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案例解析三角函数模型的简单应用潮汐问题•一、内容分析•1.课题：三角函数模型的简单应用---潮汐问题。教材内容选自人民教育出版社编写的《普通高中课程标准实验教科书数学必修4(A版）》的“1.6三角函数模型的简单应用”的例4。•2.课标要求：会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。•三角函数是刻画现实世界某些现象的重要数学模型。周期变化现象在现实中大量存在，如音乐的旋律、波浪、昼夜的交替、潮汐、钟摆的运动、交流电等，这些现象都可以用三角函数来描述。3.地位分析：•与传统的处理方法不同的是，把三角恒等变换从三角函数中独立出来，其目的也是为了在三角函数一章中突出“函数作为描述客观世界变化规律的数学模型”这条主线。•三角函数的学习能使学生加深认识数学与实践的紧密联系，潮汐问题就是一个典型的案例，通过用三角函数解决实际问题，让学生在实践中体会数学的作用和价值，学习用数学的观点看待和处理日常生活以及其他学科的问题的方法。•4.学情分析：•在学生的已有经验中，像日出日落，月圆月缺，春夏秋冬，24节气，时针旋转……都是日常经验，对于这些周期变化现象及出现的原因，学生在地理课中都接触过、学习过；单摆，圆周运动，弹簧振子……是学生在物理中学习过的，这些都是认识周期现象的变化规律，体会三角函数模型的意义的很好载体。•二、目标与重难点1.教学目标：通过三角函数解决潮汐问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，在实践中体会数学的作用和价值，进而培养数学应用意识。2.教学重点：用三角函数模型刻画潮汐变化规律，用函数思想解决具有周期变化的实际问题。3.教学难点：对问题实际意义的数学解释，从实际问题中抽象出三角函数模型。4.教学流程：•三、主要教学过程：•1.情景展示，新课导入•教师：请看这样一副画面：这是温州市区著名景点---江心屿（图1），江心屿上面有座峙庙---江心峙（图2），旁边这位人物是（稍微停顿）温州南宋时期著名状元诗人---王十朋（图3）。（学生不是很熟悉，已经淡忘了）他在江心峙中题了一副非常知名对联。（学生又想起来了）•2.问题提出，探究解决•教师：老师想问大家一个问题：若干年后，如果在座的各位有机会当上船长的话，当你的船只要到某个港口去，你作为船长，你希望知道关于那个港口的一些什么情况？•学生：水深情况。•问题探究1：•如图所示，下面是瓯江江心屿码头在某年某个季节每天的时间与水深的关系表：•教师：请同学们仔细观察表格中的数据，你能够从中得到一些什么信息？•学生：（思考中）发现水深的最大值是7.5米，最小值是2.5米。•教师：水的深度变化有什么特点吗？•教师：（电脑呈现作图结果）大家可以发现如果我们用平滑的曲线将上面所描各点连起来，得到的图象形状，跟我们前面所学过哪个函数类型非常的乡象？•学生：跟三角函数模型很象。•教师：下面你们能把刚才同学所给的这个函数模型给求出来吗？•学生：由图得•••教师：这样一来我们就得到了一个近似刻画水深与时间关系的三角函数模型，有了这个模型，我们要制定一张一天24内整时刻的水深表，就是件非常容易的事情了，•问题探究2：•一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），试问：该船何时能够进入港口？在港口能呆多久？•教师：货船能够进入港口所需要满足的条件是什么？（师生一起分析）•教师：我们知道三角方程在实数范围内有解就有无数个，那么在[0，24]范围内，其他一些解该怎么求呢？我们来看图象情况。（电脑呈现图象）•发现：在[0，24]范围内，方程的解一共有4个，那么其他三个值如何求得呢？（学生思考）••教师：得到了4个交点的横坐标值后，大家结合图象说说货船应该选择什么时间进港？什么时间出港呢？•（学生讨论，交流）•问题探究3：•一艘货船的吃水深度（船底与水面的距离）为4米，安全条例规定至少要有1.5米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船在2：00开始卸货，吃水深度以每小时0.3米的速度减少，那么该船在什么时间必须停止卸货，将船驶向较深的水域？•教师：题目中“必须停止卸货”，是在货船即将面临什么危险的时候呢？•学生：当实际水深快要小于或等于安全水深的时候，就必修停止卸货。•教师：把货船安全需要满足的条件给写出来,这样的不等式大家会解吗？•学生：不会。•教师：用代数的方法不会解的时候，我们不妨从几何的角度来考虑这个问题。（电脑作图并呈现）•通过图象可以看出，当快要到P时刻的时候，货船就要停止卸货，驶向深水区。那么P点的坐标如何求得呢？•（学生思考，讨论，交流）•教师：P点横坐标即为方程解，很显然，精确解我们是无法求得，我们只能是求得其近似解，同学们回忆回忆，前面我们在求方程的近似解的时候通常采用什么方法？•学生：二分法，•教师：如何用二分法求得近似解呢？•（师生一道分析）：由图得点P在[6，7]，故我们只需要算出6，6.5，7三个时刻的安全水深与实际水深的数值表就可以回答上面的问题。问题探究4：若船的吃水深度为4米，安全间隙为1.5米，该船在2：00开始卸货，货物卸空后吃水深度为2米，为了保证进入码头后一次性卸空货物，又能安全驶离码头，那么每小时吃水深度至少要以多少速度减少？（学生课后探究）3.课时小结，认识深化(1)回顾探究过程，经历三个阶段第一阶段：收集数据-----画散点图（为了更加直观形象揭示变化规律）第二阶段：根据图象特征---选择适当函数类型，并求得函数类型第三阶段：函数模型在实际问题中的应用•(2)在整个探究过程，用到数学常见的一些思想方法：①对实际问题处理过程是，首先是挖掘其中的数学本质，将实际问题转化为数学问题；体现了数学中的转化思想；②在对一些数据处理的过程用到了估算的思想；③在用代数方法处理困难的一些题目的解决中，用到了数形结合的思想；④在方程的求解过程中，用到了算法中“二分法”思想。4.作业布置，延时探究(1)电视台的不同栏目播出的时间周期是不同的，有的每天播出，有的隔天播出，有的一个星期播出一次。请查阅当地的电视节目预告，统计不同栏目的播出周期。(2)请调查本地区的每天的用电情况，制定一项“消蜂平谷”的电价方案。(3)一个城市所在的经度和纬度是如何影响日出和日落的时间的？收集其他有关数据，并提供理论证据支持你的结论。•注：本文参考了章建跃主持的“中学数学核心概念、思想方法结构体系及其教学设计的理论与实践”课题组部分成果