广东海洋大学10--15第二学期高数(试题与答案)

第1页共26页广东海洋大学2014—2015学年第二学期《高等数学》课程试题课程号：19221101x2□√考试□√A卷□√闭卷□考查□B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数241428286100实得分数一.填空（3×8=24分）1.设1,2,1a，0,1,xb，ba，则x2.设1,0,2a，0,1,0b，则ba3.曲面222yxz在点)2,1,1(处的切平面方程为4.将xoz平面上的曲线1422zx绕x轴旋转一周所得的旋转曲面的方程为5.函数)3ln(22yxz的驻点为6.设L为连接)0,1(到点)1,0(的直线段，则dsxyL)(7.幂级数13nnnx的收敛半径为8.微分方程xey3的通解为y二.计算题（7×2=14分）1.设)ln(22yxyz，求dz.2.设函数),(yxfz是由方程333axyzz所确定的具有连续偏导数的函数，求22,xzxz.班级：姓名：学号：试题共5页加白纸3张密封线GDOU-B-11-302第2页共26页三.计算下列积分（7×4=28分）1.dxdyxyD)(2，其中D是由0y,2xy及1x所围成的闭区域。2.证明曲线积分dyxyxdxyxy)2()2(2)1,1()0.0(2在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值。3.计算dxdyzdzdxydydzx)3()2()1(,其中是球面9222zyx的外侧。4.计算dxdyyxD2211，其中D是由2522yx围成的闭区域。四.计算题（7×4=28分）1.判别级数2121)1(nnn是否收敛?若收敛，是绝对收敛还是条件收敛?2.将函数31)(xxf展开为x的幂级数。3.求微分方程62ydxdy满足初始条件20xy的特解。4.求微分方程xeyy的通解。五.证明000)()()(ydxxfxdxxfdy（6分）2014-2015学年第二学期《高等数学》A卷（参考答案及评分标准课程号：19221101×2一、填空（3×8=24分）1.2；2.2,0,1；3.02zyx；第3页共26页4.4.14222zyx；5.)0,0(；6.2；7.3；8.21391cxcex二、计算题（14分）1.222yxxyxz,222222)ln(yxyyxyz,(4分)dyyxyyxdxyxxydz]2)[ln(22222222(3分)2.令),,(zyxF333axyzz（1分），得yzFFzx33,12，则yzFFxzzx3312，（4分）则322222)33(6)33(6yzzyzxzzxz.(2分)三．计算下列积分（7×4=28分）1.原式101)21()21()(41001022分32010分422dxxdxyxydyxydxxx2.设xyxyxQyxyyxP2),(,2),(22，有yxxQyP22，所以曲线积分与路径无关。（4分）原式=0)21(10dyy（3分）3.设V表示围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式有原式VVdvdvzzyyxx108)3())3()2()1((分3分44.原式26ln)1ln(21211202分320502分4rrdrrd第4页共26页四．1.令221nun，则1`nnuu，且0limnnu，所以级数2121)1(nnn收敛。（3分）又1121lim2nnn，而级数11nn发散，所以级数2121nn发散。（3分）因此级数2121)1(nnn条件收敛。（1分）2.因为11,110xxxnn，（4分）所以,3)3(31)31(3131)(010nnnnnxxxxxf33x.（3分）3.设6)(,2)(xQxP，则])([)()(CdxexQeydxxPdxxP（3分）=]6[22Cdxeedxdx=]3[22Ceexx（2分）代入初始条件得1C，所以特解为xey23.（2分）4.特征方程为02rr，特征根为1,021rr所以对应的齐次方程的通解为xeccy21.（4分）设xaey是xeyy的特解，则21a所以原方程的通解为xxeeccy2121（3分）五．积分区D域为：yxy0,0，更换积分次序有第5页共26页0000)()()()(dxxfxdyxfdxdxxfdyxy（6分）广东海洋大学2013—2014学年第二学期《高等数学》课程试题课程号：19221101x2□√考试□√A卷□√闭卷□考查□B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数一.填空（3×7=21分）1.设,1,0,1,0,1,1ab，则ba2.过点1,1,1且与x轴垂直相交的直线方程为3.过1,0,1与平面21xyz平行的平面方程为4.函数222zxyx的驻点为5.幂级数16nnixn的收敛半径为6.曲线222,0zxyxz在xoy面上的投影曲线的方程为7.微分方程yy满足(0)2y的特解为二.计算题（7×2=14分）1.设sinxzy，求dz.2.设),(yxfz是由方程0zexyz所确定的具有连续偏导数的函数，求,zzxy.三.计算下列积分（7×4=28分）班级：姓名：学号：试题共5页加白纸3张密封线GDOU-B-11-302第6页共26页1.Dxyd，其中D是由x轴y轴以及直线22xy所围成的闭区域。2.证明曲线积分(2,1)(0,0)(2)(2)xydxxydy在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值。3.计算63xdydzydzdxzdxdy,其中是某边长为2的正方体的整个边界曲面的外侧。4.计算22xyDed，其中D是由224xy围成的闭区域。四.计算题（8×4=32分）1.判别级数21nnne是否收敛。2.将函数3()xfxe展开为x的幂级数。3.求微分方程2yyx的通解。4.求微分方程566yyy的通解。五.证明000sinsinyxxdyexdxxexdx（5分）广东海洋大学2013—2014学年第二学期《高等数学》试题参考答案和评分标准课程号：19221101x2□√考试□√A卷□√闭卷□考查□B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数一.填空（3×7=21分）1.设,1,0,1,0,1,1ab，则ba1,1,1班级：姓名：学号：试题共6页加白纸3张密封线GDOU-B-11-302第7页共26页2.过点1,1,1且与x轴垂直相交的直线方程为1,xyz3.过1,0,1与平面21xyz平行的平面方程为232xyz4.函数222zxyx的驻点为1,05.幂级数16nnnx的收敛半径为16.曲线222,0zxyxz在xoy面上的投影线方程为220,0xxyz7.微分方程yy02y满足的特解为2xye二.计算题（7×2=14分）1.设sinxzy，求dz.21cos,cos,4zxzxxxyyyyy21coscos,3xxxdzdxdyyyyy2.设),(yxfz是由方程0zexyz所确定的具有连续偏导数的函数，求,zzxy.两边对x求导，（1）110,zzzzzeyxxxey（3）两边对y求导，0zzzezyyy，zzzyey（3）三.计算下列积分（7×4=28分）1.Dxyd，其中D是由x轴y轴以及直线22xy所围成的闭区第8页共26页域。解：区域D可表示为02201yxx（2）()Dxyd12200()xdxxydy（3）=13（2）2.证明曲线积分(2,1)(0,0)(2)(2)xydxxydy在整个xoy平面内与路径无关，并计算积分值。解：设2,2,PxyQxy则2QPxy（2）所以曲线积分与路径无关（2）原式=2100(4)xdxydy=132（3）3.计算63xdydzydzdxzdxdy,其中是某边长为2的正方体的整个边界曲面的外侧。解：设V是由围成的闭区域并表示它的体积，由高斯公式原式=(6)(3)()Vxyzdvxyz(3)=10Vdv(1)=10V(2)=3102=80(1)4.计算22xyDed，其中D是由224xy围成的闭区域。解：区域D在极坐标下可表示为02,02r，（2）第9页共26页原=22200rderdr（3）=41e（2）四.计算题（8×4=32分）1.判别级数21nnne是否收敛。解：31211limnnnnenee（4）所以级数收敛（4）2.将函数3()xfxe展开为x的幂级数。解：0!nxnxen（4）303()!nnxnxfxen，x（4）3.求微分方程2yyx的通解。解：0yy的通解为xyce，（2）设原方程的通解为()xycxe，代入方程得()2xcxxe，得()21xcxxec（4）原方程的通解为22xyxce（2）4.求微分方程566yyy的通解。解：特征方程为2560，特征根为122,3（2）对应的齐次方程的通解为2312xxycece（2）第10页共26页1y是方程的一个特解，（2）原方程的通解为23121xxycece（2）五.证明000sinsinyxxdyexdxxexdx（5分）证明：设区域D为00xyy则sinxDexd00sinyxdyexdx（2）区域D可表示为0xyxsinxDexd0sinxxdxexdy=0sinxxexdx广东海洋大学2012—2013学年第二学期《高等数学》课程试题课程号：19221101x2□√考试□√A卷□√闭卷□考查□B卷□开卷题号一二三四五六七八九十总分阅卷教师各题分数211428325100实得分数一.填空（3×7=21分）1.设,0,1,2,2,0,abk，若ab=2，则ba2.过点1,0,1且与平面232xyz平行的平面方程为3.设曲线:4cos,4sin,(02)Lxtytt，则223()Lxyds=4.函数22lnzxy的驻点为5.幂级数13nnnx的收敛域为6.曲线22,1zxyyz在xoy面上的投影线方程为班级：姓名：学号：试题共6页加白纸3张密封线第11页共26页7.微分方程sin2yx01y满足的特解为二.计算题（7×2=14分）1.设xyze，求dz.2.设),(yxfz是由方程220zexyz所确定的具有连续偏导数的函数，求,zzxy.三.计算下列积分（7×4=28分）1.23Dxyd，其中D是由两坐标轴以及2xy所围成的闭区域。2.设曲线积分(2,1)(0,0)(2