自动控制原理--根轨迹法 PPT课件

西南交通大学电气工程学院20092第四章根轨迹法4.1引言4.2根轨迹法的基本概念4.3绘制根轨迹的基本规则4.4绘制根轨迹举例4.5参数根轨迹本章小结34.1引言系统的稳定性←闭环极点(系统的特征根)系统响应特性←闭环极点和零点系统的稳定性系统响应的大致特性1948年，W.R.Evans提出了根轨迹法：当开环增益或别的某个参数变化时特征根的轨迹图——找特征根的简单的图解法。闭环极点决定了返回44.2根轨迹的基本概念反馈控制系统的闭环传函)()(1)()()()(sHsGsGsRsYsT0)()(1sHsG(4.1)特征方程njojmioiggpszsKsQsPKsHsG11)()()()()()((4.2)开环传函Kg:传递系数(开环根轨迹增益)－zoi:开环(传函的)零点,i=1,2,…,m.－poj:开环(传函的)极点,j=1,2,..,n.54.2根轨迹的基本概念于是，特征方程(4.3)0)()(1)()(111njojmioigpszsKsHsG根轨迹法：根据开环传函(开环零点、极点)，找出开环增益(或别的某个参数)由0→∞变化时，闭环系统特征根的轨迹。根轨迹法的基本思想：开环传函等于-1的s值，必为特征根。64.2根轨迹的基本概念幅角条件与幅值条件(4.4)1)()(sHsG特征方程(4.1)即为1)()(:,2,1,0,180)12()()(:sHsGkksHsG幅值条件幅角条件(4.5)(4.6)开环传函G(s)H(s)为复数，故由(4.4),有满足幅角条件、幅值条件的s值就是特征方程的根，即闭环极点。幅角条件和幅值条件构成根轨迹的基本条件。74.2根轨迹的基本概念将特征方程写成：(4.7)gsjnjojmioiKesApszssQsP1)()()()()()(11(4.8))()()()12(180)()()()()(11向为正矢量的幅角以逆时针方的矢量的幅角；，开环有限极点到的矢量的幅角；，开环有限零点到spsszskpszssHsGsjojioinjojmioi幅角条件84.2根轨迹的基本概念将特征方程写成：(4.7)(4.9)gnjojmioiKpszssA1||||)(11的矢量长度之积，开环有限极点到的矢量长度之积，开环有限零点到sLpsslzsjojioi||||(4.7)gsjnjojmioiKesApszssQsP1)()()()()()(11幅值条件94.2根轨迹的基本概念由(4.8)和(4.9)给出了根轨迹的基本原理：1)以Kg为可变参数，s平面上满足幅角条件的点构成的曲线就是根轨迹；2)根轨迹上各点的Kg值可由幅值条件确定。由(4.8)和(4.9)也反映了根轨迹的几何意义。故在分析和绘制根轨迹时，幅角和幅值应可进行图解测量，故：横坐标和纵坐标采用同样的尺度等分104.2根轨迹的基本概念例4.1:绘制某二阶系统的根轨迹图；;12:;10:.10:21ssK022222nnsKssKssnn111,221特征方程:特征根:K由0→1变化时,特征根s1,s2:K=0，s1=0,s2=-2；K=1，s1=s2=-1(=1)；0K1，(1),s1,s2:为两个实根114.2根轨迹的基本概念;11:;11:.1:21jsjsK此时,根轨迹为过(－1,0)点的垂线11,21Kjss1K∞,(01),s1,s2:为共轭复根：124.2根轨迹的基本概念根轨迹上的任何一点均满足幅角条件：5,21,22,11,11)2(1121KjsKjsKssss对于任意一点s1,显然∠s1＋∠(s1＋2)＝180°对于s1=-1+j,对应的K值：返回134.3绘制根轨迹的基本规则开环传函(开环零点、极点)→闭环系统根轨迹根轨迹性质→作图规则→特殊点→根轨迹(手工绘制根轨迹概略图)0)()(1)()(1sQsPKsHsGg特征方程njojmioiggpszsKsQsPKsHsG11)()()()()()((4.2)绘制根轨迹时，将开环传递函数写成：144.3绘制根轨迹的基本规则特征方程写成：(4.7)gsjnjojmioiKesApszssQsP1)()()()()()(110)()(11mioignjojzsKps(4.10)或考察Kg:0→∞(Kg≥0),闭环系统特征根的轨迹。154.3绘制根轨迹的基本规则规则1：根轨迹是连续的，且对称于实轴；规则2：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；根轨迹的分支数(条数)为max{n,m}，n为开环(有限)极点数，m为开环(有限)零点数；起点:Kg=0,由(4.7),s=-poj,j=1,…,n;即Kg=0时，闭环极点=开环极点终点:Kg→∞,由(4.7),s=-zoi,i=1,…,m;即Kg→∞时，闭环极点=开环零点164.3绘制根轨迹的基本规则nm时,m个开环有限零点决定了m个闭环极点的位置;另(n-m)个闭环极点趋向于无穷远(开环无限零点).注:如果包括无限零点,则G(s)H(s)的零点数和极点数相等.0111)(bsbsbssPmmm0111)(asasassQnnn0)(1)(0)()(1sQKsPsQsPKgg特征方程174.3绘制根轨迹的基本规则0)(0)(1,sPsQKsKggm个闭环极点=m个开环(有限)零点ssQKsQsPsPzsKgoig)(01)()(0)(,而另(n-m)个闭环极点:即,另(n-m)个无限零点决定了(n-m)个闭环极点的位置.0)(1)(0)()(1sQKsPsQsPKgg特征方程184.3绘制根轨迹的基本规则一般n≥m，根轨迹的分支数应为闭环极点数。闭环极点数=开环极点数n=系统阶次n在绘制其它可变参数的根轨迹时，可能出现等效传函的mn的情况，这时将有(m-n)条根轨迹起始于(m-n)个开环无限极点。194.3绘制根轨迹的基本规则推证：1)开环共轭复数零、极点到实轴上的点的幅角和为2kp，因此对实轴上的根轨迹的幅角条件无影响;2)实轴上根轨迹的左侧的开环零、极点到实轴上的点的幅角均为0°，因此对实轴上的根轨迹的幅角条件也无影响；规则3：实轴上根轨迹段存在的区间的右侧，开环零点和开环极点之和为奇数。204.3绘制根轨迹的基本规则3)设Nzo=实轴上根轨迹右侧的开环零点数Npo=实轴上根轨迹右侧的开环极点数规则3：实轴上根轨迹段存在的区间的右侧，开环零点和开环极点之和为奇数。为奇数奇数opozopozopoznjjmiiNNkNNkNN)(12)12(11ppp推证：214.3绘制根轨迹的基本规则规则4：根轨迹的渐近线。根轨迹有|n-m|条分支沿渐近线趋于(或始于)无穷远，这些渐近线的倾角fA及与实轴的交点sA分别为:1,,1,0,12mnkmnkA，pf(4.11)mnzpmnzpmioinjojmioinjojA1111)()(s(4.12)224.3绘制根轨迹的基本规则推证：由(4.11)可知，不重复的渐近线只有n-m条。nm时(nm时情况类似)当Kg→∞，有n-m条根轨迹趋向于无限零点(s→∞)，对无限远的闭环极点sk→∞，开环有限零点、极点都相当于汇集到一点，-zoi,-poj到sk的矢量幅角、幅值都相同，s→sk，趋近的渐近线为一条直线，AjAresfs(4.13)渐近线方程：234.3绘制根轨迹的基本规则推论：1)渐近线倾角fAs=RootsoftheClosed-loopsystem=PolesoftheOpen-loopsystem=ZerosoftheOpen-loopsystemj1zf2pf1pfs=RootsoftheClosed-loopsystem=PolesoftheOpen-loopsystem=ZerosoftheOpen-loopsystemjAfpfppffmnkkknmssAAAnjjmiik12)12()1'2(11，由幅角条件当244.3绘制根轨迹的基本规则2)渐近线与实轴交点sA(4.14)01101111)()()()(asasbsbsKpszsKsHsGmnnnmmmgnjojmioig(4.15)111)()()(mnmnmnggsbasKKsHsGnjojnmioimpazb1111，注意到作多项式长除,(4.14)可写为推证：254.3绘制根轨迹的基本规则又,渐近线上,对于s=sk→∞,相当于有-zoi=-poj=sA则s=RootsoftheClosed-loopsystem=PolesoftheOpen-loopsystem=ZerosoftheOpen-loopsystemjAsymptoteCentroidAss=RootsoftheClosed-loopsystem=PolesoftheOpen-loopsystem=ZerosoftheOpen-loopsystemjAsymptoteCentroidAsmnAgsnjojmioigsKpszsKsHsG)()()()()(11s(4.16)1))(()(mnAmnmnAsmnssss由二项式定理264.3绘制根轨迹的基本规则比较(4.15)和(4.16)，可知mnAgsnjojmioigsKpszsKsHsG)()()()()(11s(4.16)mioinjojmnAzpbamn1111)(s111)()()(mnmnmngsbasKsHsG(4.15)11nmojoijiApznms274.3绘制根轨迹的基本规则定义:两条(或两条以上,成对)根轨迹在某点相遇后又分开的点称为根轨迹的分离点(或汇合点,可统称为分离点)。实轴上的根轨迹，相邻开环极点之间、相邻开环零点之间必存在分离点。相邻开环零点和极点之间，或不存在分离点，或存在成对的分离点。规则5：根轨迹的分离点，可由下式给出00)()(')()('gKsPsQsQsP(4.17)284.3绘制根轨迹的基本规则分离点处，特征方程为重根。因此，对于特征方程0)()(')()()(')(0)()(1)()(1)(2sQsQsPsQsPKdssdFsQsPKsHsGsFggF’(s)是分离点的必要条件，不是充分条件。由(4.17)的两个条件确定（Kg≥0的）分离点。294.3绘制根轨迹的基本规则规则6：根轨迹与虚轴的交点为闭环系统的临界稳定点。确定与虚轴交点和临界增益值的方法：a)利用Routh判据，确定临界稳定点；b)特征方程中，代入s=j令实部和虚部分别等于0，解出与虚轴交点±和临界增益值gKIRjIRjHjGjs和解出0)(0)(0)()()()(1304.3绘制根轨迹的基本规则规则7：根轨迹的出射角和入射角根轨迹以开环复极点-pol出发的出射角为：到达开环复零点-zol的入射角为：)12(180)()(,11kppzpnljjojolmioiolpol(4.18))12(180)()(,11kzzpzmliioiolnjojolzol(4.19)314.3绘制根轨迹的基本