数值传热学3

1/61主讲陶文铨西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHTCENTER2011年9月19日,西安数值传热学第三章离散方程的数学与物理特性分析2/613.1离散方程的相容性、收敛性与稳定性3.2分析初值问题稳定性的vonNeumann方法3.3离散方程的守恒性第3章教学目录3.4离散方程的迁移特性3/613.1离散方程的相容性、收敛性与稳定性3.1.1截断误差及相容性3.1.3舍入误差与初值问题的稳定性3.1.4数值特性分析举例3.1.2离散误差与收敛性4/613.1离散方程的相容性、收敛性与稳定性3.1.1截断误差及相容性（consistency)1.离散方程的精确解,ni2.微分算子与差分算子在求解过程中不引入任何舍入误差的解，记为：假定可以对其做Taylor展开。（1）微分算子－对函数在某点（i,n)做某些微分运算及算术运算的算子，如：,()inL2,,2()()ininLuStxx5/61则,()0inL即为一维模型方程。3.离散方程的截断误差同一地点上差分算子与微分算字之差。某些差分及算术运算的算子，如对函数在某点（i,n)做(2)差分算子－,()nxtiLni11111,22()2nnnnnnnnniiiiiiixtiiLuStxx则,()0nxtiL即为1-D模型方程的显式格式（时间向前，空间二阶格式－FTCS）。Forwardtimeandcentralspace6/61（1）定义－,()()nnxtiiTELL（2）分析方法－对离散方程的精确解对点（i,n)做Taylor展开（含时间与空间），代入离散方程并整理成两个算子相减的形式。11,nnii对1-D模型方程的FTCS格式，展开可得11111222,22{2}(,)nnnnnnnniiiiiiiiinuSutxxtxSOtxx7/61即1,()nniiintt22,,21()()...2!ninininiinintttttt如瞬态项类似地221....2tt()Ot223i211223i231()2=[221(())2]22()2nnniinxxOxxxuuxxxxOxxxxxOxxux8/61截断误差的数学含义是：存在着两个正的常数，K1，K2，当0,0tx差分算字与微分算字之差小于。212(KK)tx故得211,()()2nniiinuuOxxx假设源项不存在截断误差，则：1-D模型方程的FTCS格式的截断误差即为：2(,)Otx9/614.离散方程的相容性如果离散方程的截断误差趋于当0,0tx零，则称该离散方程与微分方程相容。当离散方程的截断误差表示为(,)(,0)nmOtxnmtx离散方程具有相容性；当截断误差含有项时，只有当比更快地趋于零时，才具有相容性。tx3.1.2离散误差与收敛性1.数值解的离散误差(discretizationerror)ni10/61(,)nniiin微分方程的精确解离散方程的精确解2.影响离散误差的因素（1）截断误差：截差阶数越高，同样网格下，ni越小（2）网格步长：同样截差下，网格加密，误差减小；对一般工程计算格式截差选取建议：3.离散方程的收敛性扩散项－2阶，对流项－2、3阶。11/61当0,0tx如果0ni则离散方程收敛。收敛性的证明并不容易，对线性问题有Lax原理。3.1.3舍入误差(round-offerror)与初值问题的稳定性1.数值解的舍入散误差ninnniiini从计算机实际得到的解。计算机字长；离散方程求解方法。2.影响舍入误差的因素12/61(,)niin(,)nniniiinnnii3.数值解误差的组成一般情况下ni占主导地位。初值问题的求解计算是步进过程,；如果任何时稳定性是格式固有属性，不论何种误差均有反应。层的计算中引入的误差不会在后续时层的计算中不断地被放大以至于使数值解变得无界，则称该初值问题的离散格式是稳定的。13/613.1.4数值特性分析举例例3－1截差、网格疏密的影响例题2220(0)0;(4)1dddxdx采用二阶截差时，可对节点2，3，4建立离散方程；另外可对节点3采用四阶截差，对节点2，4二阶截差。解：采用有限差分法，用差分式代替。22,dddxdx14/61248xxeeee并与精确解对比仅节点3采用四阶截差就使结果明显改善。15/6132个区间数的解就可以作为网格独立解。例3－3显式格式不稳定性示例22,01TTxtx0,2,00.5;2(1),0.51tTxxTxx0,(0,)(1,)0tTtTt16/61解：对及0.52求解。20.48atx初场20.48atx20.52atx精确解17/613.2分析初值问题稳定性的vonNeumann方法3.2.1误差矢量随时间的传递规律3.2.2离散Fourier展开3.2.3vonNeumann分析基本思想3.2.4vonNeumann分析算例3.2.5vonNeumann分析方法应用讨论18/613.2分析初值问题稳定性的vonNeumann方法3.2.1误差矢量随时间的传递规律1离散方程的矩阵表示法22,0TTaxLtx12(,0)()(0,)(),(,)()TxFxTtftTLtft11122,,2,,3,1(1..)..nnnnniiiiiTTTTTitxIa00(),,1,2,3.....iiTFxiI120(),(),,2,....1.nnLTfntTfntnixnt19/61离散方程可化为111(12)(),1,2,....(1)nnnniiiiTTrrTTiI记2,atrx对确定的时层n,上式可展开写出为10112(121)),(nnnniTTrrTT12213,(212)()nnnniTTrrTT13324,(312)()nnnniTTrrTT12213,(12)2()nnnnIIIIiTTrIrTT1112,(12(1))nnnIInIIiTTrTrTI……………20/61写成矩阵形式为1112131211...nnnnInITTTTT＋12321...nnnnInITTTTT000..0nnIrTrT(12)(12)(12)...(12)(12)rrrrrrrrrrrrr00可简写为1nnTATg（a)0TF21/61矩阵代表了一个从到的一种变换。AnT1nT2误差矢量随时间传递的规律设边值计算不引进误差，在初始条件中引进了误差，各节点上的分量组成了矢量0设包含误差的解为，则有T100nnTATgTF(b)(b)－(a)11000()nnnnTTATTTT10nnTATgTF（a)22/61即：10nnA给定。(c)误差矢量的传递可直接使用矩阵A（注意条件：边值计算不引入误差）3误差矢量的表示方式离散分量表示法离散分量23/61谐波分量表示法谐波分量做函数展开1展开式与[]区间上连续函数的Fourier展开相对应，（2N+1)个数对可以用下标在－N到N之间的三角函数（谐波分量）之和来表示。,ll(,)iixy3.2.2离散FOURIER展开24/61连续函数FOURIER展开有限个数对FOURIER展开定义在[]的连续函数,ll()22nIxlnnCe()fxy1I（2N+1)个“数对”2()21ikNIxNkkNCeiy0,1,2,.......2iN数对下标,;iixxyyx在ix之间时，y为三角函数有限项插值。谐波分量之和三角插值25/612.谐波分量表示式2()222()()21211ixkkxkxiNixikxiNN－波数，－相角称为谐波分量，kIikCekC具有振幅的意义，在非稳态问题中应为时间的函数，记为,则()t谐波分量一般表达式为()Iite3.2.3vonNeumann分析基本思想与傅氏级数中的相对应2()2nxl2,xkxk2()21ikIxNkCe于是kIikCe26/61对误差矢量分量做离散FOURIER展开；取任一()1()ttt2.分析方法1.基本思想3.2.3vonNeumann分析基本思想数值计算误差是一种扰动，可以分解为有限个谐波；如果某格式使任一谐波分量的振幅随时间而衰减或至少不变，则该格式是稳定的；否则即为不稳定。谐波代入到离散方程中；找出相邻两个时层的振幅之比，稳定性要求：27/611.一维非稳态的FTCS格式的稳定性条件3.2.4vonNeumann分析算例将()()Iitte代入到离散方程11122nnnnniiiiiTTTTTatx()()Iitttet(1)(1)22()IiIiIieeeatx两边同除Iie，根据Euler公式：cossinIeI2()12()(1cos)()ttattx整理之，得：得28/6122()14()sin()()2ttattx稳定性要求：()11()ttt22114()sin()12atx即：自动成立故要求：22114()sin()2atx224()sin()22atx这一要求应对所有角都成立，最苛刻的情况是21cos2(sin)229/612sin()12212atx讨论：上述显式格式稳定性条件仅适用于内点，因为假定了边界不引入误差；对第2，3类边界的稳定性条件可由平衡法导出的离散表达式通过物理意义分析获得。2.一维无源项模型方程的FTCS格式的稳定性条件()()Iitte将代入离散方程vonNeumann分析法概念清晰，实施方便。30/6111111222nnnnnnniiiiiiiutxx(1)(1)(1)(1)2()(2()()2)IiIiIiIiIIiittteeeutxetteex整理之，得2sinI(2cos2)2()11()(2)()2()()IIIIutxattexteeeta令utcx（Courant），2atrx31/61()()ttt122cossinrrIc复数！稳定性要求：122cossin1rrIc分析方法有代数法与图示法，后者简洁，清晰。图示法分析：复数的轨迹代表了复平面的一个椭圆。122cossinrrIc圆心长