图形的相似与位似 经典题解

图形的相似与位似经典题3.1图形的相似（2012北京，15，5）已知023ab≠，求代数式225224ababab的值．【解析】【答案】设a=2k,b=3k，原式=525210641(2)(2)(2)22682ababkkkababababkkk【点评】本题考查了见比设份的解题方法，以及分式中的因式分解，约分等。3.2线段的比、黄金分割与比例的性质（2011山东省潍坊市，题号8，分值3）8、已知矩形ABCD中，AB=1,在BC上取一点E,沿AE将△ABE向上折叠，使B点落在AD上的F点，若四边形EFDC与矩形ABCD相似，则AD=（）A．215B．215C．3D．2考点：多边形的相似、一元二次方程的解法解答：根据已知得四边形ABEF为正方形。因为四边形EFDC与矩形ABCD相似所以DF:EF=AB:BC即（AD-1）:1=1:AD整理得：012ADAD,解得251AD由于AD为正，得到AD=215，本题正确答案是B.点评：本题综合考察了一元二次方程和多边形的相似，综合性强。3.3相似三角形的判定（2012山东省聊城，11，3分）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，下列结论不正确的是（）A.BC=2DEB.△ADE∽△ABCC.ACABAEADD.ADEABCSS3解析：根据三角形中位线定义与性质可知，BC=2DE；因DE//BC，所以△ADE∽△ABC，AD：AB=AE：AC，即AD：AE=AB：AC，ADEABCSS4.所以选项D错误.答案：D点评：三角形的中位线平行且等于第三边的一半.有三角形中位线，可以得出线段倍分关系、比例关系、三角形相似、三角形面积之间关系等.（2012四川省资阳市，10，3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，将△ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∥AB，MC＝6，NC＝23，则四边形MABN的面积是A．63B．123C．183D．243【解析】由MC＝6，NC＝23，∠C＝90°得S△CMN=63，再由翻折前后△CMN≌△DMN得对应高相等；由MN∥AB得△CMN∽△CAB且相似比为1:2，故两者的面积比为1:4，从而得S△CMN：S四边形MABN=1:3，故选C.【答案】C【点评】本题综合考查了直角三角形的面积算法、翻折的性质、由平行得相似的三角形相似的判定方法、相似图形的面积比等于相似比的平方等一些类知识点.知识点丰富；考查了学生综合运用知识来解决问题的能力.难度较大.（2012湖北随州，14,4分）如图，点D,E分别在AB、AC上，且∠ABC=∠AED。若DE=4，AE=5，BC=8，则AB的长为______________。10（第10题图）NMDACB解析：：∵∠ABC=∠AED，∠BAC=∠EAD∴△AED∽△ABC，∴AEDEABCB，DE=10答案：10点评：本题主要考查了三角形相似的判定和性质。利用两三角形的相似比，通过已知边长度求解某边长度，是常用的一种计算线段长度的方法。3.4相似三角形的性质(2012重庆，12，4分)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为_______解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出答案。答案：9：1点评：本题考查相似三角形的基本性质。（2012浙江省衢州，15，4分）如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则□ABCD中的面积为.(用a的代数式表示)【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.【答案】12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理．（2012山东省荷泽市，16(1),6）(1)如图，∠DAB=∠CAE，请你再补充一个条件____________,使得△ABC∽△ADE，并说明理由.【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.【答案】DBAEDC或------------------------------2分理由：两角对应相等，两三角形相似--------------------------6分【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.（湖南株洲市6,20题）（（本题满分6分）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8,沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O.（1）、求证：△COM∽△CBA；（2）、求线段OM的长度.【解析】要证明△COM∽△CBA就是要找出∠COM=∠B即可，求线段的长就是利用第（1）问中的相似建立比例式，构造出OM的方程求解.【解】（1）证明：A与C关于直线MN对称ACMN∠COM=90°在矩形ABCD中，∠B=90°∠COM=∠B----------------------------------------1分又∠ACB=∠ACB------------------------------------2分△COM∽△CBA---------------------------------3分（2）在Rt△CBA中，AB=6，BC=8AC=10----------------------------------------------4分OC=5△COM∽△CBA----------------------------------------5分OCOM=BCABOM=154----------------------------------------------6分【点评】求证两个三角形相似的方法主要是两角对应相等，两三角形相似、两边对应成比例及夹角相等，两三角形相似及三边对应成比例，两三角形相似，求线段的长的方法，主要是利用三角形相似及直角三角形的勾股定理.（2012湖南娄底，25，10分）如图13，在△ABC中，ABAC，∠B30，BC8，D在边BC上，E在线段DC上，DE4，△DEF是等边三角形，边DF交边AB于点M，边EF交边AC于点N.（1）求证：△BMD∽△CNE；（2）当BD为何值时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切？（3）设BDx，五边形ANEDM的面积为y，求y与x之间的函数解析式（要求写出自变量x的取值范围）；当x为何值时，y有最大值？并求y的最大值.【解析】（1）由AB=AC，∠B=30°，根据等边对等角，可求得∠C=∠B=30°，又由△DEF是等边三角形，根据等边三角形的性质，易求得∠MDB=∠NEC=120°，∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，即可判定：△BMD∽△CNE；（2）首先过点M作MH⊥BC，设BD=x，由以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，可得MH=MF=4-x，由（1）可得MD=BD，然后在Rt△DMH中，利用正弦函数，即可求得答案；（3）首先求得△ABC的面积，继而求得△BDM的面积，然后由相似三角形的性质，可求得△BCN的面积，再利用二次函数的最值问题，即可求得答案．【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C=30°.∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=∠FED=60°，∴∠MDB=∠NEC=120°，∴∠BMD=∠B=∠C=∠CNE=30°，∴△BMD∽△CNE；（2）过点M作MH⊥BC，∵以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切，∴MH=MF，设BD=x，∵△DEF是等边三角形，∴∠FDE=60°，∵∠B=30°，∴∠BMD=∠FDE-∠B=60°-30°=30°=∠B，∴DM=BD=x，∴MH=MF=DF-MD=4-x，在Rt△DMH中，sin∠MDH=sin60°=MHMD=4-xx=32，解得：x=1683，∴当BD=1683时，以M为圆心，以MF为半径的圆与BC相切；（3）过点M作MH⊥BC于H，过点A作AK⊥BC于K，∵AB=AC，∴BK=12BC=12×8=4。∵∠B=30°，∴AK=BK•tan∠B=4×33=433，∴S△ABC=12BC•AK=12×8×433=1633，由（2）得：MD=BD=x，∴MH=MD•sin∠MDH=32x，∴S△BDM=12•x•32x=234x.∵△DEF是等边三角形且DE=4，BC=8，∴EC=BC-BD-DE=8-x-4=4-x，∵△BMD∽△CNE，∴S△BDM：S△BDECNAFMCEN=2()BDCE=22(4)xx，∴S△CEN=23(4)4x，∴y=S△ABC-S△CEN-S△BDM=2163334x23(4)4x=23232323xx=2383(2)23x（0≤x≤4），当x=2时，y有最大值，最大值为833．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、等边三角形的性质、二次函数的性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，注意数形结合思想与方程思想的应用．(2012重庆，12，4分)已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为_______解析：相似三角形的周长比等于相似比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，故可求出答案。答案：9：1点评：本题考查相似三角形的基本性质。（2012浙江省衢州，15，4分）如图，□ABCD中，E是CD的延长线上一点，BE与AD交于点F，CD=2DE.若△DEF的面积为a，则□ABCD中的面积为.(用a的代数式表示)【解析】根据四边形ABCD是平行四边形，利用已知得出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，进而利用相似三角形的性质分别得出△CEB、△ABF的面积为4a、9a，然后推出四边形BCDF的面积为8a即可.【答案】12a【点评】此题主要考查相似三角形的判定、性质和平行四边形的性质等知识点的理解和掌握，解答此题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理．（2012山东省荷泽市，16(1),6）(1)如图，∠DAB=∠CAE，请你再补充一个条件____________,使得△ABC∽△ADE，并说明理由.【解析】从已知条件中可得出一组角对应相等，要判定两个三角形相似，可以增加另外一组对应相等或者是这两角的两边对应成比.【答案】DBAEDC或------------------2分理由：两角对应相等，两三角形相似----------------6分【点评】判断两个三角形相似的条件中两角对应相等两三角形相似比较常用，在选择方法一定要根据题目中或图形中所给提供的条件进行添加.（2012山东泰安，17，3分）如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B与CD的中点重合，若AB=2，BC=3，则△FCB与△BDG的面积之比为（）A.9：4B.3：2C.4：3D.16：9【解析】设CF=x，则BF=3-x，由折叠得BF=BF=3-x,在Rt△FCB中，由由勾股定理得CF2+CB2=FB2，x2+12=(3-x)2,解得x=43,由已知可证Rt△FCB∽Rt△BDG，AR所以S△FCB与S△BDG的面积为（43：1）2=169.【答案】D.【点评】本题综合考查了折叠的性质、勾股定理、相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方。（2012年四川省德阳市，第11题、3分．）如图，点D是△ABC的边AB的延长线上一点，点F是边BC上的一个动点（不与点B重合）.以BD、BF为邻边作平行四边形BDEF，又AP//BE（点P、E在直线AB的同侧），如果ABBD41，那么△PBC的面积与△ABC