利用空间向量解决空间距离问题

空间距离问题的向量解法一、求点到平面的距离一般方法：利用定义先作出过这个点到平面的垂线段，再计算这个垂线段的长度。还可以用等积法求距离.OdP向量法求点到平面的距离AOdnPsin||APnAPnd||APnn其中为斜向量，为法向量。nAPsindAPsin||APd二、直线到平面的距离AOdnPd||APnn其中为斜向量，为法向量。nAPl三、平面到平面的距离AOdnPd||APnn四、异面直线的距离nabd||APnn?n?AP是与都垂直的向量n,abAP点到平面的距离：直线到平面的距离：平面到平面的距离：异面直线的距离：四种距离的统一向量形式：d||APnn3.求解空间中的距离•(1)异面直线间的距离•两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用向量的正射影性质直接计算.•如图,设两条异面直线a、b的公垂线的方向向量为n,这时分别在a、b上任取A、B两点,则向量在n上的正射影长就是两条异面直线a、b的距离.•∴•即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂线的方向向量模的比值.nabAB,||||||||nnABnnABd•例1.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求异面直线AC1与BD间的距离.zxyABCDD1C1B1A1•解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C1(1,1,1),设异面直线AC1与BD的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由,得•n=(-1,-1,2).••∵,•∴异面直线AC1与BD间的距离)0,1,1(),1,1,1(1BDAC得取解得2,22,00zzyzxyxzyx)0,0,1(AB66411|001|||||nnABdZXYABCDA1B1C1D1练习:已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求直线DA1和AC间的距离。B1C1D1DCABxyzA1解:建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,,则D(0,0,0),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,1,0),设异面直线DA1与AC的公垂线的方向向量n=(x,y,z),则由,得)0,1,1(),1,0,1(1ACDA得取解得1,,00xxyxzyxzxn=(1,1,1).∵•∴异面直线AC与A1D间的距离)1,0,0(1AA33111|100|||||1nnAAdB1C1D1DCABxyzA1•(2)点到平面的距离•A为平面α外一点(如图),n为平面α的法向量,过A作平面α的斜线AB及垂线AH.••=•=.•于是，点到平面的距离等于平面内外两点的向量和平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模的比值.|,cos|||sin||||nABABABAH||||||||nABnABAB||||nnABnABHαθ•例2在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=,AC=BC=1,∠ACB=90°,•求B1到面A1BC的距离.2zxyCC1A1B1AB•解:以C为原点建立空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),A1(1,0,),B(0,1,0),B1(0,1,).设面A1BC的法向量n=(x,y,z),由得•n=(-,0,1).••∵,•∴或∵,•∴•或∵,•∴•可见,选择平面内外两点的向量时,与平面内的点选择无关.22),0,1,0(),2,0,1(1CBCA得取得,1,02,002zyzxyzx)2,0,0(1BB2363212|200|||1nnBBd)0,1,1(11BA363212|002|||11nnBAd)2,1,0(1CB363212|200|||1nnCBdABCD1A1B1C1DExyz求B1到面A1BE的距离；如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：练习：解:以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,则E(0,,1),A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1).设面A1BE的法向量n=(x,y,z),由得n=(1,2,2).ABCD1A1B1C1DExyz21),0,21,-1(EA),1,-1,0(B11A得取得,2,2,002-yyzyxzyyx∵)1,0,0(1BB32441|200|||1nnBBd∴•会求点到平面的距离,则直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为求点到平面的距离.•例3四棱锥P-ABCD的底面ACBD是菱形,AB=4,∠ABC=60°,侧棱PA⊥底面AC且PA=4,E是PA的中点,求PC与平面BED间的距离.xzyPBEADCF解:以A为原点、AB为x轴、△ACD中CD边上的高AF为y轴、AP为z轴建立空间直角坐标系,则F•为CD的中点,于是•A(0,0,0),B(4,0,0),F(0,2,0),C(2,2,0),•D(-2,2,0),P(0,0,4),E(0,0,2).•设面BED的法向量n=(x,y,z),由•得•n=(1,,2).•∵•∴n·2+6-8=0，故PC∥面BED,•∴PC到面BED的距离就是P到面BED的距离,•∵∴333),2,32,2(),2,0,4(DEBE得取得,2,232,02322024zzyzxzyxzx)4,32,2(PC3PC)2,0,0(EP24314||||nnEPdABCD1A1B1C1DExyz如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：求D1C到面A1BE的距离；练习：ABD1A1C1DExyz1BC解:以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,则E(0,,1),A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1)C(0,1,0)设面A1BE的法向量n=(x,y,z),由得21),0,21,-1(EA),1,-1,0(B11A得取得,2,2,002-yyzyxzyyxn=(1,2,2).由(0,1,-1)1CD∴n·=0+2-2=0，故D1C∥面BEA1,CD1∴D1C到面BEA1的距离就是C到面BEA1的距离∵=(1,0,0)CB314411|||CB|nndABCD1A1B1C1Dxyz例4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：求面A1DB与面D1CB1的距离；ABCD1A1B1C1DExyz1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求下列问题：求异面直线D1B与A1E的距离.作业ABCD1A1B1C1DExyzDxyz1解：以D为坐标原点，DA所在的直线为x轴，DC所在的直线为y轴，DD所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，1)如图所示111(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,,1)2DBAE则111,,0,2AE11,1,1DB11(,,),nxyzAEDB设是与都垂直的向量，则110,0,nAEnDB10,20,xyxyz2,3,yxzx即11AEBD得与的距离111414DAndn1(1,2,3)xn取＝，得其中一个11111,0,0,AEBDDA选与的两点向量为FEB1C1D1DCA2.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是B1C1和C1D1的中点，求点A1到平面DBEF的距离。BxyzA13.已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，求平面DA1C1和平面AB1C间的距离。B1C1D1DCABxyzA1小结利用法向量来解决上述立体几何题目，最大的优点就是不用象在进行几何推理时那样去确定垂足的位置，完全依靠计算就可以解决问题。但是也有局限性，用代数推理解立体几何题目，关键就是得建立空间直角坐标系，把向量通过坐标形式表示出来，所以能用这种方法解题的立体几何模型一般都是如：正（长）方体、直棱柱、正棱锥等。练习4：如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=1,∠ACB=900,AA1=,2求B1到平面A1BC的距离。B1A1BC1ACxyz练习5：如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=BC=AB=1,AA1=2求B1到平面A1BC的距离。B1A1BC1ACxyzM练习6：已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。GBDACEFxyzSABCNMOxyz练习7：在三棱锥S-ABC中，ABC是边长为4的正三角形，平面SAC垂直平面ABC，SA=SC=，M、N分别为AB、SB的中点，求：点B到平面CMN的距离.32.)3()2(;)1(的距离到平面求点的大小；求二面角证明：CMNBBCMNSBAC