自动控制原理3.1稳定性和代数稳定判据

第三章控制系统的时域分析§3-1稳定性和代数稳定判据§3-2典型输入和阶跃响应性能指标§3-3一阶系统的时域分析§3-4二阶系统的时域分析§3-5高阶系统的时域分析§3-6稳态误差分析§3-7基本控制规律的分析§3-8利用matlab进行时域分析研究自动控制系统在典型输入信号作用下输出信号随时间的变化，称为自动控制系统的时域分析。时域分析是一种直接在时间域中对系统分析的方法，可根据响应表达式和曲线分析系统的稳、快、准等性能，具有准确、直观等优点。本章引言第三章控制系统的时域分析§3-1稳定性和代数稳定判据线性系统稳定的充要条件：11()()()()()()miignjjszCssRssKsp11111()()[()][]()jminptigjnjjjszctLsLKaesp设系统处于全零平衡状态，现选单位脉冲信号作为输入信号，即，则系统输出响应为：()1Rs假设系统特征根无重根，则11lim()limlim0jjnnptptjjtttjjctaeae稳定的充要条件（续）1()jnptjjctae即单位脉冲响应为：系统稳定jp具有负实部★系统稳定的充要条件为：系统特征方程的根（即闭环极点）都为负实数或都具有负的实部。亦即，特征根都严格位于s左半面上。从系统稳定的充要条件看，要判断一个系统是否稳定，需求出系统的全部特征根。且稳定性是系统的固有特性，与系统的结构和参数有关，而与初始条件和外作用无关。稳定的充要条件（续）22100asasa211201.2242aaaasa二阶系统：210,,aaa当均大于零时，特征根为负实数或具有负实部，系统稳定。010110aasasa稳定的充要条件（续）一阶系统：当大于0时，特征根为负，系统是稳定的。01,aa高阶系统的稳定性需借助于稳定性判据。稳定判据即，若果系统特征方程出现缺项或系数符号互异的情况，系统肯定是不稳定的。劳斯（Routh）于1877年提出的稳定性判据能够判定一个多项式方程是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。但把它应用于判定系统的稳定性时，又称为代数稳定判据。劳斯稳定判据的应用程序如下：（1）写出系统特征方程：。并整理成如下形式：1()0KGs111100nnnnasasasa稳定判据即，若系统特征方程出现缺项或系数符号互异的情况，系统肯定是不稳定的。不必再使用稳定判据进行判断。（2）特征方程所有系数均存在且大于0，这是系统稳定的必要条件。（3）若特征方程所有系数均存在且大于0，则按下面的方式编制劳斯表：（2）、劳斯判据nn-2n-1n-3n-1n-2nn-31n-1n-1nn-3n-2n-1aaaaaa-aab=-=aaaa=a-ann-4n-1n-5n-1n-4nn-52n-1n-1nn-5n-4n-1aaaaaa-aab=-=aaaa=a-a三、劳斯判据的应用例1．3232100asasasa解：s3s2s1s0a3a1a2a00a012302aaaaa由劳斯判据得三阶系统稳定的条件为：12301.0(0,1,2,3);2.0iaiaaaa例2．05432234ssss0554356110412462101234＝sssss解：所以系统不稳，且有两个右根。例3．02233234ssss解：3026223274718147373293101234同乘以sssss所以系统不稳，且有两个右根。[为简化计算，可用某个正数去乘或除劳斯表中任意一行，不会改变稳定性的结论。]1、如果劳斯表第一列中出现0，则可用一个小的正数代替它，然后继续计算。这种情况系统肯定是不稳定的，当第一列元素无符号改变，表明系统有一对纯虚根；有符号改变时，表明系统有s右平面的根。劳斯判据两种特殊情况的处理I：显然系统不稳，且有两个右根。010121102202101234sssss0122234ssss解：例4．§3---5线性系统的稳定性分析劳斯判据两种特殊情况的处理I：2、劳斯表的某一行各元素均为零，说明特征方程有关于原点对称的根.处理方法：利用全零行的上一行构筑一辅助多项式，再用该辅助多项式的导函数替代全零行，继续计算。§3---5线性系统的稳定性分析劳斯判据两种特殊情况的处理II：在这种情况下，系统肯定不稳定；而且对称于原点的根可用辅助方程求得。sssss5432533220例。解：§3---5线性系统的稳定性分析.064.02322263323223411324012345ssssssssss求导：辅方：全0行4322()32(1)(2)0Qsssss由得关于原点对称的根为：,2jj劳斯判据两种特殊情况的处理II：1、判断系统稳定性（前述）2、分析系统参数变化对稳定性的影响：利用判据可确定个别参数变化对系数稳定性的影响，以及使系统稳定的参数取值范围。稳定判据的应用：§3---5线性系统的稳定性分析3、确定系统的相对稳定性4、结构不稳定系统及其改进措施试确定使系统稳定的开环放大系数K的取值范围及临界值KP例6．单位反馈系统的开环传递函数为：()(0.11)(0.251)kKGssss(0.11)(0.251)0sssK由劳斯判据确定某参数的取值范围§3---5线性系统的稳定性分析解：系统的特征方程为：即321440400sssK由劳斯判据，系统稳定的充要条件是：014401400KK使系统稳定的开环放大系数K的范围为：014K临界放大系数为：14PK由劳斯判据确定某参数的取值范围，确定使系统稳定的临界值（K为开环放大系数）例7．单位反馈：gkKGssss()(1)(2),gppKKggkKKGsKsss2()(1)(0.51)2解：32()320gDssssKigaK100），要求；§3---5线性系统的稳定性分析系统特征方程：由劳斯判据确定某参数的取值范围2)32106;06,6ggggpKKKK§3---5线性系统的稳定性分析系统参数变化对稳定性的影响gpKKKK0332而，所以有，即。1、判断系统稳定性（前述）2、分析系统参数变化对稳定性的影响：利用判据可确定个别参数变化对系数稳定性的影响，从而给出使系统稳定的参数取值范围。稳定判据的应用：3、确定系统的相对稳定性4、结构不稳定系统及其改进措施系统的相对稳定性（稳定裕度）：确定系统的相对稳定性虚轴是系统的临界稳定边界，我们以特征方程最靠近虚轴的根与虚轴的距离来表示系统的相对稳定性或稳定裕度。一般越大系统的稳定度越高。sz确定系统稳定裕度的做法：以代入原特征方程，得到以z为变量的方程；把劳斯判据应用于z方程；①②③若满足稳定的充要条件，则系统具有的稳定裕度。解:系统特征方程为：32(1)14(1)40(1)400zzzK1将s=z-1代入特征方程得：确定系统的相对稳定性例8．单位反馈系统的开环传递函数为：()(0.11)(0.251)kKGssss若要使系统具有σ=1以上的稳定裕度，试确定K的取值范围。321440400sssK整理得：321115(4027)0zzzK由劳斯判据得，系统稳定的充要条件是确定系统的相对稳定性321115(4027)0zzzK402701115(4027)0KK解方程得K的取值范围为：0.6754.8KK=0.675时，系统有一特征根-1；K=4.8时，系统有一对特征根-1±3.87j；041310223sss1设例9.，检验之。解:1)先判原系统稳定与否：0ia21013241220D12所以稳定。041310223sss014223zzz2)将s=z-1代入中得到：确定系统的相对稳定性显然，系统不具有σ=1的稳定裕度。例10.单位反馈系统)10)(4()(sssKsGgk（1）确定使系统稳定的Kg的取值范围。确定系统的相对稳定性（2）要使系统闭环极点的实部不大于－1，试确定Kg的取值范围。答案：(1)0560(2)27192KgKg1、判断系统稳定性（前述）2、分析系统参数变化对稳定性的影响：稳定判据的应用：3、确定系统的相对稳定性4、结构不稳定系统及其改进措施结构不稳定系统：仅靠调整参数无法稳定的系统。改造措施：⑴改变积分环节的性质;⑵引入比例微分环节。结构不稳定系统及其改进措施系统的特征方程为：32120mmTssKKK缺项，不稳定一般，单位反馈系统，若其前向通道包含两个或两个以上的积分环节，便构成了结构不稳定系统。结构不稳定系统的改进措施（1）改变积分环节的性质(用反馈包围积分环节)KH11()HKGssKK321112()(1)0mHmHmDsTsKKTsKKsKKK系统特征方程为：KH结构不稳定系统的改进措施（1）改变积分环节的性质(用反馈包围积分环节)2()mmmHKGsTssKK3212()0mmHmDsTssKKsKKK系统特征方程为：（2）引入比例微分环节结构不稳定系统的改进措施K=K1KmK232()0mdDsTssKsK系统特征方程为：作业P1333-1（1）（4）3-2（1）（3）（5）3-6