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二次函数复习课二次函数的定义小练：y=-x²，y=2x²-2/x，y=100-5x²，y=3x²-2x³+5,其中是二次函数的有____个。一般地，如果y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)，那么，y叫做x的二次函数。(1)a≠0；(2)最高次数为2；(3)代数式一定是整式.2定义要点：1.函数（其中a、b、c为常数），当a、b、c满足什么条件时，（1）它是二次函数；（2）它是一次函数；（3）它是正比例函数；2yaxbxc当时，是二次函数；0a当时，是一次函数；0,0ab当时，是正比例函数.0,0,0abc2.函数当m取何值时，（1）它是二次函数？（2）它是反比例函数？222(2)mymmx（1）若是二次函数，则且∴当时，是二次函数。222m2m220mm（2）若是反比例函数，则且∴当时，是反比例函数。221m1m220mm3.当m=______时,函数y=(m-1)x-2x+1是二次函数？mm2例二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是________对称轴是_________。（—，-—）12524x=—12画二次函数的大致图象:①画对称轴②确定顶点③确定与y轴的交点④确定与x轴的交点⑤确定与y轴交点关于对称轴对称的点⑥连线x=—12（—，-—）12524(0,-6)(-2,0)(3,0)0xy(1,-6)怎样画二次函数的图象（—,-—）12524x=—12x=—12（—，-—）12524(0,-6)(-2,0)(3,0)0xy(1,-6)增减性:当时,y随x的增大而减小当时,y随x的增大而增大21x21x最值:当时,y有最值,是21x小425函数值y的正负性:当时,y0当时,y=0当时,y0x-2或x3x=-2或x=3-2x3例二次函数y=x2-x-6的图象顶点坐标是_____对称轴是______。数形结合研究图象性质二次函数的图象及性质抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a0)y=ax2+bx+c(a0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定a0,开口向上a0,开口向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大.在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小.abacab44,22abacab44,22abx2直线abx2直线abacyabx44,22最小值为时当abacyabx44,22最大值为时当xy0xy0abacab44,22abacab44,22(0,c)(0,c)1、抛物线的对称轴及顶点坐标分别是（）A、y轴，（０，-4）B、x＝３，（０，４）C、x轴，（０，０）D、y轴，（０，３）2、二次函数图象的顶点坐标和对称轴方程为（）A、（1，-2），x＝1B、（1，2)，x＝1C、（-1，-2），x＝-1D、（-1，2），x＝-12)1(2xyDA342xy例1函数的开口方向________，顶点是_______________,对称轴是__________,当x时,y随x的增大而减小。当x时,y有最为.32212xxy向上1(1,)61x直线＜－１＝－１小1661)1(212xy顶点式为数形结合研究图象性质巩固练习1.二次函数y=x2+2x+1写成顶点式为：__________，对称轴为_____，顶点为______12y=(x+2)2-112x=-2(-2，-1)2.已知二次函数y=-x2+bx-5的图象的顶点在y轴上，则b=___。1203.抛物线y=-2x2+4x与x轴的交点坐标是___________4.已知函数y=—x2-x-4，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是___________5.二次函数y=mx2-3x+2m-m2的图象经过原点，则m=____。12（0，0）（2，0）x126.抛物线y=x2-4x+3的对称轴是_____________.A直线x=1B直线x=-1C直线x=2D直线x=-27.抛物线y=3x2-1的________________A开口向上,有最高点B开口向上,有最低点C开口向下,有最高点D开口向下,有最低点8.若y=ax2+bx+c(a0)与轴交于点A(2,0),B(4,0),则对称轴是_______A直线x=2B直线x=4C直线x=3D直线x=-39.若y=ax2+bx+c(a0)与轴交于点A(2,m),B(4,m),则对称轴是_______A直线x=3B直线x=4C直线x=-3D直线x=2cBCA例2已知抛物线y＝x²-mx+m-1.(1)若抛物线经过坐标系原点，则m______；(2)若抛物线与y轴交于正半轴，则m______；(3)若抛物线的对称轴为y轴，则m______;(4)若抛物线与x轴只有一个交点，则m______.=1＞1=2=0数形结合研究图象性质例3不论x为何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远为正的条件是_____________a0,b²-4ac0例4已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的解析式.解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2-3x+7的形状相同a=1或-1又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,顶点为(1,5)或(1,-5)所以其解析式为:(1)y=(x-1)2+5(2)y=(x-1)2-5(3)y=-(x-1)2+5(4)y=-(x-1)2-5展开成一般式即可.小结:一般地,抛物线y=ax2与y=±a(x-h)2+k形状相同,位置不同。二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:(1)有两个交点(2)有一个交点(3)没有交点b2–4ac0b2–4ac=0b2–4ac0若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则b2–4ac≥0二次函数与一元二次方程的关系1.不与x轴相交的抛物线是()Ay=2x2–3By=-2x2+3Cy=-x2–3xDy=-2(x+1)2-32.若抛物线y=ax2+bx+c,当a0,c0时,图象与x轴交点情况是()A无交点B只有一个交点C有两个交点D不能确定DC3.如果关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个相等的实数根,则m=＿＿＿＿,此时抛物线y=x2-2x+m与x轴有_____个交点.114.一元二次方程3x2+x-10=0的两个根是x1=-2,x2=5/3,那么二次函数y=3x2+x-10与x轴的交点坐标是＿_______＿＿＿.（-2、0）（5/3、0）2、已知抛物线顶点坐标（h,k），通常设抛物线解析式为_______________3、已知抛物线与x轴的两个交点(x1,0)、(x2,0),或者已知方程ax2+bx+c=0的两根为x1,x2,则通常设解析式为_____________1、已知抛物线上的任意三点，通常设解析式为________________y=ax2+bx+c(a≠0)y=a(x-h)2+k(a≠0)y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)求抛物线解析式的三种方法一般式：y=ax2+bx+c解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c由条件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程得：因此：所求二次函数是：a=2,b=-3,c=5y=2x2-3x+5例1已知一个二次函数的图象过点（－1,10）、（1,4）、（2,7）三点，求这个函数的解析式？oxy求抛物线解析式的三种方法解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)2-3由条件得：例2已知抛物线的顶点为（－1，－3），与轴交点为（0，－5）求抛物线的解析式？yox点(0,-5)在抛物线上a-3=-5,得a=-2故所求的抛物线解析式为y=－2(x＋1)2-3即：y=－2x2-4x－5顶点式：y=a(x-h)2+k解：设所求的二次函数为y=a(x＋1)(x－1）由条件得：例3已知抛物线与X轴交于A（－1，0）,B（1,0）并经过点M（0,1）,求抛物线的解析式？yox点M(0,1)在抛物线上所以：a(0+1)(0-1)=1得：a=-1故所求的抛物线解析式为y=-(x＋1)(x-1)即：y=－x2+1两根式：y=a(x-x1)(x-x2)1.根据下列条件，求二次函数的解析式。(1)、图象经过(0，0)，(1，-2)，(2，3)三点；(2)、图象的顶点(2，3)，且经过点(3，1)；(3)、图象经过(0，0)，(12，0)，且最高点的纵坐标是3。巩固练习2.选择合适的方法，求下列二次函数的解析式。（2）抛物线的顶点坐标是（6，-2），且与X轴的一个交点的横坐标是8。（1）抛物线经过（2，0）（0，-2）（-1，0）三点。22yxx2211(6)261622yxxx（3）抛物线的最大值为4，方程ax2+bx+c=0的两根为0或2。xxy842课堂小结求二次函数解析式的一般方法：已知图象上三点或三对的对应值，通常选择一般式已知图象的顶点坐标、对称轴和最值，通常选择顶点式已知图象与x轴的两个交点的横x1、x2，通常选择两根式确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式，