数值分析 chap2数值积分

1第二章数值积分与数值微分2.1机械求积2.2Newton－Cotes公式2.3Romberg算法2.4Gauss公式2.5数值微分2)()()(aFbFdxxfba关于积分，有Newton-Leibniz公式但是，在很多情况下，还是要数值积分：1、函数f(x)的积分存在，但F(x)不能用初等函数表示，例如：2、被积函数f(x)表达式未知，f(x)是用表格形式给出的。3、用微积分中的换元积分、分部积分等方法能积出f(x)的原函数，但过程复杂（比如复杂的有理函数积分）。11200sin,sinxdxxdxx§2.1机械求积3积分中值定理告诉我们若f(x)在区间[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点，满足()()()bafxdxbaf几何意义：b()yfxyxOa4梯形公式：()()2baTfafb矩形公式：()2abRbaf几何意义：（2.1）（2.2）yxOab()yfxyxOab()yfx2ab2abf5更一般地，定义数值积分是离散点上的函数值的线性组合0()()()nbkknakfxdxAfxIf称为求积系数，与f(x)无关，与积分区间和求积节点xk有关这类数值积分方法通常称为机械求积。两个问题：1、系数Ak如何选取，即选取原则2、若节点可以自由选取，取什么点好？（2.3）6求积公式的余项（截断误差）：0()()nbnkkakRffxdxAfx7代数精度)()(0iniinxfafI为数值积分，badxxffI)()(为积分，则称数值积分有m阶代数精度是指：11()(),0,,;()()iimmnnIxIximIxIx定义对任意次数不高于m次的多项式f(x)，数值积分没有误差可以验证，梯形公式（2.1）和矩形公式（2.2）均具有一次代数精度。8例1、确定求积公式的代数精度。1111()33fxdxff11111222133133314414441(1)12,(1)112.11()0,()0.332112(),().333311()0,()0.332112(),().5933nnnnnIdxIIxxdxIxIxxdxIxIxxdxIxIxxdxIx解：引入记号，记求积公式(2.3）的左边为I(f)，当f(x)分别取1,x,x2,x3,x4时，计算如下：9可见，当f(x)分别为1,x,x2,x3时，求积公式（2.3）的左右两边精确相等，而当f(x)=x4时，左右两边不等，所以该求积公式具有3次代数精度。显然，一个求积公式的代数精度越高，用它来进行积分的近似计算越具有好的实际计算意义。10用插值函数的积分，作为数值积分)()()()()()(00inibaiibaniibannxfdxxldxxfxldxxLfIia代数精度:由Lagrange插值的余项表达式(1)1()()()(1)!nnnfRxxn于是，余项(1)1()()()()()(,)(1)!nbbnnnxaafIfIfRxdxxdxabn可以看出，至少n阶代数精度nkxxfxfkn,)(,0)()1(插值型（2.4）11反之，如果求积公式(2.3)至少具有n次代数精度，则它必是插值型的。事实上，如果求积公式(2.3)至少具有n次代数精度，则当f(x)分别取l0(x),l1(x),…,ln(x)（注意到它们都是n次多项式）时，求积公式均精确成立。比如取f(x)=li(x)代入得因此，求积公式是插值型的。0011()()()()(0,1,,)biiininailxdxalxalxalxain定理1、形如(2.3)的求积公式至少具有n次代数精度的充分必要条件是，它是插值型的。12例2、验证求积公式是插值型求积公式。解：从求积公式中可以看出，求积节点为求积系数a0=1,a1=1.要验证求积公式是插值型的，就是要验证计算知1111()33fxdxff0111,33xx11()0,1iialxdxi11001113()11133xlxdxdxa1311111113()11133xlxdxdxa所以所给求积公式是插值型求积公式。14例3、给定求积节点x0=0,x1=1,试推导出积分的插值型求积公式，并写出其截断误差。解：设求积公式为要使其成为插值型，则所以求积公式为11()fxdx1011()(0)(1)fxdxafaf1100111111111()2010()010xalxdxdxxalxdxdx11()2(0)fxdxf15该插值型求积公式的截断误差为111111()1()(0)(1)2xRfRxdxfxxdx其中(1,1)x16例题选讲2.1例1、试检验下列求积公式的代数精度：例2、判别下列求积公式是否是插值型的，并指明其代数精度：10211123()343234fxdxfff－303()122fxdxff例3、构造下列形式的插值型求积公式，并指明该求积公式所具有的代数精度：10120113()424fxdxAfAfAf17例题选讲2.2例1、试设计求积公式10120113()424fxdxAfAfAf18§2.2Newton-Cotes积分将积分区间[a,b]n等分，分点记为a=x0x1…xn=b,则有xk=a+kh,(k=0,1,2,…,n)在求积节点等距情形下，构造的插值型求积公式称为牛顿－柯特斯（Newton—Cotes）公式。bahn1900(1)(1)(1)()()!()!(1)(1)(1)(1)(1)()!()!xathbnkknkankntttktktnalxdxhdtknknhtttktktndtnknk()()nkkabaC()nkC(b-a)仅与步长n有关，可以预先求出20于是，插值型求积公式(2.4)可写成()0()()()()nbniinaifxdxbaCfxIx（2.5）式（2.5）称为Newton-Cotes求积公式，叫做柯特斯系数，其求积截断误差为()niC(1)()1(1)!2(1)0()()(1)()(,)(1)!nxbfnnnannnxxRfxdxhftttndtabn（2.6）21()01nniiC（权质性）.数(n)i柯特斯系C的性：证数为对积将nb(n)iiai=0nb(n)iiai=0n(n)iii=0明：由于Newton－Cotes公式代精度至少n次，故f(x)=1,求公式f(x)dx(b-a)Cf(x)精确成立，f(x)=1代入得1dx=(b-a)Cf(x)即Cf(x)=122N＝1时2121)1(10)1(110)1(0dttCdttC1()()()2baIffafb梯形公式23N＝2时61)1(4164)2(2161)2)(1(4120)2(220)2(120)2(0dtttCdtttCdtttC2()()4()()62babaIffaffbSimpson公式24N＝4时，计算可得柯特斯系数为4()7()32()12()32()7()90baIffafdfcfefb柯特斯公式(4)(4)(4)(4)(4)01234732123279090909090CCCCC其中3,,424baabdaceaba25例、用Newton-Cotes公式计算积分10sinxIdxx几种低阶求积公式的代数精度nInmnInm10.9270354140.9460830620.9461359350.9460830630.94611093I的精确值为0.946083126作业P943、4、5、6271、梯形公式31''()''()()()()()()()''()2!2!12bbaaffbaEfxaxbdxxaxbdxf此处用了积分中值定理误差282、Simpson公式2332(4)2(4)5(4)()()()()()()()()()()4!2()()()()()4!22880babaEfIfSfIfIPIPSffabxaxxbdxfabbaxaxxbdxf注意到，Simpson公式有3次代数精度，因此为了对误差有更精确地估计，我们用3次多项式估计误差)2(')2('),2()2(),()(),()(3333bafbaPbafbaPbfbPafaP为029猜想：N-C积分，对偶数有n＋1次代数精度，而奇数为n次代数精度。30定理3、当等分数n为偶数时，Newton－Cotes公式(2.5)至少具有n+1次代数精度。证明：由定理1可知，(2.5)至少具有n次代数精度。下面只需证明，当n为偶数时，式(2.5)对f(x)=xn+1精确成立。也就是截断误差Rn[f]=0.由于f(x)=xn+1,所以f(n+1)(x)=(n+1)!，由式(2.6)得令积分变量变换，因为n为偶数，故为整数，20(1)()nnnRfhtttndt2ntz2n31222222222222()(1)22(1)(1)(1)()22(1)(2)20nnnnnnnnnRfhzznnzzzzzdznhzzzzdz证毕。32复化求积公式复化梯形公式将区间[a,b]划分为n等分，分点在每个子区间[xk,xk+1](k=0,1,…,n-1)上采用梯形公式，则,,0,1,...,kbaxakhhknn110110()()()()()2kknbxaxknkknkIfxdxfxdxhfxfxRf33记11011()()2()2()()2nnkkknkkhTfxfxhfafxfb（2.7）称为复化梯形公式，其余项为3110()(),(,)12nnnkkkkkhRfITfxx34项为当长时敛n-1kkk0kn-10kn-1k=0n-1kk=0nna2b21minf(η)f(η)maxf(η)n1f(η)=f(由于f(x)C[a,b],且所以η(a,b)使于是复化梯形公式余由上式可知，步h→0即n→+∞，R(复η)nb-aR(f)=-化梯形公式是收于f(f)→0x)dx,hf(12故η)的。（2.8）35复化Simpson公式将区间[a,b]划分为n等分，在每个子区间[xk,xk+1]上采用Simpson公式，若记xk+1/2=xk+h/2，则11011/210()()()4()()()6kknbxaxknkkknkIfxdxfxdxhfxfxfxRf36记11/210111/201()4()()6()4()2()()6nnkkkknnkkkkhSfxfxfxhfafxfxfb(2.9)称为复化Simpson公式，其余项为41(4)10()(),(