坐标系与参数方程复习课件.ppt

第十四编系列4选讲§14.1坐标系与参数方程要点梳理1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O叫做；自点O引一条射线OX叫做；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系．基础知识自主学习极点极轴设M是平面上任一点,极点O与点M的距离︱OM︱叫做点M的，记为_____；以极轴OX为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的，记为____.有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标,记作.2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点,x轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的长度单位.设M是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则x＝ρcosθy＝ρsinθ，ρ2＝x2＋y2tanθ＝yx(x≠0)极径ρ极角θM(ρ,θ)3．直线的极坐标方程若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为_________________________．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：_______和___________；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：___________；(3)直线过点M(b，π2)且平行于极轴：__________.4．圆的极坐标方程若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋－r2＝0.ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)θ＝θ0θ＝π－θ0ρcosθ＝aρsinθ＝b20几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r：；(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：；(3)当圆心位于M(a，π2)，半径为a：_____________.5．常见曲线的参数方程的一般形式(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为x＝x0＋tcosαy＝y0＋tsinα(t为参数)．ρ＝rρ＝2acosθρ＝2asinθ.,0的数量表示有向线段则是直线上的任一点设PPtP(2)圆的参数方程x＝rcosθy＝rsinθ(θ为参数)．(3)圆锥曲线的参数方程椭圆x2a2＋y2b2＝1的参数方程为x＝acosθy＝bsinθ(θ为参数)；双曲线x2a2－y2b2＝1的参数方程为x＝asecφy＝btanφ(φ为参数)；抛物线y2＝2px的参数方程为x＝2pt2y＝2pt(t为参数)．基础自测1．在极坐标系中，与点3，－π3关于极轴所在直线对称的点的极坐标为()A.3，23πB.3，π3C.3，43πD.3，56πB2．极坐标方程ρcosθ＝4表示的曲线是()A．一条平行于极轴的直线B．一条垂直于极轴的直线C．圆心在极轴上的圆D．过极点的圆B3．参数方程x＝t＋1ty＝2(t为参数)表示的曲线是()A．一条直线B．两条直线C．一条射线D．两条射线4．设曲线的极坐标方程为ρ＝2asinθ(a＞0)，则它表示的曲线是()A．圆心在点(a,0)直径为a的圆B．圆心在点(0，a)直径为a的圆C．圆心在点(a,0)直径为2a的圆D．圆心在点(0，a)直径为2a的圆DD5．(2009·广东)若直线x＝1－2t，y＝2＋3t(t为参数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝.解析直线x＝1－2t，y＝2＋3t的普通方程为3x＋2y－7＝0，k1＝－32.直线4x＋ky＝1的斜率k2＝－4k，∵两直线垂直，∴k1·k2＝－1.∴k＝－6.-6题型分类深度剖析题型一点的极坐标与直角坐标的互化【例1】在极坐标系中，已知三点M2，－π3、N(2,0)、P23，π6.(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．解(1)由公式x＝ρcosθy＝ρsinθ，得M的直角坐标为(1，－3)；N的直角坐标为(2,0)；P的直角坐标为(3，3)．(2)∵kMN＝32－1＝3，kNP＝3－03－2＝3，∴kMN＝kNP，∴M、N、P三点在一条直线上．探究提高为了使极坐标与平面上的点一一对应，我们规定了ρ≥0,0≤θ2π，但极点坐标(0，θ)，它的表示仍不唯一，点的极坐标形式化为直角坐标形式相对比较容易，直接代入公式x＝ρcosθ，y＝ρsinθ计算即可．知能迁移1在极坐标系中,求点P2，π3和Q23，5π6的中点坐标．解点P2，π3化为直角坐标形式为(1，3)，点Q23，56π化为直角坐标形式为(－3，3)，∴P、Q中点的直角坐标为(－1,3),∴ρ＝2,θ＝23π.∴P、Q的中点极坐标为2，23π.题型二曲线的极坐标方程【例2】若两条曲线的极坐标方程分别为ρ＝1与ρ＝2cosθ＋π3，它们相交于A，B两点，求线段AB的长．解由ρ＝1得x2＋y2＝1，又∵ρ＝2cosθ＋π3＝cosθ－3sinθ，∴ρ2＝ρcosθ－3ρsinθ.∴x2＋y2－x＋3y＝0.由x2＋y2＝1，x2＋y2－x＋3y＝0，得A(1,0)，B－12，－32，∴|AB|＝1＋122＋0＋322＝3.即线段AB的长为3.探究提高由于在直角坐标系中,对圆的研究已经很彻底,因此涉及圆的问题,把极坐标形式的方程转化为直角坐标形式的方程在直角坐标系中解决相关问题．知能迁移2⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ＝4cosθ，ρ＝－4sinθ.(1)求⊙O1和⊙O2的直角坐标方程；(2)求经过⊙O1、⊙O2交点的直线的直角坐标方程．解以极点为原点，极轴为x轴正半轴，建立平面直角坐标系，两坐标系中取相同的长度单位．(1)x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ，所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0为⊙O1的直角坐标方程，同理x2＋y2＋4y＝0为⊙O2的直角坐标方程．(2)由x2＋y2－4x＝0，x2＋y2＋4y＝0，解得x1＝0，y1＝0，或x2＝2，y2＝－2.即⊙O1、⊙O2交于点(0,0)和(2,－2)，过交点的直线的直角坐标方程为y＝－x.题型三参数方程化普通方程【例3】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：(1)x＝1＋12t，y＝2＋32t(t为参数)；(2)x＝1＋t2，y＝2＋t(t为参数)；(3)x＝t＋1t，y＝1t－t(t为参数)；(4)x＝4sinθ，y＝5cosθ(θ为参数)．解(1)由x＝1＋12t得，t＝2x－2.∴y＝2＋32(2x－2)．∴3x－y＋2－3＝0，此方程表示直线．(2)由y＝2＋t，得t＝y－2，∴x＝1＋(y－2)2.即(y－2)2＝x－1，方程表示抛物线．(3)由x＝t＋1t①y＝1t－t②∴①2－②2得，x2－y2＝4，方程表示双曲线．(4)x＝4sinθy＝5cosθ，得sinθ＝x4①cosθ＝y5②①2＋②2，得x216＋y225＝1表示椭圆．探究提高把参数方程化为普通方程，关键是“消参”，若方程组中含有一次方程常用代入法消参，涉及三角函数的方程组常利用平方关系sin2θ＋cos2θ＝1消参．同时要注意方程的等价性．知能迁移3将下列参数方程化为普通方程：(1)x＝1－sin2θy＝sinθ＋cosθ；(2)x＝3k1＋k2y＝6k21＋k2.解(1)由(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ，得y2＝2－x.又x＝1－sin2θ∈[0,2]，∴y2＝2－x，x∈[0,2]．(2)由yx＝2k，得k＝y2x，然后代入x＝3k1＋k2，化简整理得：4x2＋y2－6y＝0(y≠6)．题型四参数方程的应用【例4】(10分)过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线x＝t＋1t，y＝t－1t(t为参数)相交于A、B两点，求线段AB的长．思维启迪利用直线的参数方程来求直线被圆锥曲线所截弦长问题，计算量相对较小，解题时应注意直线参数方程中参数t的几何意义．又曲线x＝t＋1t，y＝t－1t(t为参数)可以化为x2－y2＝4，4分将直线的参数方程代入上式，得s2－63s＋10＝0.6分设A、B对应的参数分别为s1，s2，∴s1＋s2＝63，s1s2＝10.8分AB＝|s1－s2|＝(s1＋s2)2－4s1s2＝217.10分解直线的参数方程为x＝－3＋32s，y＝12s(s为参数)，2分探究提高直线参数方程的标准形式是x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα.其中参数t有明显的几何意义．|t|表示直线任一点P(x，y)到定点P0(x0，y0)的距离．知能迁移4求直线x＝1＋45ty＝－1－35t(t为参数)被曲线ρ＝2cosθ＋π4所截的弦长．解将方程x＝1＋45ty＝－1－35t，ρ＝2cosθ＋π4分别化为普通方程：3x＋4y＋1＝0，x2＋y2－x＋y＝0，圆心C12，－12，半径为22，圆心到直线的距离d＝110，弦长＝2r2－d2＝212－1100＝75.1．极坐标方程与普通方程互化核心公式：x＝ρcosθy＝ρsinθ.2．过点A(ρ0，α)倾斜角为θ0的直线方程为ρ＝ρ0sin(α－θ0)sin(θ－θ0).特别地，①过点A(a,0)(a0)且垂直于极轴的直线l的极坐标方程为ρcosθ＝a.②平行于极轴且过点A(a,0)(a0)的直线l的极坐标方程为ρsinθ＝a.3．圆心在点A(ρ0，α)半径为r的圆方程为r2＝ρ2＋ρ20－2ρρ0cos(θ－α)．方法与技巧思想方法感悟提高1．在曲线方程之间的互化时，要做到互化准确，不重不漏，保持转化后形式的纯粹性与完备性．2．直线的参数方程：（t为参数），其中M0(x0,y0)为直线l上的定点，角θ为直线l的倾斜角，参数t的几何意义：t=M0M，即直线上从已知点M0到点M(x,y)的有向线段的数量,当点M(x，y)在点M0上方或右方时，t0；当点M在点M0下方或左方时，t0.失误与防范sincos00tyytxxMM0定时检测一、选择题1.在极坐标系中,点P(ρ0，θ0)(ρ0≠0)关于极点的对称点的极坐标是()A.(－ρ0，θ0)B．(ρ0，－θ0)C.(－ρ0，－θ0)D．(－ρ0，π＋θ0)A2.曲线的极坐标方程为ρ＝2cos2θ2－1的直角坐标方程为()A.x2＋y－122＝14B.x－122＋y2＝14C．x2＋y2＝14D．x2＋y2＝1B3．过点2，π4平行于极轴的直线的极坐标方程是()A．ρcosθ＝4B．ρsinθ＝4C．ρsinθ＝2D．ρcosθ＝2C4．曲线的参数方程是x＝1－1ty＝1－t2(t是参数，t≠0)，它的普通方程是()A．(x－1)2(y－1)＝1B．y＝x(x－2)(1－x)2C．y＝x1－x2＋1D．y＝1(1－x)2－1解析由x＝1－1t，解得t＝11－x，代入y＝1－t2，得y＝1－1(1－x)2＝x(x－2)(1－x)2.B5．直线ρcosθ＝2关于直线θ＝π4对称的直线方程为()A．ρcosθ＝－2B．ρsinθ＝2C．ρsinθ＝－2D．ρ＝2sinθ解析∵直线x＝2关于直线y＝x的对称直线是y＝2，∴ρsinθ＝2.B6．过点(0,2)且与直线x＝2＋ty＝1＋3t(t为参数)的夹角为30°的直线方程为()A．y＝x＋33和x＝0B．y＝33x＋2和y＝0C．y＝33x＋2和x＝0D．y＝233x＋3和x＝0解析直线x＝2＋ty＝1＋3t的斜率k＝3.倾斜角为60°，所求直线的倾斜角为30°或90°.C二、填空题7．在极坐标