3xxyxxxy014241ln15xxy6、抽象函数定义域的求法（重点）（1）例：xfy的定义域为2,2，求函数32xfy的定义域为：解：25212322322,2xxxfyxfy解得的定义域为：的定义域为一般性总结，直接代入法：已知xfy的定义域ba,，求xgfy的定义，直接代入即可，bxga，根据不等式解出x，即是xgfy的定义域。习题1：若函数xfy的定义域是10xx，则2xfy的定义域为_____（2）例：32xfy的定义域为2,2，求函数xfy的定义域为____解：1,71327222,2-32的定义域为）的定义域为（xfyxxxfy一般性总结，值域法：已知xgfy的定义域为ba,，求xfy的定义域，只需求出xg的值域即可，即为xgfy的定义域。习题1：若函数xf23的定义域为2,1，则函数xfy的定义域为_____（3）已知函数1xfy的定义域为1,1，求函数3xfy的定义域为____解：3530,21,11，的定义域为定义域的定义域为xfyxfyxfy总结：已知函数的定义域xgfy，求函数的定义域xhfy，只需要将上述（1），（2）的两种方法综合一下即可。即使找xfy进行一次过度。由xgfy求出xfy，按照（2）的步骤求出，然后再由xfy求出的定义域xhfy，按照（1）的步骤即可。知识点二：函数值域的求法1、直接代入法：已知232xxxfy，求2f的值解：将2x直接代入xfy的表达式计算结果即可。02f2、计算区间法：区间的计算法则（1）3,1的倒数区间为1,31（2）,1的倒数区间为1,0（3）2,0的倒数区间为,21（4）1,2的倒数区间为21,1（5）2,的倒数区间为0,21（6）0,3的倒数区间为31,（7）2,2的区间等价于2,00,2的倒数区间为,2121,例题：求1212xy的值域解：1,0121,,1120222xxx，，3、一元一次函数bkxy和一元二次函数cbxaxy2求值域例题：3,1,32xxy上的值域_______总结，对于一次函数来说，利用单调性求值域，即直接代入端点值即可。例题：①2,0,322xxxy上的值域②2,4,322xxxy上的值域③2,2,322xxxy上的值域对于上述三种一元二次函数求值域，首先要判断对称轴的位置是否在定义域内，若不在定义域内即可以利用单调性直接代入端点即可，如①②的形式，如果对称轴在定义域内，一定在对称轴处取得最值，再其中一个端点处取得值域的另外一端。4、分离常数法：（1）例：求函数13xxy的值域为_____解：14114113xxxxxy，由此可知13xxy的值域为Ryyy,1总结：分离常数法适用于齐次式（齐次式即为因式的分子和分母的最高次幂一样高，常见的有一次比一次式和二次比二次式。）如例题所示为一次比一次的分式，按照分离常数后的结果，全部根据xy1得出定义域和值域。xy1的定义域为0xx，值域为0yy，根据xy1的对称中心0,0，横坐标即为定义域取不到的点，纵坐标即为值域取不到的点。14114113xxxxxy的对称中心可以由xy1的图像向右移动一个单位并向上一个单位平移得到，所以对称中心也依次平移到了1,1点处，所以定义域为1xx，值域为1yy。习题1：求下列函数的值域2321xxy12322xxy，（特殊的齐次式）注：换元法将x2设为t之后，就可以变为齐次式了。根据区间计算法求值域就可以了16,4,3log33log2322xyxx，仍然是特殊的齐次式，换元之后之后改变取值范围。根据区间计算法求值域就可以了。补充知识点：对勾函数的性质（1）当0x时，对勾函数有最低点（最小值），其横坐标为abx，ab,0上单调递减，,ab上单调递增。（2）当0x时，对勾函数有最高点（最大值），其横坐标为abx，ab,上单调递增，0,ab上单调递减。（3）其图像如图所示（2）例1：求1222xxxy的值域_____分析：分式的分子与分母都是二次式，依然符合齐次式的特征，所以需要通过分离常数求解解：1221111121112111111111122222222xxxxxxxxxxxxxxxxy然后按照对勾函数性质求出分母的值域，再按照区间计算法求出函数的值域即可。例2：求23222xxxxy的值域_____判别式法，适用于定义域为R的函数求值域接的取值范围即可，求出根据y00322132223222222yxyxyxxxxyxxxxy总结：若函数xfy可以转化为一个系数含有y的二次方程02ycxybxya，则在0ya时，若Rx，则0，从而确定函数的最值，并验证0ya时对应的x的值是否在函数定义域内，以决定0ya时，y的值的取舍。5、对勾函数法，适用于一次比二次或者二次比一次的非齐次式。例题1：xxxy232的值域为解：xxxxxy23232转换成了对勾函数，按照对勾函数的性质进行求解.例题2：求4312xxxy的值域_____解：12111211143122xxxxxxxxy然后利用对勾函数求出值域即可6、换元法求值域（1）适用于dcxbaxy的形式例题：xxy121方法一：利用单调性，因为函数x21和x1均在定义域内单调递增，所以函数xxy121在定义域内单调递增，所以代入断电之即可。方法二：换元，将dcx的形式设为新参数t解：121211,112222ttyttytxtxtx，然后按照一元二次函数的形式求值域即可。例题2：求xxy11的值域分析，因为函数x1是单调递增的，而x1是单调递减函数，所以xxy11在定义域内无法判断其单调性，所以只能通过换元的方法求值域，即tx1然后将函数转化成一元二次函数的形式，最后按照一元二次函数的形式就值域。（2）三角换元求值域例题1：求21xxy的值域分析，对于形如2x1一次y的形式，按照三角换元的形式进行求解。解：4sin2cossinsin1sin,sin,122ayxxxy设，由此可知值域为2,2例题2：求221xxy的值域同样利用三角换元的形式解：sin26cossin22sin22sin2,2122yxxxxy令，所以可知值域为26,267、利用几何意义和函数图像的性质求值域例题1：求102422xxxy的值域分析，这样的函数求值域比较难，而且形式比较复杂，所以，当不符合以上上面的任何一种形式的求值域方式时，需要考虑用几何意义和图像的性质求值域。所谓的几何意义，主要包括，两点间的距离公式，点到直线的距离公式，斜率公式等解2222223012001024xxxxxy将该式子理解成P0,x这个点，到点A2,0和点B3,1的两点间的距离和。所以求值域过程如图所示做A点关于x轴的对称点1A,所以PA+PB有最小值，无最大值，所以连接1A和B点的直线与x轴的交点为最小值点1P，所以函数2222223012001024xxxxxy的最小值为BA1的距离。例题2：求4cos21sin4xxy的值域分析，利用斜率和圆的性质求值域解：2cos41sin22cos241sin4xxxxy将该式子理解成单位圆外一点41,2与单位圆上的点xxsin,cos所连线的斜率的2倍，所以如图所示：具体求解过程如下:6523,125,431141k2,0412241212ykkkkykxxkyP解得令即点的直线方程为设过，所以综上所示函数的值域为65,238、忽略定义域的值域问题例题1：函数42axxy的值域为,0，求a的取值范围。分析，若想让函数42axxy取到,0的值域，则42axx必须能取到,0的所有值，即42axx的必须大于等于零，如果所示：如图所示，必须能取到x轴下方的部分，至于小于零的部分，虽然跟根号下大于等于零矛盾，可以通过定义域的规定，去除掉。解：,44,04*40422aaaxxy例题2：已知函数1,0,4logaaxaxxfa的值域为R，则实数a的取值范围是______分析过程如上，若xf的值域要为R，4xax必须可以取到大于零的所有值，且分析可知0x，所以04xax等价于042axx能取得大于零的所有值，所以依然是大于等于零，对于小于零的部分，虽然与真数大于零矛盾，依然可以通过定义域去除掉。9、利用导数求值域例如高次函数或者各类基本初等函数混合的复杂函数求值域，可以利用导数的方法就值域例题：xxxy232，2,1x上的值域解：31,1,0143,221223xxyxxyxxxy然后利用极值点判断出函数的单调性，根据单调性求出函数值域即可。知识点三：单调性判断单调性的方法：1、掌握所有基本初等函数xyxyxyxyxyayaxtan,cos,sin,,log,的单调性区间2、0021212121xfxfxxxxxfxf或单调递增0021212121xfxfxxxxxfxf或单调递减3、导函数大于零单调递增，导函数小于零单调递减4、取倒数和添负号均改变一次单调性5、复合函数xgf的单调性，同增异减6、奇函数在对称区间内的单调性相同，偶函数在对称区间内的单调性相反7、增函数+增函数=增函数，减函数+减函数=减函数8、互为反函数的两个函数的单调性相同9、观察函数图像，若图像从左下角向右上角变化，则为增函数，若函数图像从左上角向右下角变化，则为单调递减函数。10、分段函数的单调性：例题：已知函数1,21,53xxaxxaxf是,上的减函数，那么a的取值范围是__分析：对于分段函数，不单要讨论每个分段