拉普拉斯定理--行列式乘法

一、k级子式余子式代数余子式二、拉普拉斯(Laplace)定理三、行列式乘法法则第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则一、k级子式与余子式、代数余子式定义在一个n级行列式D中任意选定k行k列按照原来次序组成一个k级行列式M，称为行列()，位于这些行和列的交叉点上的个元素kn2k式D的一个k级子式；在D中划去这k行k列后式，称为k级子式M的余子式；M余下的元素按照原来的次序组成的级行列nk第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则若k级子式M在D中所在的行、列指标分别是，则在M的余子式前1212,,,;,,,kkiiijjjM后称之为M的代数1212(1)kkiiijjj加上符号余子式，记为.1212(1)kkiiijjjAM注：①k级子式不是唯一的.（任一n级行列式有个k级子式）．kknnCC时，D本身为一个n级子式．kn②时，D中每个元素都是一个1级子式；1k第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则例1：四阶行列式1214012100210013D选定1、3行，2、4列的一个二级子式M24M01M的余子式和代数余子式分别为02M011+3+2+402A=(-1)M01第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则例2：五阶行列式11121314152122232425313233343541424344455152535455aaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaaaa中121315222325424345aaaMaaaaaa与31345154aaMaa是一对互余的子式.第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则二、拉普拉斯(Laplace)定理引理行列式D的任一子式M与它的代数余子式A的乘积中的每一项都是行列式D的展开式中的一项，而且符号也一致．第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则Laplace定理由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的设在行列式D中任意取k()行，11kn代数余子式的乘积和等于D．即若D中取定k行后，由这k行得到的k级子式则.1122.ttDMAMAMA12,,,,tAAA，它们对应的代数余子式分别为12,,,tMMM为第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则11111111111111110000*kkrkkkrkkkrrrrrraaaabbaaDbbaabbbb②①时，1122ttDMAMAMA1k即为行列式D按某行展开；注：为行列式D取定前k行运用Laplace定理结果．第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则例对于四阶行列式11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa选定2、3行得子式和代数余子式分别为212213132aaMaa212323133aaMaa212433134aaMaa131414344aaAaa121424244aaAaa121334143aaAaa第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则222343233aaMaa222453234aaMaa232463334aaMaa111444144aaAaa111354143aaAaa111264142aaAaa112233445566DMAMAMAMAMAMA∴11121314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa2324111266233424331142124133344142aaaaMAaaaaaaaaaaaa23341142233412412433114224331241aaaaaaaaaaaaaaaa第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则1214012110130131D例3：计算行列式解：选定一二行得六个子式1122,10M2110,11M3141,13M5246,03M4212,01M614113M第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则1312101(1)001A1324211(1)211A,,1323312(1)513A1312401(1)001A,,4113502(1)003A1312601(1)001A,.(2)10(2)(1)52060(1)07D∴它们的代数余子式为第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则三、行列式乘法法则设有两个n级行列式11121111212122221222121212,nnnnnnnnnnnnaaabbbaaabbbDDaaabbb其中1122ijijijinnjcababab11121212221212nnnnnnccccccDDccc则1,nikkjkab,1,2,,ijn第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则证：作一个2n级的行列式11111111000011nnnnnnnnaaaaDbbbb11111111nnijijnnnnnnaabbDabaabb由拉普拉斯定理第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则1111221222121112121000000111nnnnnnnnnnnaaaaaaaaaDbbbbbb11a12a1na111111122111nncababab第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则又对D作初等行变换：11222(),1,2,,.iinininnrarararin可得11111111000011nnnnnnnnccccDbbbb这里1122,,1,2,,.ijijijinnjcabababijn第二章行列式§8拉普拉斯定理行列式乘法法则12(1)2(1)(1)nnnnijijDcc1122,,1,2,,.ijijijinnjcabababijn从而,ijijijabc