EM第9讲静电旋度电位

ResearchInstituteofRF&WirelessTechniques电磁场与电磁波Electromagneticfieldsandelectromagneticwaves第9讲静电场---静电场的无旋性与电位函数黄惠芬华南理工大学电子与信息学院射频与无线技术研究所TEL:15360068207Email:[e-mail]&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology第9讲内容静电场的无旋性电位例题电力线与等位面ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology9.1静电场的旋度静电场是一个矢量，根据Helmholtz定理，矢量由它的旋度和散度唯一确定。首先，求静电场的旋度。按说，由于已知了电场强度的表示式，可以直接计算旋度。不过，利用一些技巧，可以简化计算。注意到：于是，电场可写为我们已经知道：，因此31()rrrrrr014qErr()0u0E静电场是无旋场！ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology【静电场的性质】静电场中任意两点间的电场路径积分与路径无关在静电场中沿任何闭合曲线绕一周移动点电荷，电场力所做的功为零。这意味着静电场的能量只与点电荷的位置有关，故静电场是保守场。0CSEdlEdS00CCFdlqEdl9.1静电场的旋度ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology推导：由于路径pmQ,PnQ的任意性，故线积分与积分路径无关。静电场中的电场强度是某一标量场的梯度场，没有旋度。9.1静电场的无旋性ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology静电场的性质：静电场中任意两点间的电场路径积分与路径无关。在静电场中沿任何闭合曲线绕一周移动点电荷，电场力所做的功为零。这意味着静电场的能量只与点电荷的位置有关，故静电场是保守场。静电场中的电场强度是某一标量场的梯度场，没有旋度，是无旋场，梯度场。()0u()0Er9.1静电场的无旋性ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology9.2电位1、实际的物理意义：某点的E矢量表示在该点上单位正电荷所受的电场力，如方向所做的功。因此，积的物理意义就是电场力将单位正电荷从点P移至点Q所做的功。我们定义此功为场中两点之间的电例如，在如图2-9所示的点电荷q的电场中，PQ之间的电压为ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology在球坐标系中，线元矢量P，Q两点间的电压，或E的线积分，或电场力移动电荷所做的功仅与P，Q两点的位置有关，而与路径无关。9.2电位ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology是一个标量值，且其积分量值与积分路径无关。因此，对于一个给定的电场E，如果选取某点Q作为参考点，则对于场中的任意考察点有唯一的积分值与动点相对应，故可定义此积分值为点P的标量位(标量电位)，也即点P的电位定义为：显然，参考点的电位为：电位的单位与电压相同，也是V(伏)。根据电位和电压的定义，场中A，B两点的电压9.2电位ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology静电场中两点间的电压就是两点之间的电位差。对于一个给定的电场，电位参考点的选取是任意的。一经确定参考点，场中各点的电位值就完全确定；如果选择不同的参考点，场中各点的电位值都增加(或减少)同一个常数值(但电位函数的分布规律不会变化)。在实际工程中，常常把大地表面作为电位参考点。而在理论分析时，只要引起电场的全部电荷都处于有限的空间区域内，则不管电荷如何分布，都可以选择无穷远作为电位的参考点，在这样的参考点选择下，场中任意点P(x,y,z)的电位为：9.2电位ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology物理意义:点P的电位值为电场力将单位正电荷由点P移至无穷远所做的功，或者外力将单位正电荷从无穷远移至点P过程中克服电场力所需做的功。后者为外力做功并将此功转变为电场储能，前者则是电场力通过做功而将其储能释放。以下计算真空中一个位于原点的点电荷q在离它R远处的电位。设参考点在无穷远处。在式(2-20)中令点Q在无穷远处，即9.2电位ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology则任意场点r处的电位为:若点电荷q并非处于坐标原点，而是在源点有限，则只需将式(2-24)中的r换成源点如果场源为N个点电荷(分布在有限区域内)，则某一场点r处的电位可根据上式应用叠加原理而得到:0()(224)4πqrr0(225)4qrr9.2电位ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology对于有限区域中的分布电荷，可以应用叠加原理而得电位与电场强度：3001()()()()d,()d(227)4π4πVVVVrrrErrrrr|rr|300()()()11()d,()d(228)4π|4π|SSSSSSrrErrrrrr|rr|300()()()11()d,()d(229)4π4π|lllllrrElrrrr|rr|rr|(230)E9.2电位ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology【例9-1】在真空中xoy平面上有一半径为a的圆形线电荷，其线密度为，求轴线上离圆心z处点P(0,0,z)的电位和电场强度。l解：在圆上取一线元，其上所带电荷为ldqdldl9.3例题ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology由于电荷分布对称的对称性，该处的电场强度仅有z方向的分量，即3/2220ˆˆˆ2lzzzzazEaEaazza22Rza源点到场点P的距离为应用柱坐标系，点P电位为22222000142alladlzaza9.3例题ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology【例5-2】求电荷密度，半径为a的均匀带电圆盘轴线上的电场强度。S解：在圆盘上取一半径为r，宽度为dr’的圆环由于dr’很小，源点到场点P的距离即为圆环上的元电荷22Rzr2SSdqrddrrdr9.3例题ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology它在轴线上点P的电位为222200242SSrdrrdrdzrzr222200022aSSrdrzazzr电场强度为220ˆˆˆ12SzzzzzEaEaazza9.3例题ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology【电力线】两点间电场的线积分电力线方程电力线的特点：0Edl始于正电荷，终于负电荷；线的疏密对应电场的强弱；垂直于等位面；互不相交。正电荷负电荷9.3电力线与等位面ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology点电荷与不接地导体的电场带电平行板9.3电力线与等位面ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology小结静电场的无旋性电位例题电力线与等位面ResearchInstituteofRF&WirelessTechniquesSouthChinaUniversityofTechnology习题P88:2-7，2-9，2-14