3-3(2)解析函数的无穷可微性

上页下页铃结束返回首页§3.3柯西积分公式及其推论1、Cauchy积分公式2、解析函数的无穷可微性3、Cauchy积分公式的应用上页下页铃结束返回首页定理3.11设区域D的边界是围线(或复围线)C,f(z)在D内解析,在=D+C上连续,则有：).()(21)(Dzdzfizfc这就是柯西积分公式.D1、Cauchy积分公式上页下页铃结束返回首页问题的提出问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?解析函数高阶导数的定义是什么?上页下页铃结束返回首页2、解析函数的无穷可微性定理3.13设区域D的边界是围线(或复围线)C,f(z)在D内解析,在=D+C上连续,则函数f(z)在区域D内存在各阶导数,并且有()1()1!()()()(1,2,)2()()2=()()(1,2,).()!nncnncnffzdzDnizfidfzzDnzn或D该公式不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.上页下页铃结束返回首页定理3.13注：（1）该定理揭示解析函数的又一深刻性质：即在=D+C上连续,在D内解析的函数，在D内具有各阶导数；（2）给出了表示解析函数导数的一种方法；（3）提供了计算复积分的又一种方法()1()2=()()(1,2,).()!nncfidfzzDnzn()1!()()()(1,2,)2()nncnffzdzDnizD上页下页铃结束返回首页证明：先证明结论关于n=1时成立。设Dhz是D内另一点。只需证明，当h趋近于0时，下式也趋近于0])()(2)(21)(21[12CCCdzfihdzfidhzfihCdzhzfih2))(()(2Cdzfihzfhzf2)()(21)()(高阶导数公式证明上页下页铃结束返回首页现在估计上式右边的积分。设以z为心，以2d为半径的圆盘完全在D内，并且在这个圆盘内取z+h，使得0|h|d，那么当时,||,||dhzdzD设|f(z)|在C上的一个上界是M，并且设C的长度是L，于是我们有因此当h趋近于0时，要证的积分趋于0。,2|||))(()(2|22dMLhdzhzfihC上页下页铃结束返回首页现在用数学归纳法完成定理的证明。设n=k时，结论成立。取z及z+h同上，那么有Ckkkdzfikhzfhzf2)()()()(2)!1()()(CkCkCkdzfikdzfikdhzfikh211)()(2)!1(])()(2!)()(2![1CkCkkkdzfikdzhzOhzkfihk2112)()(2)!1()()()1())(1()(2!上页下页铃结束返回首页)1(])(1)()(1)[(2)!1(21CkkhOdzzhzfik由此证明，当h趋近于0时，上式的右边趋于0，于是定理的结论当n=k+1时成立。上页下页铃结束返回首页2、解析函数的无穷可微性定理3.13设区域D的边界是围线(或复围线)C,f(z)在D内解析,在=D+C上连续,则函数f(z)在区域D内存在各阶导数,并且有),2,1)(()()(2!)(1)(nDzdzfinzfcnnD定理3.14设f(z)在z平面上的区域D内解析,则在D内具有各阶导数,并且它们也在区D内解析.上页下页铃结束返回首页即（在区域内的解析函数，其导数仍为解析函数）定理3.14注：该定理揭示：解析函数具有无穷可微性上页下页铃结束返回首页现在我们可以回答课前提出的问题问题:(1)解析函数是否有高阶导数?(2)若有高阶导数,其定义和求法是否与实变函数相同?回答:(1)解析函数有各高阶导数.(2)高阶导数的值可以用函数在边界上的值通过积分来表示,这与实变函数完全不同.解析函数高阶导数的定义是什么?上页下页铃结束返回首页例3.12三、典型例题计算积分cos𝑧𝑧−𝑖3𝐶𝑑𝑧,其中𝐶是绕𝑖一周的周线.补充例1解CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1(.1:,225为正向圆周其中计算下列积分,1)1(cos)1(5处不解析内在函数zCzz,cos内处处解析在但CzCnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2zzi;125i,)1()2(22处不解析内的在函数izCzez1C2CxyoiCi,1CiC为中心作一个正向圆周内以在,2Ci为中心作一个正向圆周以,,,)1(2122围成的区域内解析在由则函数CCCzez1C2CxyoiCi根据复合闭路定理Czzzed)1(2221d)1(d)1(2222CzCzzzezze1d)1(22Czzze1d)()(22Czzizizeizzizei2)()!12(2,2)1(iei1C2CxyoiCi2d)1(22Czzze同理可得,2)1(ieiCzzzed)1(22于是2)1(iei2)1(iei))(1(2iiieei)1sin1(cos)1(22i.41sin2i上页下页铃结束返回首页3.Chauchy不等式与刘维尔(Liouville)定理柯西不等式：设f(z)在区域D内解析,a为D内一点,以a为心作圆周γ:|ζ-a|=R,只要γ及其内部K均含于D,则有,)(!|)(|)(nnRRMnaf其中M(R)=max|f(z)|,n=1,2,….|z-a|=R证应用定理3.13于K上,则有.)(!2.)(.2!|)()(2!||)(|11)(nnnnRRMnRRRMndafinaf上页下页铃结束返回首页注解：注解1、说明解析函数在某点的各阶导数的估计与它的解析区域的大小密切相关。注解2、在整个复平面上解析的函数称为整函数，例如zezz,cos,sin常数等。应用柯西不等式，可得一个关于整函数的定理，我们有下面重要的刘维尔定理上页下页铃结束返回首页刘维尔定理有界整函数f(z)必为常数.证设|f(z)|的上界为M,则在柯西不等式中,对无论什么样的R,均有M(R)≤M.于是n=1有上式对一切R均成立,让R+∞,即知f”(a)=0.而a是z平面上任意一点,故f(z)在z平面上的导函数为零.由第二章习题(一)6(1)知f(z)必为常数.,RM|)('|af注：这是一个非局部性命题，也是模有界定理，其逆也真，即：常数是有界整函数；此定理的逆否定理为：非常数的整函数必无界。上页下页铃结束返回首页代数学基本定理在z平面上,n次多项式)0()(0110aazazazpnnn证反证法,设p(z)在z平面上无零点.由于p(z)在z平面上是解析的,1/p(z)在z平面上也必解析.下面我们证明1/p(z)在z平面上有界.由于,0)(1lim,)(lim)(lim10zpzazaazzpznnnzz故存在充分大的正数R,使当|z|R时,|1/p(z)|1.又因1/p(z)在必圆|z|≤R上连续,故可设|1/p(z)|≤M,M为正常数),从而,在z平面上|1/p(z)|M+1,于是,1/p(z)在z平面上是解析且有界的.由刘维尔定理,1/p(z)必为常数,即p(z)必为常数.这与定理的假设矛盾.故定理得证.至少有一个零点.上页下页铃结束返回首页例3.13如果函数f(z)为一整函数,且有使Mzf)(Re的实数M存在，试证f(z)为常数.,()(),()d0.设为如果函数对内的任何一条周单连通域线有:fzADDDCfzzc回忆定理3.3柯西－古萨基本定理上页下页铃结束返回首页4.摩勒拉(Morera)定理定理3.16若函数f(z)在单连通区域D内连续,且对D内任一围线C,有cdzzf,0)(证在假设条件下,根据定理3.7即知)()()(00DzdfzFzz在D内解析,且F’(z)=f(z)(z∈D).但解析函数F(z)的导数F’(z)还是解析的.即是说f(z)在D内解析.则f(z)在D内解析.上页下页铃结束返回首页刻画解析函数的第一个等价命题：p55()(,)(,),()():(1)(,)(,)(2)(,)(,),.fzuxyivxyDfzADuxyvxyDuuvuxyvxvxxDyyy设函数定义在区域内则的是与在内微;与在内满足C-R条件充要条件定理2.4(函数在区域D内解析的充要条件)上页下页铃结束返回首页()(,)(,),()():(1),,,C()2(,),(,),.xyxyfzuxyivxyDfzADuuvvDuvuvuxyvxyxyyxD设函数定义在区域内则的是()在内满足C-R条件充分条件定理2.5函数在区域D内解析的充分条件定理2.5的逆命题也成立，从而构成如下充要条件上页下页铃结束返回首页定理3.15函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是(1)ux,uy,vx,vy在D内连续;(2)u(x,y),v(x,y)在D内满足C.-R.条件.刻画解析函数的第二个等价命题：P126上页下页铃结束返回首页定理3.17f(z)在区域G内解析的充要条件是:(1)f(z)在G内连续;(2)对任一围线C,只要C及其内部全含于G内,就有cdzzf.0)(证必要性可由柯西定理3.3导出.至于充分性,我们可在G内任一点z0的一个邻域K:|ξ-z0|ρ内来应用定理3.16,只要ρ充分小,就知道f(z)在圆K内解析.特别说来,在z0解析,因为z0可在G内任意取,故f(z)在G内解析.刻画解析函数的第三个等价命题：p128四、小结与思考高阶导数公式是复积分的重要公式.它表明了解析函数的导数仍然是解析函数这一异常重要的结论,同时表明了解析函数与实变函数的本质区别.Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(高阶导数公式思考题解析函数的高阶导数公式说明解析函数的导数与实函数的导数有何不同?思考题答案.,,)(,上的解析函数阶导数均为闭区域并且它的各它就一定无限次可微中处处可微只要在闭区域函数高阶导数公式说明GGzf这一点与实变量函数有本质的区别..dcos)2(;d)1(1(1)12243zzzzzzezzz求积分练习：1.解,1)1(3在复平面内解析函数z,210内在zz,3n243d)1(1zzzz13]1[!32zzi;2iCnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式)2(,cos在复平面内解析函数zez,100内在zz,1n12dcoszzzzze0)cos(!12zzzei0]sincos[2zzzzezei.2i2.解)(.d1为整数求积分nzzeznz,0)1(n,1上解析在zzenz由柯西积分定理得1;0dznzzze,1)2(n由柯西积分公式得1dznzzze0)(2zzei;2i,1)3(nCnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(根据公式1dznzzze0)1()()!1(2znzeni.)!1(2ni332020/4/273.解.31)2(;23)1(:,d)2(132zzCzzzC其中求积分,02)2(132zzzz和有两个奇点函数,23)1(z2,z仅