第3章 连续的频谱分析1-10

17:141第3章连续时间信号与系统的频谱分析§3.0引言§3.1LTI系统对复指数信号的响应§3.2连续时间周期信号的傅立叶级数§3.3连续时间傅立叶变换§3.4周期信号的傅立叶变换§3.5连续时间傅立叶变换性质3.0引言第二章→信号分解为单位脉冲信号的线性组合卷积叠加性质：LTI系统对任意信号的响应，就是对基本信号的响应的线性叠加。本章→信号分解为复指数信号的线性组合信号分解：纯复指数信号：周期，三角函数乘积1768年生于法国1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”1829年狄里赫利第一个给出收敛条件拉格朗日反对发表1822年首次发表在“热的分析理论”一书中傅立叶傅立叶的两个最主要的贡献——“周期信号都可表示为一组成谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点§3.1LTI系统对复指数信号的响应基本信号：est（复指数）构成广泛的有用信号LTI系统对基本信号的响应应简单连续时间：ststesHe)(→特征函数系统对信号的响应，仅是常数乘输入(与输入无关)特征值对LTI系统∑∑=⇒=ktskkktskkkesHatyeatx)()()(LTI系统中：输入表示为复指数信号的线性组合那么：输出为相同复指数信号的线性组合且：输出的系数为相应系数与对应特征值相乘周期信号：s为纯虚数。s=jw3.2连续时间周期信号的傅立叶级数3.2.1成谐波关系的复指数信号的线性组合tTjktjkkeetπω20)(==Φ,0tjeωT：周期；0/2Tπω=基波：谐波：∑∑+∞−∞=+∞−∞===ktTjkkktjkkeaeatx)2(0)(πω周期信号的傅立叶级数ak：傅里叶级数系数k=0，常数，直流分量k=±1，基波分量k=±2，2次谐波∑∑+∞−∞=+∞−∞===ktTjkkktjkkeaeatx)/2(0)(πω∑∞=++=100)cos(2)(kkktkAatxθω])sin()cos([2)(1000∑∞=−+=kkktkCtkBatxωωkjkkeAaθ=kkkjCBa+=实信号§3.2.2连续时间周期信号傅立叶级数∑+∞−∞==ktjkkeatx0)(ω∑+∞−∞=−−=ktjntjkktjneeaetx000)(ωωω∑∫∫∑∫∞+−∞=−+∞−∞===kTtnkjkTktjntjkkTtjndteadteeadtetx00000000)(00)(ωωωωx(t)是周期为T的周期信号求ak？≠==−+−=∫∫∫−nknkTtdtnkjtdtnkdteTTTtnkj,0,)sin()cos(000000)(0000ωωωdtetxTatjkTk00)(10ω−∫=ak是复数，实部虚部，模和相角dtetxTatjkTk0)(1ω−∫=∑+∞−∞==ktjkkeatx0)(ω综合公式分析公式傅立叶级数系数(频谱系数)ak是复数dtetxTatjkTk00)(10ω−∫=实部虚部模和相角结论如果一个周期信号x(t)可以展开为傅立叶级数,则它可表示为由其各谐波分量叠加而成。不同的信号,组成的谐波分量不同,即ak不同.周期信号可由其傅立叶级数系数{ak}来表征(即在误差能量等于零意义上的等效表示.kFsatx→)(例3.1)sin()(0ttxω=tjtjejejt002121)sin(0ωωω−−=1,0,21212111±≠==−==−kajajjak，-101k|ak|-101kθk0jktkaeω例3.2)42cos()cos(2)sin(1)(000πωωω++++=ttttx][21][][211)(4/24/2000000ππ+−+−−++++−+=twjtwjtjwtjwtjwtjweeeeeejtxtwjjtwjjtjwtjweeeeejejtx00002)4/(2)4/()21(])21()211()211(1)(−−−++−+++=ππ)42cos()cos(2)sin(1)(000πωωω++++=ttttx2||,0),1(4221),1(4221211)211(,211)211(,1)4/(2)4/(2110=−==+==+=−=−=+==−−−kajeajeajjajjaakjjππ-3-2-10123k|ak|-3-2-10123kθk例3.3=2/||01)(11TtTTttx，，T/20πω=-T/2T/2T1-T1t-TT∫==121021TTTdtTa0001011100112[]2jktjktkTjkTjkTTaedteTTjkTeekTjωωωωωω−−−==−−−=∫)sin(10TkωT/20πω=TTdtTaT10211==∫0,)sin(10≠=kkTkakπω)()(2)()sin(100101101010TkSaaTkSaTTTkSaTkTkakωωωπωπω====收敛,且→01/k方波频谱特点1.离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲周期越大，谱线越密。2.各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。3.各谱线的幅度按Sa(kω0T1)包络线变化。过零点为：4.主要能量在第一过零点内。主带宽度为：10/Tmkπω=1/Tπ方波频谱特点1离散频谱，谱线间隔为基波频率，脉冲频率越低(脉冲周期越大)，谱线越密（以ω为横轴）。010110101sin()2()()kkTTTaSakTSakTkTωωωωππ===方波频谱特点2各分量的大小与脉幅成正比，与脉宽成正比，与周期成反比。010110101sin()2()()kkTTTaSakTSakTkTωωωωππ===方波频谱特点3各谱线的幅度按Sa(kω0T1)包络线变化。过零点为：10/Tmkπω=010110101sin()2()()kkTTTaSakTSakTkTωωωωππ===方波频谱特点4主要能量在第一过零点内。主带宽度为：1/Tπ010110101sin()2()()kkTTTaSakTSakTkTωωωωππ===周期矩形的频谱变化规律：若T不变，在改变T1的情况若T1不变，在改变T时的情况T12T02ωπω==∆T1/Tπ1/Tπ过零点间隔10/Tmkπω=1/Tπωωω-10-5051000.20.41T4T=-20-100102000.10.21T8T=-40-200204000.050.11T16T=0102sin()kkTakTωω=102sinkTTakωωωω==ωωωT1固定，过零点固定。T改变，谱线密度改变。-T/2T/2t-TTE/200=a0,)1(2≠−=kkEjakkπtjkkkekEjtx0)1(2)(ωπ∑∞−∞=−=例3.4收敛,且→01/k周期三角波信号)2(22kSaEakπ=tjkkekSaEtx0)2(2)(2ωπ∑∞−∞==-T/2T/2t-TTE例3.4收敛,且→01/k2例3.5∑−=)()(kTttxδＴＴＴ1)(1/==∫−dtetaTtjkkπδT-Tt1x(t)……周期脉冲§3.2.3傅立叶级数的收敛∑+−==NNktjkkNeatx0)(ω)()()(txtxteNN−=dtteETNN2|)(|∫=实际中，n=N,N是有限整数。如果N愈大，则其均方误差愈小n=∞,EN=0dtetxTatjkTk0)(1ω−∫=当使EN最小时有:0lim=∞→NNE且傅立叶级数,是在EN=0的意义上,对应信号的最佳表示.(不是点点相等)狄利赫利条件：1.在一个周期内函数绝对可积，即2.在一个周期内只有有限个间断点；3.在一个周期内有有限个极值点；一般周期信号都满足这些条件.∞∫+dttxTtt.)(100x(t)不存在间断点:傅立叶级数收敛,且每一点等于x(t)存在有限数目间断点:不连续点外,傅立叶级数收敛于x(t)不连续点处,收敛于不连续点的平均值收敛性吉伯斯现象对称方波E/2-E/2T1/4-T1/4t∑+−==NNktjkkNeatx0)(ω对称方波有限项的傅里叶级数N=1N=2N=32105.0EE≈2202.0EE=2301.0EE=-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81有限项的N越大，误差越小例如:N=11-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81部分和出现峰值,最大为1.09，无论N取多大，超量不变吉伯斯现象：随着N的增加，部分和的起伏就向不连续点处压缩，但对任何有限的N值，起伏的峰值大小保持不变。由以上可见：N越大，越接近方波快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；慢变信号，低频分量，主要影响顶部；任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真在不间断点,有高频起伏和超量(1.09))(limtxxNN=∞→周期信号的频谱有如下特点：1.离散性：谱线沿频率呈离散分布，这种频谱称为离散频谱；2.谐波性：各谱线间呈等距分布，相邻谱线间的距离正好等于基波频率，不可能包含不是基波整数倍的其它频率分量；3.收敛性：ak一般随总是趋于零。∞→t§3.5傅立叶级数性质周期信号x(t),周期T,基波频率ω0,傅立叶级数akkaFstx)(1.线性kaFStx)(kbFSty)(kkkBbAacFStBytAxtz+=+=)()()(2.时移性质kaFStx)(ktjkaeFSttx00)(0ω−−)()(0ttxty−=∫−−=TtjkkdtettxTb0)(10ω0tt−=τ∫∫−−+−==TjktjkTtjkdexTedexTτττττωωτω00000)(1)(1)(3.时间反转kaFStx)(kaFStx−−)(kkaatxtx=⇒−=−)()(kkaatxtx−=⇒−=−−)()(时间反转，对应的傅立叶级数系数序列的时间反转偶函数的傅立叶级数系数也为偶奇函数的傅立叶级数系数也为奇4.时域尺度变换∑=tjkakeaatx0)(ω傅立叶级数系数不变，但傅立叶级数表示变了，即基波频率变化。5.相乘kaFStx)(kbFSty)(∑+∞−∞=−=llklkbahFStytx)()(时域相乘，对应频域卷积6.共轭及对称kaFStx)(kaFStx−*)(*实函数,共轭对称实偶函数,实函数且偶函数实奇函数,纯虚数,且奇函数kkaa*=−7.帕斯瓦尔定理∑∫+∞−∞==kkTadttxT22)(1第k次谐波的平均功率2ka周期信号的总平均功率等于全部谐波分量的平均功率之和结论§3.6傅立叶级数性质)()()(11TtuTtutg−−+=1T1T-Tt-T1g(t)1T1T-Tt-T1q(t)-1例3.6求周期方波的傅立叶级数)()()(11TtTttq−−+=δδdttgdtq/)]([)(=在一个周期内()kFSgtg()kFSqtq0101011()2sin()jkTjkTkqeeTjkTTωωω−=−=时移-相移TFst1)(→δktjkaeFsttx00)(0ω−−)()()(11TtTttq−−+=δδ01sin()kkTgkωπ=微分关系的傅立叶级数0kkqjkgω=012sin()2kjkTTgjkTωπ=例3.72-2t-1/21/2g(t)t0,)sin(10≠=kkTkakπωTTa102=求右图所示的信号的傅里叶级数.已知右图所示信号x(t)的的傅里叶级数:x(t)1解：21)1()(−−=txtg2/πjkkea−01,02kaa==/20,0sin(/2),0kjkkgkekkπππ−==≠t01sin()sin(/2)kkTakkkωπππ==10212TaT==104,12,2TTTππω====例3.82-2t1e(t)微分d(t)求右图所示的信号的傅里叶级数.104,12,2TTTππω====已知右图所示信号x(t)的的傅里叶级数:解：/20,0sin(/2),0kjkkdkekkπ