06-2.3-2.4静电场的旋度与电位

第三节静电场的旋度与电位一、电场力作功的特点ldfdA204rqEbadAA)11(400barrqq在点电荷电场中，电场力作功与路径无关，只与始末位置有关。qoabarbrcrld'cEdrr0qEqf0cos0EdlqdrrqqAbarr2004ldEq01。场源为点电荷ldEqba0ldEqba0drdlcosdcos0dlEqbaf2。场源为点电荷系nAAA21ldEqAba0ldEqba10ldEEEqnba)(210ldEqba20ldEqban0在点电荷系电场中，电场力作功与路径无关，只与始末位置有关。3。场源为任意带电体在任意静电场中，电场力作功与路径无关，只与始末位置有关。静电场力是保守力静电场是保守力场)rr(qqAba11400ldEqAL00LldE0二、静电场的环流定理qoabarbrcrld'cEdrr0qd0q(a点)闭合路径L(a点)00q静电场的环流0场的环流是一切保守力场的数学表达式acbda三、电势能1。电势能差与功的关系Eba0qawbwbaabldEqA0电势能零点点为选取b场源为有限大带电体)1(baabbaldEqAww0)(abww2。任一点电势能电势能零点aaAw0bw即电势能零点aldEq03。电势能零点的选择处在取在哪里都行但不能取场源为无限大带电体,)2(aaldEqw00w取四、电势1。定义式)0,bub即电势零点点为选取电势零点aaldEu场源为有限大带电体)1(2。电势零点的选择处在取在哪里都行但不能取场源为无限大带电体,)2(aaldEu0u取五、电势差baabbaldEqAww00qwwbabauuabu1。定义式ldEqAba)(bauuq2。用电势差表示电场力的功baldE六、点电荷电势公式qPrEr0uldPPldEudrrqr204rq04rrdErEdrrqu04时0q0u时0q0u七、电势迭加原理1qnqiq2qp电场中任一点的电势等于各点电荷单独存在时在该点各自产生的电势的代数和ppldEupnldEEE)(21pldE1nuuu21ldEpnpldE2八、电势的计算1。分割带电体直接积分法基本知识点点电荷电势公式（1）将带电体分割成无限多个电荷元，每个电荷元都可看作点电荷，任取电荷元dqdqV（2）按点电荷电势公式，写出点荷元在P点的电势rdqdu041（3）由电势叠加原理求P点电势PuduVrdqV041qr电势迭加原理场强与电势的关系一、等势面1。定义:电场中电势相等的点构成的曲面称为等势面。+++++++++(2)等势面与电力线正交(3)电力线的方向是电势下降的方向ldEqdA0q0ldE2。性质：(1)在等势面上移动电荷电场力不作功bauu)(baabuuqA0Eab等势面ldrqu04r0qur0quq0ldE二、场强与电势的微分关系Eld1p1u2pPPldEuduuu122u电势增量dU2121PPdAuuldEduuu21cosEdlcosElEdldu方向的空间变化率表示电势沿lddldu方向的投影电场强度在ld化率的负值电势沿该方向的空间变在直角坐标系中　xuEx),,(zyxuukEjEiEEzyx　yuEyzuEz)(kzujyuixuE2pld1p1u2u电势增量dUdlduEl合场强：场强与电势的微分关系，同时也给出了求场强的一种方法。为什么具有微分关系?电位函数(ElectricPotential)负号表示电场强度的方向从高电位指向低电位。在直角坐标系中1.E与的微分关系,0E矢量恒等式0由][zyxezeyexE根据E与的微分关系，试问静电场中的某一点()()00E?00E?下页上页返回E所以2.已知电荷求电位'1π4''π4)(030rrrrrrrEqq＝－CqNiii10'π41)(rrr点电荷群CdqV'0'π41)(rrr连续分布电荷以点电荷为例)('π40rrrqCq'π4)(0rrrlSVqd,d,dd式中相应的积分原域。''',,lSV下页上页返回3.与E的积分关系图1.1.6E与的积分关系线积分00ddPPPPllE式中)ddd()(dzyxzyxzyxzyxeeeeeelddddzzyyxx设P0为电位参考点，即，则P点电位为00P0dPPPlE000ddPPPPPPlE所以下页上页返回4.电位参考点例如：点电荷产生的电位：Crq0π400rC0rrq0π40C点电荷所在处不能作为参考点0RrRqrq00π4π4RqC0π4场中任意两点之间的电位差与参考点无关。选择参考点尽可能使电位表达式比较简单。电位参考点可任意选择，但同一问题，一般只能选取一个参考点。下页上页返回电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点。电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点下页上页返回5)电力线与等位线（面）0dlEE线微分方程zEyExEzyxddd直角坐标系当取不同的C值时，可得到不同的等位线(面)。Czyx),,(等位线(面)方程曲线上任一点的切线方向是该点电场强度E的方向。电位相等的点连成的曲面称为等位面。1.1.7电力线方程下页上页返回电力线与等位线（面）的性质：图1.1.10点电荷与接地导体的电场图1.1.11点电荷与不接地导体的电场E线不能相交,等线不能相交；E线起始于正电荷，终止于负电荷;E线愈密处，场强愈大;E线与等位线（面）正交；下页上页返回图1.1.12介质球在均匀电场中图1.1.13导体球在均匀电场中图1.1.14点电荷位于无限大介质上方图1.1.15点电荷位于无限大导板上方下页上页返回例1：求均匀带电圆环轴线上任一点的电势PRoqx解：rdqdU04dLRqdq222RxrdLrduuP2204Rxq讨论：(1).当时:RxxqUP04(点电荷)(2).当时:0xRqUP04RRxdLRq20220422204Rxqu例2：oRPxx解：21220)(42rxrdrdurdrdSdqduu])[(221220xxRurdr2求均匀带电圆盘轴线上任一点的电势Rrxrdr021220)(42电势零点ppldEu2。由场强分布求电势例3：均匀带电球面，半径为R，带电量为q。求电场中的电势？Ro解：2024rqE11PPldEurq04RquP04201E)0(Rr)(RrP1为球外一点时：1Prdrrqr204rrdE2rdrE2P2在球面上时：2PR33PPldEuRq04rUoRRq04P3为球内一点时：rrdE2024rqE01E)0(Rr)(RrRo1Pr2PR3PrRrrdE1RrdE2RrdrE1RdrE2Rquu04面内rqu04外结论03。由已知的结论公式叠加例4：如图两均匀带电同心球面。1R2Ro1q2q求：任一点的电势？解：由高斯定理可得场强分布：202134rqqE20124rqE01E)(2Rr)(21RrR)0(1Rr(1).当点：1P2RrdrrqqLdEUrrP2021341rqq0214方法一：由场强分布求电势(2).当点：2P21RrRrPLdEu2drrqqdrrqRRr2220212014420212014)11(4RqqRrq2020144Rqrq1R2Ro1q2q2232RrRLdELdE1R2Ro1q2qrPLdEU3(3).当点：3P10Rr1212321RrRRRLdELdELdEdrrqqdrrqRRR2212021201440202121014)11(4RqqRRq20210144RqRq内内21RRauuurq0141R2Ro1q2q方法二：利用球面电势分布结论迭加Rquu04面内rqu04外a1014Rqb内外21RRbuuu外外21RRcuuurq014c4。挖补法2024Rqrq0242024RqPPldEu0例5：已知：无限长带电直线电势分布rE04若选取解：0U应选P0点为电势零点0PPPldEuPr0r0PPdrrr02PPldE0PPldEdrrrr002rr00ln22.4电偶极子的有关问题1。电偶极子的定义电偶极子的电矩rllqqqlrp轴线l两个等量异号点电荷+q和-q,当两者之间的距离比所要考察的场点P到它们的距离a小得很多时,+q和-q这个电荷系统称为电偶极子)(rll（电偶极矩）eP大小：qlPe方向：2。电偶极子延长线上的场强EEEA20)2(4lrqrl3042rPEeAEEqqlr3042rPEeAArlePEEEA20)2(4lrq2220)4(42lrrql40241rrql30241rql3042rPe方向与一致ePEEEBcoscosEEEB3。电偶极子中垂线上的场强cos2E23220)4(4lrql2304rPEeBEEqqlr304rPEeBB)l(rq44220212242lrlrl304rPe方向与相反ePrl在电场中电偶极子受到力矩的作用，会发生转动。4。电偶极子在均匀外电场中所受的力矩（2）合力矩：Eqf1Eqf2sin1frMEPMe2fqqlE1forr0F（1）合力：MMMsinlqEsinqEr方向：sin2frMsinqEr方向：MMM正方向sin)(qErrsinEPeeP力矩的作用总是使电偶极子转向外电场