高中数学必修二--直线的方程

第九编解析几何§9.1直线的方程基础知识自主学习要点梳理1.直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴与直线l方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为.②倾斜角的范围为.正向向上0°≤＜180°0°(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角的叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k=，倾斜角是90°的直线斜率不存在.②过两点的直线的斜率公式经过两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=正切值tan.1212xxyy2.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式不含垂直于x轴的直线斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线x=x1（x1≠x2）和直线y=y1（y1≠y2）)(11xxkyybkxy121121xxxxyyyy截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用1byax)0(022BACByAx3.过P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线方程（1）若x1=x2,且y1≠y2时，直线垂直于x轴，方程为;(2)若x1≠x2,且y1=y2时，直线垂直于y轴，方程为;(3)若x1=x2=0，且y1≠y2时，直线即为y轴，方程为;(4)若x1≠x2,且y1=y2=0时，直线即为x轴，方程为.x=x1y=y1x=0y=04.线段的中点坐标公式若点P1、P2的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），且线段P1P2的中点M的坐标为（x,y），则，此公式为线段P1P2的中点坐标公式.222121yyyxxx基础自测1.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为（）A.1B.4C.1或3D.1或4解析∵kMN==1，∴m=1.Amm242.经过下列两点的直线的倾斜角是钝角的是（）A.（18，8），（4，-4）B.（0，0），（，1）C.（0，-1），（3，2）D.（-4，1），（0，-1）3解析对A过两点的直线斜率对B过两点的直线斜率对C过两点的直线斜率对D过两点的直线斜率∴过D中两点的直线的倾斜角是钝角.答案D,076418)4(8k,0330301k,010312k.02104)1(1k3.下列四个命题中，假命题是（）A.经过定点P（x0，y0）的直线不一定都可以用方程y-y0=k(x-x0)表示B.经过两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)来表示C.与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程表示D.经过点Q（0，b）的直线都可以表示为y=kx+b解析A不能表示垂直于x轴的直线，故正确；B正确；C不能表示过原点的直线即截距为0的直线，故也正确；D不能表示斜率不存在的直线，不正确.1byaxD4.如果A·C＜0,且B·C＜0,那么直线Ax+By+C=0不通过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析由题意知A·B·C≠0.直线方程变为y=-x-，∵A·C＜0，B·C＜0，∴A·B＞0，∴其斜率k=-＜0,在y轴上的截距b=-＞0,∴直线过第一、二、四象限.CBABCBABC5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为.解析设所求直线的方程为∵A（-2，2）在直线上，∴①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1，∴|a|·|b|=1②,1byax122ba21由①②可得由（1）解得方程组（2）无解.故所求的直线方程为即x+2y-2=0或2x+y+2=0为所求直线的方程.答案x+2y-2=0或2x+y+2=0.21)2(21)1(abbaabba或，baba2112或，yxyx121112或题型一直线的倾斜角【例1】若，则直线2xcos+3y+1=0的倾斜角的取值范围是（）A.B.C.D.2π,6π2π,6π6π,0π,6π56π5,2π题型分类深度剖析思维启迪从斜率的定义先求出倾斜角的正切值的范围，再确定倾斜角范围.解析设直线的倾斜角为,则tan=-cos,又∵∈，∴0＜cos≤,∴≤cos＜0即-≤tan＜0,注意到0≤＜,∴≤＜.答案B322π,6π23333233π6π5π探究提高（1）求一个角的范围，是先求这个角某一个函数值的范围，再确定角的范围.（2）在已知两个变量之间的关系式要求其中一个变量的范围，常常是用放缩法消去一个变量得到另一个变量的范围，解决本题时，可以利用余弦函数的单调性放缩倾斜角的取植范围，其目的是消去变量得到。知能迁移1直线xsin-y+1=0的倾斜角的变化范围是（）A.B.(0,π)C.D.解析直线x·sin-y+1=0的斜率是k=sin,又∵-1≤sin≤1，∴-1≤k≤1，∴当0≤k≤1时，倾斜角的范围是；当-1≤k＜0时，倾斜角的范围是.2π,04π,4πππ,434π,0D4π,0ππ,43题型二直线的斜率【例2】已知直线l过点P（-1，2），且与以A（-2，-3），B（3，0）为端点的线段相交，求直线l的斜率的取值范围.分别求出PA、PB的斜率，直线l处于直线PA、PB之间，根据斜率的几何意义利用数形结合即可求.解方法一如图所示，直线PA的斜率直线PB的斜率,5)2(1)3(2PAk思维启迪当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC时，它的斜率变化范围是［5，+∞）；当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜率的变化范围是∴直线l的斜率的取值范围是方法二设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y-2=k（x+1），即kx-y+k+2=0.∵A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线l上，∴（-2k+3+k+2）（3k-0+k+2）≤0，.21)1(320PBk21,.,521,即（k-5）（4k+2）≥0，∴k≥5或k≤-.即直线l的斜率k的取值范围是∪［5，+∞）.方法一运用了数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝角时，需根据正切函数y=tan的单调性求k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法.解题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的.方法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决.2121,探究提高知能迁移2已知点A（1，3），B（-2，-1）.若直线l：y=k（x-2）+1与线段AB相交，则k的取值范围是（）A.k≥B.k≤-2C.k≥或k≤-2D.-2≤k≤解析由已知直线l恒过定点P（2，1），如图.若l与线段AB相交，则kPA≤k≤kPB，∵kPA=-2，kPB=，∴-2≤k≤.212121D2121题型三求直线的方程【例3】求适合下列条件的直线方程：（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；（2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.选择适当的直线方程形式，把所需要的条件求出即可.解（1）方法一设直线l在x,y轴上的截距均为a,若a=0，即l过点（0，0）和（3，2），∴l的方程为y=x，即2x-3y=0.32思维启迪若a≠0，则设l的方程为∵l过点（3，2），∴∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.方法二由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0,设直线方程为y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,∴直线l的方程为y-2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.,1ayax,123aak2k23232（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.∵tan=3,∴tan2=又直线经过点A（-1，-3），因此所求直线方程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0..43tan1tan2243探究提高在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.知能迁移3求下列直线l的方程：（1）过点A（0，2），它的倾斜角的正弦值是；（2）过点A（2，1），它的倾斜角是直线l1：3x+4y+5=0的倾斜角的一半；（3）过点A（2，1）和直线x-2y-3=0与2x-3y-2=0的交点.解（1）设直线l的倾斜角为，则sin=,tan=±,由斜截式得y=±x+2,即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0.53534343（2）设直线l和l1的倾斜角分别为、，则解得tan=3或tan=-（舍去）.由点斜式得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.（3）解方程组即两条直线的交点为（-5，-4）.由两点式得即5x-7y-3=0.,tan1tan243,43tan,2π,022则又31.45,0232,032y，xyxyx得,252141xy题型四直线方程的应用【例4】（12分）过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：（1）△AOB面积最小时l的方程；（2）|PA|·|PB|最小时l的方程.先求出AB所在的直线方程，再求出A，B两点的坐标，表示出△ABO的面积，然后利用相关的数学知识求最值.思维启迪解方法一设直线的方程为当且仅当,即a=4,b=2时，S△AOB取最小值4，4分此时直线l的方程为6分.421.8,112122)1(.112),1,2(1ΔabSabbababababyaxAOB由已知可得1分3分2112ba.042,124yxyx即当且仅当a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4.此时直线l的方程为x+y-3=0.12分.)1(4)2(2]4)1[(]1)2[()1()02()01()2(,2)1)(2(,02,112)2(222222bababaPBPAbabaabba变形得得由8分10分方法二设直线l的方程为y-1=k(x-2)(k＜0),则l与x轴、y轴正半轴分别交于当且仅当-4k=-,即k=-时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.6分.4)44(21)]1()4(4[21)21)(12(21)1().21,0()0,12(ΔkkkkSkBkAAOB、k121211分3分（2）|PA|·|PB|=10分当且仅当=4k2,即k=-1时取得最小值,此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.12分求直线方程最常用的方法是待定系数法，本题所要求的直线过定点，设直线方程的点斜式，由另一条件确定斜率，思路顺理成章，而方法一和方法二联系已知条件与相关知识新颖独特，需要较高的逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力.22441)1(kk,484422kk24k探究提高知能迁移4已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).（1）证明：直线l过定点；（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范围；（3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面