中考数学试卷分类汇编之一元二次方程及其应用

一元二次方程及其应用一、选择题1.（2013湖北黄冈，6，3分）已知一元二次方程x2－6x＋c＝0有一个根为2，则另一根为（）A．2B．3C．4D．8【答案】C．【解析】根据一元二次方程的根的定义，将x＝2代入原方程，得4－12＋c＝0，c＝8，所以原方程就是x2－6x＋8＝0，解之得x＝2或4，所以另一根为4．【方法指导】本题考查一元二次方程的根的定义和解法．解答本题还可设另一根为x，由一元二次方程的根与系数的关系，得x＋2＝6，所以x＝4．如果x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两个根，那么x1＋x2＝－p，x1·x2＝q．2.（2013贵州安顺，4，3分）已知关于x的方程错误!未找到引用源。的一个根为x=3，则实数k的值为（）A．1B．-1C．2D．-2【答案】：A．【解析】因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．【方法指导】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．3．（2013四川宜宾，5，3分）已知错误!未找到引用源。是一元二次方程错误!未找到引用源。的一个解，则m的值是()A．-3B．3C．0D．0或3【答案】A．【解析】把2x代入原方程可得到一个关于m的一元一次方程，再求解，应选A.【方法指导】本题考查了一元一次方程的解法及方程解的定义，解题时遇到方程的解可把解代入原方程，这是常用方法.4.（2013四川泸州，8，2分）若关于x的一元二次方程2210kxx有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（）A．1kB．1k且0kC．1k且0kD．1k且0k【答案】D【解析】根据条件得(－2)2－4×k×(－1)＞0，且k≠0；解得1k且0k，所以选D．【方法指导】本题从考查一元二次方程的概念及根的判别式出发，同时也考查了列、解不等式(组)的知识，有较大的综合度．【易错警示】容易只注重根的判别式，而忽视二次项不为0这个暗含条件．5.（2013四川泸州，10，2分）设12,xx是方程2330xx的两个实数根，则2112xxxx的值为（）A．5B．－5C．1D．－1【答案】B【解析】由已知得x1+x2＝－3，x1×x2＝－3，则原式＝21212212)(xxxxxx＝错误!未找到引用源。＝－5．故选B．【方法指导】本题着重考查一元二次方程根与系数关系的应用，同时也考查了代数式变形、求值的方法．6.（2013福建福州，5，4分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A．x2＋3＝0B．x2＋2x＝0C．(x＋1)2＝0D．(x＋3)(x－1)＝0【答案】C【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2－4ac的值的符号就可以了．有两个相等实数根的一元二次方程就是判别式的值是0的一元二次方程．A、△＝0－4×3＝－12＜0，则方程没有实数根，所以A选项错误；B、△＝4－4×0＝4＞0，则方程有两个不相等的实数根，所以B选项错误；C、x2＋2x＋1＝0，△＝4－4×1＝0，则方程有两个相等的实数根，所以C选项正确；D、x1＝－3，x2＝1，则方程有两个不相等的实数根，所以D选项错误．故选C．【方法指导】本题考查了根的判别式，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．【易错警示】运用根的判别式时，要先化为一般形式否则易出错吆！7．（2013山东滨州，10，3分）对于任意实数k，关于x的方程程x2－2(k+1)x－k2+2k－1=0的根的情况为A．有两个相等的实数根B．没有实数根C．有两个不相等的实数根D．无法确定【答案】：C．【解析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．：∵a=1，b=-2(k+1)，c=-k2+2k-1，∴△=b2-4ac=[-2(k+1)]2-4×1×(-k2+2k-1)=8+8k2＞0，∴此方程有两个不相等的实数根，故选C.【方法指导】本题主要考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．8．（2013江苏泰州，3，3分）下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（）A．错误!未找到引用源。B．错误!未找到引用源。C．2210xxD．错误!未找到引用源。【答案】A．【解析】A．错误!未找到引用源。，∵b2-4ac=（-3）2-4×1×1=5＞0，∴方程有两个不相等的实数根；同理，在方程错误!未找到引用源。，2210xx，错误!未找到引用源。中，b2-4ac=-3＜0无实数根、b2-4ac=0有两个相等实数根、b2-4ac=-8＜0无实数根.【方法指导】本题考查一元二次方程根的判别式.在一元二次方程ax2+bx+c=0中，需要把握根的存在三种情况：b2-4ac≥0，方程有实数根（两个或一个）；b2-4ac＜0，无实数根.9．（2013广东广州，9，4分）若错误!未找到引用源。，则关于x的一元二次方程错误!未找到引用源。的根的情况是（）A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不相等的实数根D.无法判断【答案】A.【解析】△=16+4k=)205(54k，∵错误!未找到引用源。，∴△＜0，故答案选A.【方法指导】解决一元二次方程根的判别式的问题，通常都是先算判别式，然后根据已知条件作出判断。考查一元二次方程根的判别式的问题主要有三种形式：（1）不解方程，判别方程根的情况；（2）根据方程根的情况求方程中待定系数的范围；（3）证明方程一定有两个不相等的实数根等方程根的情况。解决这三类问题，有一个通法，就是先算出判别式，然后根据题中的条件分别得出结论或者变形推理.10．（2013山东日照，8，3分）已知一元二次方程错误!未找到引用源。的较小根为错误!未找到引用源。,则下面对1x的估计正确的是A．错误!未找到引用源。B．错误!未找到引用源。C．错误!未找到引用源。D．011x【答案】A【解析】一元二次方程错误!未找到引用源。的两个根分别是错误!未找到引用源。。错误!未找到引用源。。所以选A【方法指导】本题是考查一元二次方程的根的取值范围，只要求出方程的根就可以准备找到根的取值范围。11．（2013山东日照，12，4分）如图,已知抛物线xxy421和直线错误!未找到引用源。.我们约定：当x任取一值时,x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；若y1=y2，记M=y1=y2.下列判断：①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，x值越大，M值越大；③使得M大于4的x值不存在；④若M=2，则x=1.其中正确的有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】当x＞2时，M=y1，所以①错误。当x＜0时，两个函数值都是随着x的增大而增大的，所以x值越大，M值越大，所以②正确。当x≤0时，M=y1使得M≤0；当0＜x≤2，M=y2，使得M≤4，x＞2时，M=y1使得M≤4.综之，使得M大于4的x值不存在，所以③正确。当M=2时，有两种情况，即，0＜x≤2，M=y2即得2x=2,解得x=1.x＞2时，M=y1即得错误!未找到引用源。所以④错误。【方法指导】本题是给信息的试题，所以根据题中所给的信息解题即可，但是这种试题要求要把所给的信息理解透彻。(好恶心的一个点评)12．(2013四川成都，9，3分)一元二次方程x2＋x－2＝0的根的情况是()(A)有两个不相等的实数根(B)有两个相等的实数根(C)只有一个实数根(D)没有实数根【答案】A．【解析】∵判别式△＝12－4×1×(－2)＝1＋8＝9，∴原一元二次方程有两个不相等的实数根．故选A．【方法指导】(1)△＞0一元二次方程有两个不相等的实数根；(2)△＝0一元二次方程有两个相等的实数根；(3)△＜0一元二次方程没有实数根．其中(1)、(2)两条可合并为：△≥0一元二次方程有两个实数根；13．（2013白银，6，3分）一元二次方程x2+x﹣2=0根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定考点：根的判别式．分析：判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2﹣4ac的值的符号就可以了．解答：解：∵a=1，b=1，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=1+8=9＞0∴方程有两个不相等的实数根．故选A点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．（2013白银，8，3分）某超市一月份的营业额为36万元，三月份的营业额为48万元，设每月的平均增长率为x，则可列方程为（）A．48（1﹣x）2=36B．48（1+x）2=36C．36（1﹣x）2=48D．36（1+x）2=48考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：三月份的营业额=一月份的营业额×（1+增长率）2，把相关数值代入即可．解答：解：二月份的营业额为36（1+x），三月份的营业额为36（1+x）×（1+x）=36（1+x）2，即所列的方程为36（1+x）2=48，故选D．点评：考查列一元二次方程；得到三月份的营业额的关系是解决本题的关键．15．（2013兰州，8，3分）用配方法解方程x2﹣2x﹣1=0时，配方后得的方程为（）A．（x+1）2=0B．（x﹣1）2=0C．（x+1）2=2D．（x﹣1）2=2考点：解一元二次方程－配方法．分析：在本题中，把常数项﹣1移项后，应该在左右两边同时加上一次项系数﹣2的一半的平方．解答：解：把方程x2﹣2x﹣1=0的常数项移到等号的右边，得到x2﹣2x=1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到x2﹣2x+1=1+1配方得（x﹣1）2=2．故选D．点评：考查了解一元二次方程﹣配方法，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．16．（2013兰州，10，3分）据调查，2011年5月兰州市的房价均价为7600/m2，2013年同期将达到8200/m2，假设这两年兰州市房价的平均增长率为x，根据题意，所列方程为（）A．7600（1+x%）2=8200B．7600（1﹣x%）2=8200C．7600（1+x）2=8200D．7600（1﹣x）2=8200考点：由实际问题抽象出一元二次方程．专题：增长率问题．分析：2013年的房价8200=2011年的房价7600×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．解答：解：2012年同期的房价为7600×（1+x），2013年的房价为7600（1+x）（1+x）=7600（1+x）2，即所列的方程为7600（1+x）2=8200，故选C．点评：考查列一元二次方程；得到2013年房价的等量关系是解决本题的关键．17．（2013广东珠海，4，3分）已知一元二次方程：①x2+2x+3=0，②x2﹣2x﹣3=0．下列说法正确的是（）A．①②都有实数解B．①无实数解，②有实数解C．①有实数解，②无实数解D．①②都无实数解考点：根的判别式．分析：求出①、②的判别式，根据：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．即可得出答案．解答：解：方程①的判别式△=4﹣12=﹣8，则①没有实数解；方程②的判别式△=4+12=20，则②有两个实数解．故选B．点评：本题考查了根的判别式，解答本题的关键是掌握跟的判别式与方程根的关系．18.（2013广西钦州，7，3分）关于x的