高三复习-三角函数的图像和性质ppt课件

考纲要求考情分析1.能画出y＝sinx，y＝cosx，y＝tanx的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正切函数在区间(－，)内的单调性.从近两年的高考试题来看，三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度属中低档，常与三角恒等变换交汇命题，在考查三角函数性质的同时，又考查三角恒等变换的方法与技巧，注重考查函数方程、转化化归等思想方法.知识梳理1．周期函数(1)周期函数的定义对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝__f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数．T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．问题探究1：所有的周期函数都有最小正周期吗？函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域{y|－1≤y≤1}{y|－1≤y≤1}R{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx单调性[－π2＋2kπ，π2＋2kπ]上递增，k∈Z；[π2＋2kπ，3π2＋2kπ]上递减，k∈Z[(2k－1)π，2kπ]上递增，k∈Z；[2kπ，(2k＋1)π]上递减，k∈Z(－π2＋kπ，π2＋kπ)上递增，k∈Z函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx最值x＝π2＋2kπ时，ymax＝1(k∈Z)；x＝－π2＋2kπ时，ymin＝－1(k∈Z)x＝2kπ时，ymax＝1(k∈Z)；x＝π＋2kπ时ymin＝－1(k∈Z)无最值奇偶性奇偶奇函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx对称中心(kπ，0)，k∈Z对称中心(kπ＋π2，0)，k∈Z对称中心(kπ2，0)，k∈Z对称性对称轴l：x＝kπ＋π2，k∈Z对称轴l：x＝kπ，k∈Z无周期性2π2ππ问题探究2：正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点有什么关系？自主检测1．函数y＝cosx－12的定义域为()A．[－π3，π3]B．[kπ－π3，kπ＋π3]，k∈ZC．[2kπ－π3，2kπ＋π3]，k∈ZD．R2．函数y＝|sinx|－2sinx的值域是()A．[－3，－1]B．[－1,3]C．[0,3]D．[－3,0]3．设函数f(x)＝cos(2x－π)，x∈R，则f(x)是()A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为π2的奇函数D．最小正周期为π2的偶函数4．函数f(x)＝tanx＋1tanx，x∈{x|－π2x0或0xπ2}的图象为5．函数y＝1－2sinxcosx的最小正周期为()A.12πB．πC．2πD．4π答案：C6．(2011年山东高考)若函数f(x)＝sinωx(ω0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝()A．3B．2C.32D.23解析：f(x)＝sinωx在[0，π3]递增，在[π3，π2]递减，∴当x＝π3时，取最大值．∴π3ω＝π2，∴ω＝32.∴选C.考点1三角函数的定义域三角函数的定义域是研究其他一切性质的前提，求三角函数的定义域事实上就是解最简单的三角不等式(组)，通常可用三角函数的图象或三角函数线来求解，注意数形结合思想的应用．例1:(1)求函数y＝lg(sinx－cosx)的定义域；(2)求函数y＝sinx＋16－x2的定义域．求函数y＝1tanx－3的定义域．解：由已知得x≠kπ＋π2，k∈Ztanx≠3，∴x≠kπ＋π2x≠kπ＋π3，k∈Z，∴所求函数定义域为{x|x≠kπ＋π2且x≠kπ＋π3，k∈Z}．考点2三角函数的值域及最值求三角函数的值域(或最值)的常见题型及解法为：(1)y＝asinx＋bcosx型可引用辅助角化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)(其中tanφ＝ba)．(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x型可通过降次整理化为y＝Asin2x＋Bcos2x.(3)y＝asin2x＋bcosx＋c型可换元转化为二次函数．(4)sinxcosx与sinx±cosx同时存在型可换元转化．(5)y＝asinx＋bcsinx＋d(或y＝acosx＋bccosx＋d)型，可用分离常数法或由|sinx|≤1来解决．(6)y＝asinx＋bccosx＋d型，可用斜率公式来解决．例2(2011年北京高考)已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋π6)－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值．(1)若函数f(x)＝(1＋3tanx)·cosx，0≤xπ2，则f(x)的最大值为()A．1B．2C.3＋1D.3＋2(2)求函数y＝sinx＋cosx＋sinxcosx的值域．解析：(1)f(x)＝(1＋3tanx)cosx＝cosx＋3sinx＝2sinx＋π6，∵0≤xπ2，∴f(x)max＝2.故选B.(2)y＝sinxcosx＋sinx＋cosx＝sinx＋cosx2－12＋2sin(x＋π4)＝sin2(x＋π4)＋2sin(x＋π4)－12＝[sin(x＋π4)＋22]2－1，所以当sin(x＋π4)＝1时，y取最大值1＋2－12＝12＋2；当sin(x＋π4)＝－22时，y取最小值－1，∴该函数值域为[－1，12＋2]．答案：(1)B(2)[－1，12＋2]考点3三角函数的单调性1.形如y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的函数的单调区间，基本思路是把ωx＋φ看作一个整体，由－π2＋2kπ≤ωx＋φ≤π2＋2kπ(k∈Z)求得函数的增区间，由π2＋2kπ≤ωx＋φ≤3π2＋2kπ(k∈Z)求得函数的减区间．2．形如y＝Asin(－ωx＋φ)(A0，ω0)的函数，可先利用诱导公式把x的系数变为正数，得到y＝－Asin(ωx－φ)，它的增区间即为原函数的减区间．3．对于y＝Atan(ωx＋φ)(A、ω、φ为常数)，其周期T＝π|ω|，单调区间利用ωx＋φ∈(kπ－π2，kπ＋π2)(k∈Z)，解出x的取值范围，即为其单调区间．例3(2011年安徽高考)已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，且f(π2)f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A．[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)B．[kπ，kπ＋π2](k∈Z)C．[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)D．[kπ－π2，kπ](k∈Z)【答案】C【解析】由已知得fπ6＝±1，|sinφ|sinφ.即sinπ3＋φ＝±1，sinφ0.∴令φ0，π3＋φ＝±π2解得φ的一个值为－56π.∴f(x)＝sin(2x－56π)．由2kπ－π2≤2x－5π6≤2kπ＋π2，化简单调递增区间得x∈[kπ＋π6，kπ＋23π.]已知函数f(x)＝log2[2sin(2x－π3)]．(1)求函数的定义域；(2)求函数f(x)的单调递减区间．解：(1)令2sin(2x－π3)0⇒sin(2x－π3)0⇒2kπ2x－π32kπ＋π，k∈Z⇒kπ＋π6xkπ＋23π，k∈Z.故函数的定义域为(kπ＋π6，kπ＋23π)，k∈Z.(2)令2kπ＋π2≤2x－π32kπ＋π，k∈Z⇒2kπ＋56π≤2x2kπ＋43π，k∈Z⇒kπ＋512π≤xkπ＋23π，k∈Z，故函数f(x)的单调递减区间是[kπ＋512π，kπ＋23π)，k∈Z.考点4三角函数的对称性与奇偶性、周期性1.三角函数奇偶性的判断：(1)首先看定义域是否关于原点对称；(2)在满足(1)的前提下看f(－x)与f(x)的关系．2．周期函数f(x)的最小正周期T必须满足下列两个条件：(1)当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)；(2)T是不为零的最小正数．一般地，若T为f(x)的周期，则nT(n∈Z)也为f(x)的周期，即f(x)＝f(x＋nT)．特别注意：①最小正周期是指能使函数值重复出现的自变量x要加上的那个最小正数，这个正数是对x而言的．②不是所有的周期函数都有最小正周期，周期函数f(x)＝C(C为常数)就没有最小正周期．【分析】(1)先化简函数f(x)为Asin(ωx＋φ)的形式，然后依据公式求周期，利用sinx的有界性求最值．(2)化简g(x)，再用定义判断g(x)的奇偶性．例4已知函数f(x)＝2sinx4cosx4－23sin2x4＋3，(1)求函数f(x)的最小正周期及最值；(2)令g(x)＝f(x＋π3)，判断函数g(x)的奇偶性，并说明理由．【解】(1)∵f(x)＝sinx2＋3(1－2sin2x4)＝sinx2＋3cosx2＝2sin(x2＋π3)，∴f(x)的最小正周期T＝2π12＝4π.当sin(x2＋π3)＝－1时，f(x)取得最小值－2；当sin(x2＋π3)＝1时，f(x)取得最大值2.(2)由(1)知f(x)＝2sin(x2＋π3)，又g(x)＝f(x＋π3)，∴g(x)＝2sin[12(x＋π3)＋π3]＝2sin(x2＋π3)＝2cosx2.∵g(－x)＝2cos(－x2)＝2cosx2＝g(x)，∴函数g(x)是偶函数．求三角函数的周期时，要先对解析式进行化简，化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Atan(ωx＋φ)的形式，再利用公式T＝2π|ω|或T＝π|ω|求解．有时也可根据函数的图象，通过观察求得周期．答案：D下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝π3对称的是()A．y＝sin(2x＋π6)B．y＝sin(x2＋π3)C．y＝sin(2x－π3)D．y＝sin(2x－π6)解析：由最小正周期为π，可知ω＝2ππ＝2.对于y＝sin(2x－π6)，当x＝π3时，y＝sin(2×π3－π6)＝1，可知直线x＝π3是其一条对称轴．(对应学生用书P74)易错点忽视“内”“外”单调规律，盲目套用结论函数y＝sin(－2x＋π3)的递减区间是________．【错解】令2kπ＋π2≤－2x＋π3≤2kπ＋3π2，解得－kπ－7π12≤x≤－kπ－π12，k∈Z，所以函数的递减区间是[－kπ－7π12，－kπ－π12](k∈Z)．【错因分析】本题的错误在于解题中没有对函数y＝sin(－2x＋π3)的解析式进行转化，盲目套用结论而导致的，事实上，该函数是由y＝sinu，u＝－2x＋π3两个函数复合而成的，而u＝－2x＋π3是递减的，这样令2kπ＋π2≤u≤2kπ＋3π2，k∈Z，求得的并不是原函数的递减区间．【正确解答】由于y＝sin(－2x＋π3)＝－sin(2x－π3)，即求y＝－sin(2x－π3)的单调递减区间，也就是求v＝sin(2x－π3)的递增区间，由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，(k∈Z)．故应填[kπ－π12，kπ＋5π12](k∈Z)．求函数y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间时，若ω为负数，应先用诱导公式把x的系数化为正数，再求解．在研究三角函数的性质时通常犯以下错误：(1)若需把解析式化简，要注意等价变形，即不能改变x的取值范围；若题目中出现tanx时，还要保证函数自身有意义，即x≠π2＋kπ(k∈Z)．(2)关于y＝asin2x＋bsinx＋c或y＝acos2x＋bcosx＋c型或可化为此型的函数求值域，一般化为求二次函数在某区间上的值域问题，在利用换元法进行求解时，要注意三角函数本身的取值范围．求函数y＝lgsin(π4－2x3)的单调区间：解：y＝lgsin(π4－2x3)＝lg[－sin(23x－π4)]故由sin(23x－π4)0得2kπ－π2≤2x3－π42kπ解得3kπ－3π8≤x3kπ＋3π8(k∈Z)，由2kπ＋π2x3－π4≤2kπ＋3π2解得3kπ＋15π8x≤3