数值传热学4

1/60主讲陶文铨西安交通大学能源与动力工程学院热流中心CFD-NHT-EHTCENTER2011年10月10日,西安数值传热学第四章扩散方程的数值解及其应用(2)2/604.1一维导热问题4.2多维非稳态导热的全隐格式4.3源项与边界条件的处理第4章教学目录4.4求解代数方程的TDMA及ADI方法4.5管道内充分发展对流换热概说4.7长方形截面通道内充分发展的对流换热4.6圆管内充分发展的对流换热3/604.4求解代数方程的TDMA及ADI方法4.4.1求解一维导热问题代数方程的三对角阵算法4.4.2求解多维非稳态导热全隐格式的ADI方法1.求解方法概述1.一维导热问题代数方程通用形式2.Peaceman-Rachford的ADI迭代2.Thomas算法3.第一类边界条件的处理4/604.4求解代数方程的TDMA及ADI方法4.4.1求解一维导热问题代数方程的三对角阵算法1.一维导热问题代数方程通用形式稳态及非稳态隐式（f0)都要联立求解一组代数方程：其系数矩阵是一三对角阵(Tri-diagonalmatrix)。PPEEWWaTaTaTb每行三个未知数5/602.Thomas算法的一般形式将上式改写为：端点条件：i=1,Ci=0;i＝M1,Bi＝0(1)消元过程－把每行的未知数由三个减少为二个。设消元后方程形式为：11,1,2,.....1iiiiiiiATBTCTDiM(a)111iiiiTPTQ系数除到等号后的项(b)6/60所谓消元就是要找出系数Pi,Qi与Ai,Bi,Ci,Di间的关系。将(b)乘以Ci,并与(a)式相加：11iiiiiiiATBTCTD(a)(b)111iiiiiiiTPCTQCC1iiiiiATCPT11iiiiiBTDCQ1111()iiiiiiiiiiiiBDCQTTACPACP111iiiiTPTQ对照7/601;iiiiiBPACP11;iiiiiiiDCQQACP上式特点：数学上是递归的（recurrent)－首先必须知道P1，Q1。11,1,2,.....1iiiiiiiATBTCTDiM(a)端点条件：i=1,Ci=0;i＝M1,Bi＝0为此，试重新审视式(a)如果将(a)式用于i=1,则立即可得出i=1时两点上未知量的关系式，将它与(b)相比就能得出P1，Q1。8/6011,0,iC11121ATBTD111211BDTTAA111;BPA111DQA(2)回代过程－从M1点开始，利用式(b)逐一得出Ti。11111,MMMMTPTQ端点条件：i＝M1,Bi＝011MTQ逐一得出：TM1－1，….T2,T1。1;iiiiiBPACP10MP111iiiiTPTQ9/603.第一类边界条件下Thomas算法的实施第一类边界条件下，求解区域为i=2,….M1-1=M2。将消元公式用于i=1,注意T1是给定的：1121TPTQ10;P11QT因TM1已知，消元从M2开始：2212MMMTPTQ注意：采用附加源项法来处理第二类，第三类边界条件时，均将第二类，第三类边界条件问题视为第一类边界条件问题，数学上的处理与此相同。10/604.4求解代数方程的TDMA及ADI方法4.4.1求解一维导热问题代数方程的三对角阵算法4.4.2求解多维非稳态导热全隐格式的ADI方法1.求解方法概述1.一维导热问题代数方程通用形式2.Peaceman-Rachford的ADI迭代2.Thomas算法3.第一类边界条件的处理11/604.4.2求解多维导热问题代数方程的ADI方法1.求解二维非稳态导热全隐格式代数方程的方法PEWNSSWPNE变量一维存储顺序与矩阵系数的关系12/60(1)五对角阵算法(Penta-diagonal,PDMA)(2)交替方向隐式方法(Alternative-directionImplicit,ADI)2.3-DPeaceman-Rachford方法将t三等分：第一个/3tX方向为隐式，y,z方向为显式式；第二，三个/3t分别在y,z方向实施隐式;2－D交替方向隐式13/60设ui,j,k,vi,j,k为两个中间子时层上的值；表示n时层x方向二阶导数的中心差分；2,,nxijkT,,,,,,222,,,,()/3ijnijknnxyijkzijkkijkTaTTtuu第一个子时层：第二个子时层：,2,2,,,,,,,,2()/3nijkixijkijkijkyjkzuatvvuu第三个子时层：,,,1,222,,,,,,1()/3nijknijkijknijknyijkxzTTavvtv14/60用vonNeumann分析方法可以证明稳定性条件为：222111()1.5atxyz表面上看，相对于一维问题允许时间步长放大了3倍；3.这种求解非稳态全隐格式的交替方向隐式(ADI-implicit)与求解多维稳态问题的交替方向迭代(ADI-iteration)方法极为相似。实际上并不！对二维问题P－R方法绝对稳定。15/604.5管道内充分发展对流换热概说4.5.1管道内充分发展对流换热的定义1.简单的充分发展对流换热2.复杂的充分发展对流换热4.5.2能实现充分发展对流换热的边界条件4.5.3部分算例汇总16/604.5管道内充分发展对流换热概说4.5.1管道内充分发展对流换热的定义1.简单的充分发展对流换热物理特征：垂直于主流方向截面上速度分量为零；流体无量纲温度分布与主流方向坐标无关；数学特征：速度与无量纲温度的控制方程均可简化为扩散型的方程。本章的讨论限于这一类。17/60平直通道中的充分发展对流换热属于这一类。2.复杂的充分发展对流换热在垂直于主流方向的截面上仍然存在速度分量，无量纲温度与主流方向坐标有关，常呈现周期性变化，数学上必须求解完全的Navier-Stokes方程。本课程第十一章以及程序例题中讨论。,,()0wmwbmTTTxT18/60复杂的充分发展对流换热举例19/601.轴向、周向均为均匀壁温：Tw＝Const2.轴向均匀热流密度、周向均匀壁温：qx＝Const，Tw=f(x)3.轴向、周向均为均匀热流密度：q=Const4.轴向热流密度呈指数规律变化：qx=C1eC2x4.5.2能实现充分发展对流换热的边界条件RKShah与ALLondon的专著有详细讨论。Laminarflowforcedconvectioninducts.Advancesinheattransfer.Supplement1,NewYork:AcademicPress,197820/604.5.3部分算例汇总21/6022/6023/6024/6025/6026/6027/6028/604.6圆管内充分发展的对流换热4.6.1.物理与数学模型4.6.2.控制方程的无量纲化4.6.3.单值性条件分析4.6.4.数值求解方法4.6.5.数值求解结果的处理4.6.6.求解结果的分析与讨论29/604.6圆管内充分发展的对流换热4.6.1.物理与数学模型温度为Tf的流体进入一长圆管，作层流流动。管外受到温度为的流体的冷却（加热），试确定换热进入充分发展阶段时的Nu数。T30/601.简化假设(1)常物性；(2)不计流体中的轴向导热；(5)管壁热阻略而不计；(3)不计流体中的黏性耗散；(4)不计自然对流；(6)流体速度已经充分发展：22[1()];0murvuR31/602.数学描写（1）温度场方程1()()()pTTTTTcuvrSxrrrrxx不计自然对流（4），温度场轴对称，圆柱坐标系：速度已经充分发展（6）不计轴向导热（2）1()pTTcurxrrr二维抛物型方程！方程类型?不计黏性耗散（3）32/60（2）边界条件0,0Trr（对称条件）；,()eTTrRTrh（对流型外边界条件）；因管壁热阻略而不计（5），故取外壁半径＝R；注意等式中的负号。33/604.6.2.控制方程的无量纲化上述抛物型方程仍然是偏微分方程，难以求解；利用充分发展条件引入无量纲温度，可化为常微分方程。定义bTTTTbTTTTTTTT于是：();bTTTTbbTTdTxxdx再定义无量纲空间坐标：;rRxXRPe34/60温度场方程可转化为：/11()/()2bbmdTdXdduTTddu0称为特征值(eigenvalue)仅与X有关仅与有关35/60于是有关于无量纲温度11()/()2mdduddu的常微分方程如下：原有的两个边界条件转化为：0,0;dd()1,()()ebbTdhRTTrTdTRTTT1)wdBid(a)(b)(c)问：方程(a)-(c)能否得出温度场的唯一解？36/604.6.3.单值性条件分析上述数学描述的解存在可任意乘一个常数的不确定性。由于方程与边界条件的齐次性(homogeneous)：微分方程的每一项都含有关于被求变量或其导数的一次方的部分：11()/()2mdduddu11()()2mdduddu边界条件也是齐次的0,0;dd1)wdBid37/60确定，才能进行求解。从已知条件的角度，在方程中的特征值还有待于为获得唯一解，并确定特征值需要一个附加条件。试从能量平衡角度来审视。()bTTTT从物理意义上，平均温度为：102022()RbmmrudrrurdRuRuR＝1TTTTbbbb1.038/60完整的数学描写为：11()()02mdduddu(a)0,0;dd(b)1)wdBid(c)101/2mudu(d)非齐次项39/604.6.4.数值求解方法控制方程为一维稳态导热方程，具有广义源项2muu，其值需要在求解过程中确定。故需采用迭代法。Patankar－Sparrow提出以下迭代求解方法：（1）令：由于方程与边界条件的齐次性，数学描写形式未变，只是用代替了。11()()02mdduddu40/6011()()02mdduddu(a)0,0;dd(b)1)wdBid(c)101/2mudu(d)非齐次项101/(2)mudu给出了确定特征值迭代方式。41/60（3）求解一个带非常数源项的一维导热问题，获得改进（4）重复上述计算直到收敛条件满足：（2）假定一个初场*,获得**,3610~10这一迭代过程较容易收敛，因为（a）中的源项：12muSu2120(1)4(1)d10(/)4(/)mmuuuud101/(2)mudu42/60源项的分子分母中均有φ，只有φ的分布影响源项，而与φ的假设值的绝对值关系不大。4.6.5.数值求解结果的处理获取对流传热系数的方法：1.根据求得的径向温度分布应用Fourier定律，获得热流再按对流传热系数定义确定之：,()wbTrRhTTr1)rRwbTrhTT,()eTTrRTrh注意上式不同于43/602.根据具体问题中的特征值确定利用管内对流换热与管外对流换热之间的平衡关系：()()bwewhTThTT管内对流管外对流由此得：webwTThhTT1webTTThTwebwTTTTThT1111eewwbTTThThh