陈家鼎数理统计学讲义第三章答案

第三章假设检验1.设X1;X2;X3是来⾃Bernoullib(1;p)分布的样本,检验问题:H0:p=12$Ha:p=34的⼀个否定域为W=f(x1;x2;x3):x1+x2+x32g试求该否定域的第⼀、⼆类错误的概率和p=34时的功效.由题⽬可知x1+x2+x3B(3;p).第⼀类错误:H0为真拒绝H0w(12)=Pf(x1;x2;x3)2Wp=12g=Pfx1+x2+x32p=12g=3Pfx1=1;x2=1;x3=0g+Pfx1=x2=x3=1g=12:第⼆类错误:H0为假接受H0w(34)=Pf(x1;x2;x3)̸2Wp=34g=Pfx1+x2+x32p=34g=(31)(34)(14)2+(33)(14)3=532p=34时的功效为w(p)=Pf(x1;x2;x3)2Wp=34g=1532=2732.2.设X1;X2;


;Xn是来⾃密度函数为f(x)的总体的样本,关于f(x)有假设检验问题:H0:f(x)=f0(x)$Ha:f(x)=f1(x)其中f0(x)和f1(x)都是已知函数,令W为假设H0的否定域,试通过f0(x)和f1(x)表⽰两类错误的概率.(f0(x)不恒等于f1(x)).求得似然函数分别为L(x;f0)=n∏i=1f0(Xi)L(x;f1)=n∏i=1f1(Xi).由N-P引理,可得否定域W=n∏i=1f1(Xi)f0(Xi)0.第⼀类错误w(f0)=Pf(X1;X2;


;Xn)2Wf=f0g=∫Wf0(x)dx=∫n∏i=1f1(Xi)f0(Xi)0f0(x)dx第⼆类错误1w(f1)=1Pf(X1;X2;


;Xn)2Wf=f1g=1∫n∏i=1f1(Xi)f0(Xi)0f1(x)dx:3.设X是(12;+12)上的均匀分布的⼀个观测值,考虑假设检验问题:2H0:3$Ha:4构造检验法,使其功效函数()满⾜()=0;当3;()=1;当4(即两类错误概率均为零).由题⽬，要构造功效函数()使得3时,()=0且4时,()=1,即要构造否定域W使得PfX2W3g=0且PfX2W4g=1.3时(12;12)位于(2:5;3:5)左侧,因此只需选择W1=[3:5;1)即可得到PfX2W3g=0.4时(12;12)位于(3:5;4:5)右侧,因此只需选择W2=[3:5;1)即可得到PfX2W3g=1.综上,选择否定域为W=W1\W2=[3:5;1)即可.6.设XN(0;2);0已知,X1;X2;


;Xn是X的样本.试分别求出下列检验问题:(1)H0:220$Ha:220(0已知)(2)H0:221或222$Ha:21222(1;2已知;12)的UMP检验.密度函数为f(x;2)=1p2exp((x20)22)因此V(x)=(x0)2,Q(2)=122,显然Q(2)是2的严格递增函数.(1)于是有UMP拒绝域W0=fn∑i=1V(Xi)Cg=fn∑i=1(Xi0)2Cg,并且满⾜3PfX2W0j20g=,即Pfn∑i=1(Xi0)2Cj20g=,即Pfn∑i=1(Xi0)220C20g=,由于n∑i=1(Xi0)2202(n)因此，取C20=2(n),即C＝202(n)得到否定域W0=fn∑i=1(Xi0)2202(n)g.(2)对于假设问题,有UMP拒绝域W0=fC1n∑i=1V(Xi)C2g,其中C1;C2满⾜PfX2W0j2jg=PfC12jn∑i=1(Xi0)22jC22jg=j=1;2.7.设XN(;1),X1;X2;:::;Xn是X的样本.试找出检验问题:H0:1或2$Ha:12(1;2已知;12)的UMP检验.f(x;)=1p2exp((x2)2)=1p2e22ex22ex因此S()=1p2e22,h(x)=ex22,V(x)=x,Q()=,显然Q()是的严格递增函数.因此,由定理3.1UMP拒绝域W0有形式4W0=fC1n∑i=1XiC2g且满⾜PfX2W0j1g=;PfX2W0j2g=.即对i=1;2有PfC1n∑i=1XiC2g=Pf(C1ni)pnpn(Xi)(C2ni)png=.令Y=pn(Xi),故YN(0;1),即Pf(C1ni)pnY(C2ni)png=.因此只需C1;C2满⾜((C2ni)pn)((C1ni)pn)=i=1,2.8.设X1;X2;


;Xn为参数未知的Possion分布的样本,试选适当的检验⽔平求检验问题:H0:=0$Ha:0(0已知)的UMP检验.P(X=k)=1k!kek=0;1;


f(x;)=1x!xe=1x!eexp(xln)于是得h(x)=1x!;S()=e;V(x)=x;Q()=ln;且Q′()=10.由定理3.1可知拒绝域W0={n∑i=1XiC0}要满⾜P{X2W0}=P{n∑i=1XiC}=注意到XP())n∑i=1XiP(n)因此只需要C满⾜以下等式:5P(n∑i=1XiC)=1∑k=[C]+11k!(n)ken=:9.设X1;X2;


;Xn为参数p未知的Bernoulli分布b(1;p)的样本,试选适当的检验⽔平求检验问题:H0:p=p0$Ha:p̸=p0(p0已知)的⼀致最⼤功效⽆偏检验(UMPU检验).记Y=n∑i=1XiB(n;p).f(x;n;p)=(nx)px(1p)nx=(nx)(p1p)x(1p)n=(nx)(1p)nexpfxlnp1pgh(x)=(nx);S(p)=(1p)n;V(x)=x;Q(p)=lnp1p,Q′(p)=1p+11p0.故由定理3.4得到其UMPU拒绝域为W0={n∑i=1XiC1或n∑i=1XiC2}其中C1;C2满⾜:P(n∑i=1XiC1)+P(n∑i=1XiC2)=[C1]∑i=1(ni)pi(1p)ni+1∑i=[C2]+1(ni)pi(1p)ni=:610.设X1;X2;


;Xn是[0;]上的均匀分布的样本,求假设检验问题:H0:=0$Ha:0(0已知)的UMP检验.令X1;X2;


;Xn的顺序统计量为X(1)X(2)


X(n).由于X1;X2;


;Xn是[0;]上的均匀分布的样本,因此若要求得否定域W0使其满⾜PfX2W0j0g=即要满⾜在区间[0;]上的样本个数占总体样本⽐例为,也就是说只要满⾜n个顺序统计量中第n(1)个都⼤于0时拒绝原假设即可.因此拒绝域为W0=fX(n(1))0g.12.设XN(0;2),X1;X2;:::;Xn是X的样本,0是已知正数.(1)对检验问题H0:=0$Ha:0找出UMP检验.(2)对检验问题H0:=0$Ha:0找出UMP检验.(3)证明对检验问题H0:=0$Ha:̸=0不存在UMP检验.f(x;2)=1p2exp(x22)因此V(x)=x2,Q(2)=122,显然Q(2)是2的严格递增函数.7由定理3.1可知(1)的UMP拒绝域有形式W0=fn∑i=1V(Xi)C1g=fn∑i=1X2iC1g,其中C1满⾜∫1C12(x;n)dx=,即C1＝202(n).由定理3.1可知(2)的UMP拒绝域有形式W0=fn∑i=1V(Xi)C2g=fn∑i=1X2iC2g,其中C2满⾜∫C202(x;n)dx=.(3)考虑假设检验问题:H⋆0:=0$H⋆1:=1(1̸=0)f(x;2)=1p2exp(x22)根据N-P引理只需找f(x1;


;xn):(x)0g型的否定域,即为UMP否定域.=∏ni=1f(Xi;1)∏ni=1f(Xi;0)=n0n1e12(121120)n∑i=1X2i=(01)nexp{(12021)
1220n∑i=1X2i}其中120n∑i=1X2i2(n).记T=120n∑i=1X2i;C=2ln21202(n)1(01)n.为使0,只需8:TC;01;TC;01:8则有8:P(TCj0)=;01;P(TCj0)=;01:则01时,W1=fTCg;01时,W2=fTCg;W0=W1\W2=∅故原问题不存在UMP检验.16.从某正态总体中抽出了9个数据,得X＝0:4,S=√1n1n∑i=1(XiX)2=1:0;在⽔平0.05和0.01下分别检验(1)H0:0$Ha:0(2)H0:0$Ha:0解释结果的意义,如果样本量增加到了25,⽽统计量X与S仍分别为0.4和1.0,再进⾏上⾯的检验并说明结果的意义.2,均未知的正态总体对均值的假设检验问题.取检验统计量:T=pn(X)St(n1)代⼊样本值:S=1,X=0:4,t=0:4pn.¬.n=9时,t=1:2.(1).拒绝域为W0=fTt(8)g=0:05,W0=fT1:86g接受原假设;=0:01,W0=fT2:896g接受原假设.9(2).拒绝域为W0=fTt(8)g=0:05,W0=fT1:86g接受原假设;=0:01,W0=fT2:896g接受原假设.­.n=25时,t=2.(1).拒绝域为W0=fTt(24)g=0:05,W0=fT1:711g拒绝原假设;=0:01,W0=fT2:492g接受原假设.(2).拒绝域为W0=fTt(24)g=0:05,W0=fT1:711g接受原假设;=0:01,W0=fT2:492g接受原假设.18.正常⼈的脉搏平均为72次/分,某医⽣测得10例慢性四⼄基铅中毒患者的脉搏(次/分)如下:54,67,68,78,70,66,67,70,65,69已知这些患者的脉搏服从正态分布,问:四⼄基铅中毒患者的脉搏与正常⼈的脉搏有⽆显著差异?(=0:05)考虑假设检验问题H0:=72$Ha:̸=72取检验统计量T=pn(X72)St(n1)拒绝域为W0=fjTjCg.代⼊=0:05,n=10,X=67:4,S=5:625,得到jtj=2:586⽽拒绝域为W0=fjTjt0:025(9)g=fjTj2:262g,因此落⼊拒绝域中,应该拒绝原假设,即可以认为中毒患者与正常⼈脉搏有显著差异.1020.某⼯⼚采⽤新法处理废⽔,对处理后的⽔测量所含某种有毒物质的浓度,得到10个数据(单位:mg/L):22,14,17,13,21,16,15,15,19,18⽽以往⽤⽼法处理废⽔后,该种有毒物质的平均浓度为19.问:从对这种有毒物质的处理来看,新法是否⽐⽼法要好？(=0:05)考虑假设检验问题H0:19$Ha:19取检验统计量T=pn(X19)St(n1)拒绝域为W0=fTCg.代⼊=0:05,n=10,X=17,S=2:828,得到t=2:2361⽽拒绝域为W0=fTt0:05(9)g=fT1:833g,因此落⼊拒绝域中,应该拒绝原假设,即可以认为新法⽐⽼法要好.21.有某种导线,要求其电阻的标准差不得超过0:005(Ω).今在⽣产的⼀批导线中取样品9根,测得S=0:007(Ω),设总体为正态分布,问在0.05⽔平下能认为这批导线的标准差显著地偏⼤吗？考虑假设检验问题H0