1.2排列与组合课件

1.2排列组合1.2.1排列问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？问题引导开门见山３种２种３×２＝６种甲乙丙乙甲丙丙甲乙分析：树形图：相应的排列：甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙问题1从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的方法？把问题1中被取的对象叫做元素问题改述为：从3个不同的元素a,b,c中任取2个，按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法。不同的排列为：abacbabccacb共有3X2=6种４种３种４×３×２＝２４种２种问题2从１、２、３、４这四个数字中，取出3个数字排成一个三位数，共可得多少个不同的三位数？分析：１２３４３４２４２３２１３４３４１４１３３１２４２４１４１２４１２３２３１３１２树形图：问题2从１、２、３、４这四个数字中，取出3个数字排成一个三位数，共可得多少个不同的三位数？把问题1中被取的对象叫做元素问题改述为：从4个不同的元素a,b,c,d中任取3个，按照一定的顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法。不同的排列为：abcabdacbacdadbadcbacbadbcabcdbdabdccabcadcbacbdcdacdbdabdacdbadbcdcadcb共有4X3X2=24种基本概念2、排列定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。说明：1、元素不能重复。2、“按一定顺序”就是与位置有关，这是判断一个问题是否是排列问题的关键。3、两个排列相同，当且仅当这两个排列中的元素完全相同，而且元素的排列顺序也完全相同。4、m＜n时的排列叫选排列，m＝n时的排列叫全排列。5、为了使写出的所有排列情况既不重复也不遗漏，可以采用“树形图”。（有序性）（互异性）3排列数的定义从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同的排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数.记作注意：（2）排列与排列数的区别排列：不是数，是有序的元素列排列数：是数，排列的个数Ａmn（1）且m≤n,mnN问题３从n个不同元素中取出２个元素，排成一列，共有多少种排列方法？问题４从n个不同元素中取出３个元素，排成一列，共有多少种排列方法？n种(n-1)种n种(n-1)种(n-2)种合作交流互动探究=n(n-1)Ａ2n=n(n-1)(n-2)Ａ3n问题5从n个不同元素中取出m个元素，排成一列，共有多少种排列方法？n种(n-1)种(n-2)种(n-m+1)种……合作交流互动探究排列数公式：=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)种Ａmn排列数公式的特征：（１）m项相乘；（２）右边第一个因数是n，后面每个因数比前一个少1Ａnn表示什么？n个元素全部取出的排列的个数，其中每个排列叫做n个元素的一个全排列Ａnn(1)(2)321nnn!n（n的阶乘）规定：0!1!()!mnnAnm(1)(2)(1)mnnnnnmA排列数公式：mnn!(mn,m,nN)(nm)!A)Nnm,n,(m常用于计算含有数字的排列数的值常用于对含有字母的排列数的式子进行变形和论证10！规定：全排列n个不同元素全部取出的一个排列123)2()1(nnnAnn!nAnn1!2!3!4!5!6!7!125040720120624(n+1)·n!=(1)(1)(2)321nnnn=(n+1)!(n+2)(n+1)·n!(2)(1)(1)(2)321nnnnn=(n+2)!例4计算：316(1)A3360141516=6！=6×5×4×3×2×1=72066(2)A例题与练习!57!7!8)3(22!(1)!(4)mmmmA42221mm例2.解方程:4321(1)140nnAA189(2)34mmAA（1）n=3(2)m=6例2某年全国足球甲级（A组）联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总共要进行多少场比赛.2141413182A(场)例3（1）从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？3560A=(种)35125=(种)（2）从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？例4：用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？百位十位个位解法一：对排列方法分步思考。648899181919AAA6488992919AA从位置出发解法二：对排列方法分类思考。符合条件的三位数可分为两类：百位十位个位A390百位十位个位A290百位十位个位A2964822939AA根据加法原理从元素0出发分析解法三：间接法.从0到9这十个数字中任取三个数字的排列A310.648898910A310A29∴所求的三位数的个数是其中以0为排头的排列数为.A29逆向思维法个。有种，故符合题意的偶数有、千位上的排列数不能选），十位、百位种（排列数有中选）；万位上的数字、种（从有）个位上的数字排列数解法一：（正向思考法331312331312542AAAAAA百位十位个位千位万位13A33A12A例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？有约束条件的排列问题百位十位个位千位万位例5：由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有多少个？个共有：个，符合题意的偶数的数减去偶数中大于个，再数个，减去其中奇数的个位数有数字的组成无重复、、、、）由解法二：（逆向思维法365000055432133124413553312441355AAAAAAAAAA有约束条件的排列问题有约束条件的排列问题例6：6个人站成前后两排照相，要求前排2人，后排4人，那么不同的排法共有（）A.30种B.360种C.720种D.1440种C例7：有4个男生和3个女生排成一排，按下列要求各有多少种不同排法：（1）男甲排在正中间；（2）男甲不在排头，女乙不在排尾；（3）三个女生排在一起；（4）三个女生两两都不相邻；（5）全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；（6）若甲必须在乙的右边（可以相邻，也可以不相邻），有多少种站法？对于相邻问题，常用“捆绑法”对于不相邻问题，常用“插空法”例8：一天要排语、数、英、体、班会六节课，要求上午的四节课中，第一节不排体育课，数学排在上午；下午两节中有一节排班会课，问共有多少种不同的排法？有约束条件的排列问题1.2.2组合问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？236A甲、乙；甲、丙；乙、丙3情境创设从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,并成一组问题2从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.问题1排列组合有顺序无顺序一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列与组合的概念有什么共同点与不同点？概念讲解组合定义:组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．排列定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.共同点:都要“从n个不同元素中任取m个元素”不同点:排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关.概念讲解思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?思考二:两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?１）元素相同；２）元素排列顺序相同.元素相同概念理解构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.思考三:组合与排列有联系吗?1.从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:ab,ac,bc2.已知4个元素a,b,c,d,写出每次取出两个元素的所有组合.abcdbcdcdab,ac,ad,bc,bd,cd(3个)(6个)概念理解从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号表示.mnC233C246C如:从a,b,c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合个数是:如:已知4个元素a、b、c、d,写出每次取出两个元素的所有组合个数是：概念讲解组合数:注意：是一个数，应该把它与“组合”区别开来．mnC1.写出从a,b,c,d四个元素中任取三个元素的所有组合。abc，abd，acd，bcd.bcddcbacd练一练组合排列abcabdacdbcdabcbaccabacbbcacbaabdbaddabadbbdadbaacdcaddacadccdadcabcdcbddbcbdccdbdcb不写出所有组合，怎样才能知道组合的种数？你发现了什么?可分两步考虑：求P34PPC33343434A求可分两步考虑：344C第一步，（）个；336A第二步，（）个；333.434CAA根据分步计数原理，334343ACA从而mnC如何计算:组合数公式排列与组合是有区别的，但它们又有联系．根据分步计数原理，得到：因此：一般地，求从个不同元素中取出个元素的排列数，可以分为以下2步：nm第1步，先求出从这个不同元素中取出个元素的组合数．mnCnm第2步，求每一个组合中个元素的全排列数．mnAmmmmnmnACA!121mmnnnnAACmmmnmn这里，且，这个公式叫做组合数公式．*Nnm、nm概念讲解组合数公式:(1)(2)(1)!mmnnmmAnnnnmCAm从n个不同元中取出m个元素的排列数mmmnmnCAA!!()!mnnCmnm01.nC我们规定：概念讲解例1计算：⑴47C⑵710C32(3),nnnCA已知求．例2.甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛，(1)列出所有各场比赛的双方；（2)列出所有冠亚军的可能情况.（2）甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙(1)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁解：例题分析(4)求38-n3n3n21+nC+C的值.例3.11CmnmCmnmn:求证,!!:）（！证明mnmnCmn)!1()!1(!111mnmnmnmmnmCmn)!1)((!)!1(1mnmnnmm.!)(!!Cmnmnmn例1：一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛。按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案？（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？例3.(1)凸五边形有多少条对角线？(2)凸n（n3）边形有多少条对角线？例2.(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？例4：在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。(1)一共有多少种不同的抽法?(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?(4)抽出的3件中至多有一件是次品的抽法有多少种？说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。例5、某医院有内科医生12名，外科医生8名，现要派5人参加支边医疗队，至少要有1名内科医生和1