自动控制3.3~3.4 二阶系统时域分析

3-3二阶系统的时域分析能够用二阶微分方程描述的系统为二阶系统。它在控制工程中的应用极为广泛，例如，RLC网络、电枢控制的直流电动机、弹簧-质量块-阻尼器系统等。此外，许多高阶系统在一定条件下，常常近似地作为二阶系统来研究。因此，详细讨论和分析二阶系统的特性，具有极为重要的实际意义。)()()()(22tutudttduRCdttudLCiooo)()()()(22tFtkxdttdxfdttxdm)t()CCfR(dt)t(d)JRfL(dt)t(dJLmemmammamamma22)t(MRdt)t(dML)t(uCcacaam+-一、二阶系统数学模型2211111KKsTssKsTsKsTsKKTTssKKssTT()()()()2222nnn(s)ss标准形式：21122nnnKKTTTKTn自然振荡频率，单位为rad/s阻尼比2222nnn(s)ss标准形式：244(s)ss2025,.n2220nnDsss()闭环特征方程：2222nnn(s)ss标准形式：闭环特征根：122,1nns单位阶跃输入r(t)=1(t)时，其二阶系统的输出的拉氏变换为))(()()()(21222212sssssssssRssCnnnn122,1ζζsnn显然，随着阻尼比ζ的不同,二阶系统特征根(极点)也不相同，系统的响应形式也不同。以下研究n一定，阻尼比ζ不同时的单位阶跃响应。二、二阶系统单位阶跃响应1、0:负阻尼系统××j-1××j-10t1c(t)0发散振荡21,21nnsζζ两个特征根位于S右半平面，输出响应含有模态，具有正幂指数，动态过程发散振荡或单调发散。12,ststee2、=0:无阻尼系统两个特征根为一对共轭纯虚根：s1,2=±jn××j=022222222112()()()nnnnnnsCsssssssst12c(t)0等幅振荡21,21nnsζζ1()cosnctt3、01:欠阻尼系统两个特征根为一对负实部共轭复根：2121.nnsj21dn令：，称为有阻尼振荡频率2cossin1n模阻尼角21,21nnsζζ（1）单位阶跃响应：2222222222222221122111()()()()()...()()nnnnnnnnnnndndssssCssRsssssssssss22222221111111111cossin()cossincossinsin()nnntddtnntnctettettet稳态分量瞬态分量欠阻尼二阶系统的单位阶响应由稳态和瞬态两部分组成：a.瞬态部分是衰减的正弦振荡曲线，衰减速度取决于特征根实部的绝对值ζωn(即σ，特征根实部）的大小,b.振荡角频率为阻尼振荡角频率d（特征根虚部)。c.稳态部分等于1，表明不存在稳态误差；21nd)0()sin(11)(2tβtωζetcdtζn1c(t)nt0衰减振荡)0()sin(11)(2ttetcdtn21ndrt阶跃响应从零第一次升到稳态所需的的时间。上升时间tr单位阶跃响应012)sin(rdttern•即•得•此时1)(rtc(2)动态性能指标cosβarcrdt单位阶跃响应超过稳态值达到第一个峰值所需要的时间。21ndpt峰值时间tp2222()0()1cos(+)sin(+)1=1cos(+)sin(+)011tan(+)tan(+)pnnnttttddndtndnddpdpdctdtdctetetdtetttkt)0()sin(11)(2ttetcdtn单位阶跃响应中最大超出量与稳态值之比。222211221()()%100%sin()100%()1sin()100%sin100%11100%npnntpdpddctcetceee超调量%)0()sin(11)(2ttetcdtn%100%21e单位阶跃响应进入±误差带的最小时间。调节时间ts欠阻尼二阶系统的一对包络线如图c(t)t0121e1nt-21e1nt-包络线3.5snt（=5%时）•工程上通常用包络线代替实际曲线来估算。21ζetζn解得2111111ζnnζtns4.4snt或（=2%时）例题：系统结构图如图所示，要求系统性能指标σ％＝20％，tp=1s（1）求系统阻尼比，自然振荡频率。（2）确定K与τ的值。（3）求阻尼振荡频率，阻尼角（4）计算上升时间tr和调节时间ts。闭环传递函数2()(1)()(1)1(1)(1)KCsKssKRssKsKsss212221,,21ln%100%,0.46,1,3.14/12(ln)13.14(/),3.53(/)npdddnnKKKetradsradsrads222112.46(/),0.18()nnKradssKarccos1.10()rad3.50.65(),2.17()rdntstss4、＝1:临界阻尼系统两个特征根为一对相等负实根××j＝11c(t)t0单调上升过程21,21nnsζζ1,2nsζ2222)(11)2()(nnnnnnsssssssC)0(1)(tteetctntnn5、1:过阻尼系统两个特征根为一对不相等负实数实根××j121,21nnsζζnnζζsζζs)1(,)1(2221)1()1(1))(()(23221212ζζsCζζsCsCssssssCnnntζζtζζnneζζζeζζζtc)1(22)1(2222)1(121)1(1211)(1c(t)t0单调上升过程tζζtζζnneζζζeζζζtc)1(22)1(2222)1(121)1(1211)(过阻尼二阶系统性能指标的关系与图rnt163调节时间特性图173)()(2122112TsTsssnn2121212211TTTTTTn,=1，T1/T2=1,ts=4.75T1,n=1/T1例题：设角度随动系统如图所示，T=0.1为伺服电机时间常数，若要求系统的单位阶跃响应无超调，且调节时间ts≤1s，问K应取多大？此时上升时间等于多少？_1()KsTsΘi(s)Θo(s)解：闭环传递函数为22/(1)()//1(1)KKKTsTssKTssKssTKTsTs为使系统具有尽量快的响应速度，取=1,2n=1/T=10,n=5rad/s,n2=K/T=10K,K=2.5=1，T1/T2=1,ts=4.75T1,n=1/T1,T1=0.2,ts=4.75T1=0.95≤1s,tr=3.5/5=0.7s0123456789101112ntc(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0以上几种情况的单位阶跃响应曲线如下图：=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.0•在01,越小，超调量越大，平稳性越差，调节时间ts长；•=0.7，调节时间短，而超调量%5%，平稳性也好，故称ζ=0.7为最佳阻尼比。工程希望=0.4～0.8为宜；•在≥1,越大，系统响应速度慢，调节时间ts也长。三、二阶系统的性能改善改善二阶系统性能的两种方法：比例-微分控制测速反馈控制1、比例－微分控制R(s)(-)C(s)Go(s))2(2nnωssωTds+1可见，比例－微分控制不改变开环增益。R(s)(-)C(s)Go(s))2(2nnωssωTds+12(1)(1)2(),(2)(/21)2ndndnnnTsTsGsKssss21222020nnnnnKsssssG,)/()()(2222211212()()()()()()dndnndndnnnTsTssssTssTs1222,dnddndTT可见，比例－微分控制不改变自然振荡频率和开环增益，但增大阻尼比，以抑制振荡，减少超调量。比例－微分控制相当于增加了一个零点，故称为有零点的二阶系统。R(s)(-)C(s)Go(s))2(2nnωssωTds+12022()()nnnsss特点:(1)引入比例微分控制，系统阻尼增加，其对振荡的抑制强于闭环零点对振荡的扩大。因此，总体是使超调减弱，改善平稳性；(2)闭环零点的出现，加快了系统响应速度，克服了阻尼过大，响应速度慢的缺点。快速性和平稳性均提高。(3)不影响开环增益，即不影响系统稳态误差，自然振荡频率不变。注意：微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在输入端噪声较强时，不宜采用比例-微分控制。此时，可考虑用测速－反馈控制。2、测速－反馈控制R(s)(-)C(s))(n2n2ζssωKtS(-)测速－反馈控制])/([)()()(1212212222ntnntnnntnnKssKsssKsssGntnKK2可见，开环增益减小。21222020nnnnnKsssssG,)/()()(举例图1-13b函数记录仪原理方块图闭环传递函数：222222()()1()(2)2nntnnntnnGssGssksssnttK21特点：（1）测速反馈可以使阻尼比增加，振荡和超调减小，改善了系统平稳性；但不影响系统的自然频率；（2）测速反馈不增加闭环系统的零点，对系统性能改善的程度与比例-微分控制是不一样的；（3）测速反馈会降低系统原来的开环增益，通过增益补偿，可不影响原系统的稳态误差。R(s)(-)C(s))(n2n2ζssωKtS(-)C(s)_E(s)101()ssR(s)R(s)C(s)_E(s)101()ssKs_(a)(b)例题：设控制系统如图所示，其中（a）为比例控制系统，（b）为测速反馈控制系统，若使系统（b）的阻尼比为=0.5，求系统参数K，并计算系统（a）和（b）的各项性能指标。21010()sss2/1100%60.4%expxs--=?3.57(5%)sntsxw==D=解：（1）系统(a)的闭环传递函数10316016./,.nradsC(s)_E(s)101()ssR(s)R(s)C(s)_E(s)101()ssKs_(a)(b)21011010()()ssKs