2013届高三数学第一轮复习《正弦定理和余弦定理》讲义

正弦定理和余弦定理自主梳理1.正弦定理：__asinA__＝__bsinB____＝__csinC_＝2R，其中R是三角形外接圆的半径.由正弦定理可以变形为：(1)a∶b∶c＝____sinA∶sinB∶sinC_____；(2)a＝___)2RsinA_____，b＝__2RsinB_____，c＝__2RsinC___；(3)sinA＝___a2R____，sinB＝___b2R___，sinC＝__c2R_____等形式，以解决不同的三角形问题.2.余弦定理：a2＝__b2＋c2－2bccosA________，b2＝__a2＋c2－2accosB_____，c2＝____a2＋b2－2abcosC____.余弦定理可以变形为：cosA＝___b2＋c2－a22bc________，cosB＝___a2＋c2－b22ac______，cosC＝___a2＋b2－c22ab______.3.S△ABC＝12absinC＝12bcsinA＝12acsinB＝abc4R＝12(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、r.4.在解三角形时，正弦定理可解决两类问题：(1)已知两角及任一边，求其它边或角；(2)已知两边及一边的对角，求其它边或角.情况(2)中结果可能有一解、二解、无解，应注意区分.余弦定理可解决两类问题：(1)已知两边及夹角或两边及一边对角的问题；(2)已知三边问题.解三角形时，三角形解的个数的判断在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinAaba≥bab解的个数一解两解一解一解5．判断三角形的形状特征必须从研究三角形的边角关系入手，充分利用正、余弦定理进行转化，即化边为角或化角为边，边角统一．①等腰三角形：a＝b或A＝B.②直角三角形：b2＋c2＝a2或A＝90°.③钝角三角形：a2＞b2＋c2或A＞90°.④锐角三角形：若a为最大边，且满足a2＜b2＋c2或A为最大角，且A＜90°.6．由正弦定理容易得到：在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB.基础自测1.在△ABC中，若A＝60°，a＝3，则a＋b＋csinA＋sinB＋sinC＝________.2.(2010·北京)在△ABC中，若b＝1，c＝3，C＝2π3，则a＝________.3.在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝________.4.△ABC的三个内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，已知c＝3，C＝π3，a＝2b，则b的值为________.5.已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为()A.22B.82C.2D.221.22.13.634.35.C6．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若a、b、c成等差数列，B＝30°，△ABC的面积为32，则b＝.【解析】∵S△ABC＝12acsinB＝12acsin30°＝32，∴ac＝6.又a、b、c成等差数列，故2b＝a＋c.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accos30°，∴b2＝4b2－12－63，得b2＝4＋23，∴b＝1＋3.7．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【解析】由a＝2bcosC得sinA＝2sinBcosC∵A＋B＋C＝π∴sinA＝sin(B＋C)∴sin(B＋C)＝2sinBcosC即sin(B－C)＝0∵0Bπ，0Cπ∴B＝C，选C.8．在△ABC中，设命题p：asinB＝bsinC＝csinA，命题q：△ABC是等边三角形，则命题p是命题q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵asinB＝bsinC＝csinA，由正弦定理知：asinA＝bsinB＝csinC.∴sinB＝sinA＝sinC∴A＝B＝C⇒a＝b＝c，∴p⇒q又若a＝b＝c，则A＝B＝C＝60°⇒sinA＝sinB＝sinC.∴asinB＝bsinC＝csinA，∴q⇒p.题型一利用正弦定理求解三角形及有关三角形中的三角函数的范围(最值)例1⑴在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A、C和边c.(2)在△ABC中，a＝8，B＝60°，C＝75°，求边b和c.解(1)由正弦定理得asinA＝bsinB，3sinA＝2sin45°，∴sinA＝32.∵ab，∴A＝60°或A＝120°.当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝bsinCsinB＝6＋22；当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝bsinCsinB＝6－22.(2)∵B＝60°，C＝75°，∴A＝45°.由正弦定理asinA＝bsinB＝csinC，得b＝a·sinBsinA＝46，c＝a·sinCsinA＝43＋4.∴b＝46，c＝43＋4.(2)设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2bsinA.①求角B的大小；②求cosA＋sinC的取值范围．解析①由a＝2bsinA，根据正弦定理得sinA＝2sinBsinA，所以sinB＝12，由△ABC为锐角三角形得B＝π6.②cosA＋sinC＝cosA＋sin(π－π6－A)＝cosA＋sin(π6＋A)＝cosA＋12cosA＋32sinA＝3sin(A＋π3)．由△ABC为锐角三角形知，π2＞A＞π2－B，又π2－B＝π2－π6＝π3.∴2π3＜A＋π3＜5π6，∴12＜sin(A＋π3)＜32.由此有32＜3sin(A＋π3)＜32×3＝32，所以cosA＋sinC的取值范围为(32，32)．点评解决这类问题的关键是利用正弦定理和余弦定理，要么把角化成边，要么把边化成角，然后再进行三角恒等变换得到y＝Asin(ωx＋φ)＋B型函数，从而求解单调区间、最值、参数范围等问题，注意限制条件A＋B＋C＝π，0＜A，B，C＜π的应用，如本题中由△ABC为锐角三角形得到A＋B＞π2，从而推到2π3＜A＋π3＜5π6.探究提高(1)已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可.(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引起注意.变式训练1(1)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，则角A的大小为________.π6(2)在△ABC中，若tanA＝13，C＝150°，BC＝1，则AB＝________；（3）在△ABC中，若a＝50，b＝256，A＝45°，则B＝______解析(2)∵在△ABC中，tanA＝13，C＝150°，∴A为锐角，∴sinA＝110.又∵BC＝1.∴根据正弦定理得AB＝BC·sinCsinA＝102.(3)由ba，得BA，由asinA＝bsinB，得sinB＝bsinAa＝25650×22＝32，∵0°B180°∴B＝60°或B＝120°.（4）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且满足csinA＝acosC.①求角C的大小；②求3sinA－cos(B＋π4)的最大值，并求取得最大值时角A，B的大小．解析①由正弦定理得sinCsinA＝sinAcosC.因为0＜A＜π，所以sinA＞0，从而sinC＝cosC，又cosC≠0，所以tanC＝1，则C＝π4.②由(1)知B＝3π4－A.于是3sinA－cos(B＋π4)＝3sinA－cos(π－A)＝3sinA＋cosA＝2sin(A＋π6)．∵0＜A＜3π4，∴π6＜A＋π6＜11π12，从而当A＋π6＝π2，即A＝π3时，2sin(A＋π6)取最大值2.综上所述，3sinA－cos(B＋π4)的最大值为2，此时A＝π3，B＝5π12.（5）如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的重心G.设∠MGA＝α(π3≤α≤2π3)．①试将△AGM、△AGN的面积(分别记为S1与S2)表示为α的函数；②求y＝1S21＋1S22的最大值与最小值．解析①因为G是边长为1的正三角形ABC的重心，所以AG＝23×32＝33，∠MAG＝π6，由正弦定理GMsinπ6＝GAsinπ－α－π6，得GM＝36sinα＋π6.则S1＝12GM·GA·sinα＝sinα12sinα＋π6(或163＋cotα)．又GNsinπ6＝GAsinα－π6，得GN＝36sinα－π6，则S2＝12GN·GA·sin(π－α)＝sinα12sinα－π6(或163－cotα)，②y＝1S21＋1S22＝144sin2α·[sin2(α＋π6)＋sin2(α－π6)]＝72(3＋cot2α)．因为π3≤α≤2π3，所以，当α＝π3或α＝2π3时，y取得最大值ymax＝240；当α＝π2时，y取得最小值ymin＝216.题型二利用余弦定理求解三角形例2在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且cosBcosC＝－b2a＋c.(1)求角B的大小；(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积.解(1)由余弦定理知：cosB＝a2＋c2－b22ac，cosC＝a2＋b2－c22ab.将上式代入cosBcosC＝－b2a＋c得：a2＋c2－b22ac·2aba2＋b2－c2＝－b2a＋c，整理得：a2＋c2－b2＝－ac.∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝－ac2ac＝－12.∵B为三角形的内角，∴B＝23π.(2)将b＝13，a＋c＝4，B＝23π代入b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝(a＋c)2－2ac－2accosB，∴13＝16－2ac1－12，∴ac＝3.∴S△ABC＝12acsinB＝334.探究提高(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.变式训练21．已知a、b、c分别是△ABC中角A、B、C的对边，且a2＋c2－b2＝ac.(1)求角B的大小；(2)若c＝3a，求tanA的值．解(1)∵a2＋c2－b2＝ac，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝12.∵0Bπ，∴B＝π3.(2)方法一将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝7a.由余弦定理，得cosA＝b2＋c2－a22bc＝5714.∵0Aπ，∴sinA＝1－cos2A＝2114，∴tanA＝sinAcosA＝35.方法二将c＝3a代入a2＋c2－b2＝ac，得b＝7a.由正弦定理，得sinB＝7sinA.由(1)知，B＝π3，∴sinA＝2114.又b＝7aa，∴BA，∴cosA＝1－sin2A＝5714.∴tanA＝sinAcosA＝35.方法三∵c＝3a，由正弦定理，得sinC＝3sinA.∵B＝π3，∴C＝π－(A＋B)＝2π3－A，∴sin(2π3－A)＝3sinA，∴sin2π3cosA－cos2π3sinA＝3sinA，∴32cosA＋12sinA＝3sinA，∴5sinA＝3cosA，∴tanA＝sinAcosA＝35.2．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cosA2＝255，·＝3.(1)求△ABC的面积；(2)若b＋c＝6，求a的值.解(1)∵cosA2＝255，∴cosA＝2cos2A2－1＝35，∴sinA＝45.又·＝3，∴bccosA＝3，∴bc＝5.∴S△ABC＝12bcsinA＝12×5×45＝2.(2)由(1)知，bc＝5，又b＋c＝6，根据余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝(b＋c)2－2bc－2bccosA＝36－10