第一类曲线积分

《数学分析（1，2，3）》教案21-1§1第一类曲线积分的计算设函数,,fxyz在光滑曲线l上有定义且连续，l的方程为0xxtyytttTzzt则0222,,,,'''Tltfxyzdsfxtytztxtytztdt。特别地，如果曲线l为一条光滑的平面曲线，它的方程为yx，axb，那么有2(,),()1'()blafxydsfxxxdx。例：设l是半圆周taytaxsin,cos,t0。求22()lxyds。例：设l是曲线xy42上从点)0,0(O到点)2,1(A的一段，计算第一类曲线积分lyds。例：计算积分2lxds，其中l是球面2222azyx被平面0zyx截得的圆周。例：求lIxyds，此处l为连接三点0,0O，1,0A，1,1B的直线段。§2第一类曲面积分的计算一曲面的面积（1）设有一曲面块S，它的方程为,zfxy。,fxy具有对x和y的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY平面上的投影xy为可求面积的。则该曲面块的面积为221xyxySffdxdy。（2）若曲面的方程为,,,xxuvyyuvzzuv《数学分析（1，2，3）》教案21-2令222uuuExyz，uvuvuvFxxyyzz，222vvvGxyz，则该曲面块的面积为2SEGFdudv。例：求球面2222xyza含在柱面220xyaxa内部的面积。例：求球面2222xyza含在柱面220xyaxa内部的面积。二化第一类曲面积分为二重积分（1）设函数,,xyz为定义在曲面S上的连续函数。曲面S的方程为,zfxy。,fxy具有对x和y的连续偏导数，即此曲面是光滑的，且其在XY平面上的投影xy为可求面积的。则22,,,,,1xyxySxyzdSxyfxyffdxdy。（2）设函数,,xyz为定义在曲面S上的连续函数。若曲面的方程为,,,xxuvyyuvzzuv令222uuuExyz，uvuvuvFxxyyzz，222vvvGxyz，则2,,,,,,,SxyzdSxuvyuvzuvEGFdudv。例：计算SxyzdS，S是球面2222xyza，0z。例：计算SzdS，其中S为螺旋面的一部分：《数学分析（1，2，3）》教案21-3cossin0,02xuvyuvuavzv。注：第一类曲面积分通过一个二重积分来定义，这就是为什么在第一类曲面积分中用“二重积分符“的原因。例：I=22SxydS，S是球面，球心在原点，半径为R。§3第二类曲线积分一变力做功和第二类曲线积分的定义1.力场),(,),(),(yxQyxPyxF沿平面曲线L从点A到点B所作的功。先用微元法，再用定义积分的方法讨论这一问题，得ABWFds。2.第二型曲线积分的定义定义1设L是一条光滑或逐段光滑曲线，且设,,fxyz是定义在L上的有界函数，将L沿确定方向从起点A开始用分点,,iiiiAxyz分成n个有向弧段1iiAA，直至终点B。且设1iiixxx。在每一弧段1iiAA上任取一点,,iiiiP，作和式：11,,nniiiiiiiifPxfx。其中1111,,Axyz为起点A，1111,,nnnnAxyz为终点B。设1maxiiiAA，这里1iiAA表示有向线段1iiAA的长度。若当0时，和有极限I，且它与L的分法无关，也与点iP的选择无关，则称I为,,fxyzdx沿曲线L按所述方向的第二类曲线积分，记作,,LIfxyzdx或,,ABIfxyzdx。注：如果向量,,,,,,,,,,fxyzPxyzQxyzRxyz，则向量沿曲线L按一定方向的第二类曲线积分为,,,,,,LIPxyzdxQxyzdyRxyzdz。注：第二类曲线积分是与沿曲线的方向有关的。这是第二类曲线积分的一个很重要性质，也是它区别于第一类曲线积分的一个特征。注：在平面情况下，若一人立在平面上沿闭路循一方向作环行时，如闭路所围成的区域靠近这人的部分总在他的左方，则这个方向就算作正向，否则就算作负向。这时只要方向不变，曲线积分的值是与起点的位置无《数学分析（1，2，3）》教案21-4关的。二第二类曲线积分的计算设曲线AB自身不相交，其参数方程为：0,,xxtyytzztttT。且设AB是光滑的。设当参数t从0t调地增加到T时，曲线从点A按一定方向连续地变到点B。设函数,,Pxyz定义在曲线AB上，且设它在AB上连续。则00,,,,'TLtPxyzdxPxtytztxtdt。（*）注：（*）积分下限必须对应积分所沿曲线的起点，上限必须对应终点。注：如果向量,,,,,,,,,,fxyzPxyzQxyzRxyz，则向量沿曲线L按一定方向的第二类曲线积分为00,,,,,,,,',,',,'LTtPxyzdxQxyzdyRxyzdzPxtytztxtQxtytztytRxtytztztdt例：计算积分()Lxydxyxdy,L的两个端点为A(1,1),B(2,3).积分从点A到点B或闭合,路径为（1）直线段AB；（2）抛物线1)1(22xy；（3）折线闭合路径A(1,1)D(2,1)B(2,3)A(1,1)。.例：计算积分Lydxxdy,这里L:（1）沿抛物线22xy从点O(0,0)到点B(1,2)；（2）沿直线xy2从点O(0,0)到点B(1,2)；（3）沿折线封闭路径O(0,0)A(1,0)B(1,2)O(0,0).例：计算第二型曲线积分I=2()Lxydxxydyxdz,其中L是螺旋线taxcos，btztay,sin，从0t到t的一段。三两类曲线积分的联系第一类曲线积分与第二类曲线积分的定义是不同的，由于都是沿曲线的积分，两者之间又有密切联系。两者之间的联系式为,,,,,,,,cos,,,cos,,,cos,ABABPxyzdxQxyzdyRxyzdzPxyztxQxyztyRxyztzds例：证明：对于曲线积分的估计式为,lPdxQdyLML式中为曲线段的长度《数学分析（1，2，3）》教案21-522,maxxylMPQ。利用这个不等式估计：222222RxyRydxxdyIxxyy并证明lim0RRI。例：设平面区域D有一条连续闭曲线L所围成，区域D的面积设为S，推导用曲线积分计算面积S的公式为：12LSxdyydx。§4第二类曲面积分一曲面的侧的概念1．单侧曲面与双侧曲面在实际生活中碰到的都是双侧曲面，至于单侧曲面也是存在的，牟彼乌斯带就是这类曲面的一个典型例子。2．曲面的上侧和下侧，外侧和内侧双侧曲面的定向:曲面的上、下侧，左、右侧，前、后侧.设法向量为)cos,cos,(cosn,则上侧法线方向对应第三个分量0,即选“+”号时，应有0cos，亦即法线方向与Z轴正向成锐角.类似确定其余各侧的法线方向.封闭曲面分内侧和外侧.二第二类曲面积分的定义先讨论由显式方程,zzxy表示的无重点的光滑曲面S,并设S在XY平面上的投影为边界由逐段光滑曲线T所围成的区域xy。设选定了曲面的一侧，从而也确定了它的定向。现在将有向曲面S以任何方法分割为n小块1,2,Siin。设iG为iS在XY平面上的投影，从而也得到区域xy的一个相应分割。如果取的是上侧，这时所有iG算作正的。如取下侧，这时所有iG算作负的。设有界函数,,fxyz定义在S上，在每一小块iS任取一点,,iiiiP，作和式1,,niiiiifD其中iD表示iG的面积。由上述所见，iD是带有符号的，它们的符号是由所选的侧来决定的。设id为iS的致敬，记maxiid。若当0时，有确定的极限I，且I与曲面分割的方法无关，也点iP的选择无《数学分析（1，2，3）》教案21-6关，则称I为,,fxyzdxdy沿曲面S的所选定的一侧上的第二类曲面积分，记为(,,)SIfxyzdxdy。注：有时也会碰到几个积分连在一起的情形，例如：,,,,,,SPxyzdydzQxyzdzdxRxyzdxdy。注：如果沿曲面的另一侧积分，则所得的值应当变号。三两类曲面积分的联系及第二类曲面积分的计算第二型曲面积分与第一型曲面积分的关系设n为曲面S的指定法向,则SdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(SdSznzyxRynzyxQxnzyxP),cos(),,(),cos(),,(),cos(),,(.定理1设),,(zyxR是定义在光滑曲面),(,),(:yxyxzzSDxy上的连续函数,以S的上侧为正侧(即0),cos(zn),则有SDxydxdyyxzyxRdxdyzyxR),(,,),,(.类似地,对光滑曲面),(,),(:zyzyxxSDyz,在其前侧上的积分SDyzdydzzyzyxPdydzzyxP,,),(),,(.对光滑曲面),(,),(:xzxzyySDzx,在其右侧上的积分SDyzdzdxzxzyxQdzdxzyxQ,),(,),,(.计算积分SRdxdyQdzdxPdydz时,通常分开来计算三个积分SPdydz,SQdzdx,SRdxdy.为此,分别把曲面S投影到YZ平面,ZX平面和XY平面上化为二重积分进行计算.投影域的侧由曲面S的定向决定.推论设),,(zyxP,),,(zyxQ,),,(zyxR是定义在光滑曲面,),(:yxzzS),(yxDxy上的连续函数,则有SdxdyzyxRdzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(),,(=SdSznzyxRynzyxQxnzyxP),cos(),,(),cos(),,(),cos(),,(《数学分析（1，2，3）》教案21-7.)]),(,,(),()),(,,(),()),(,,([dxdyyxzyxRyxzyxzyxQyxzyxzyxPXYDyx曲面S的方向为上侧,则等式前取“＋”号;曲面S的方向为下侧,则等式前取“－”号.例：计算积分Sxyzdxdy,其中S是球面1222zyx在0,0yx部分取外侧。例：计算积分dxdyxzdzdxzydydzyx)3()()(，为球面2222Rzyx取外侧.解：对积分dydzyx)(,分别用前和后记前半球面和后半球面的外侧,则有前:,222zyRx222:RzyDyz;后:,222zyRx222:RzyDyz.因此,dydzyx)(=前+后yzDdydzyzyR222222yzDRyzydydz222cos,sin2222220028yrzrRyzRRyzdydzdRrrdr302322343