正弦定理和余弦定理-课件

1．(2010·湖北高考)在△ABC中，a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB＝()A．－223B.223C．－63D.63解析：依题意得0°B60°，asinA＝bsinB，sinB＝bsinAa＝33，cosB＝1－sin2B＝63.答案：D2．在三角形ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为()A.2π3B.5π6C.3π4D.π3解析：由余弦定理得cos∠BAC＝AB2＋AC2－BC22AB·AC＝52＋32－722×5×3＝－12，且∠BAC∈(0，π)，因此∠BAC＝2π3.答案：A3．在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝3sinAsinC，则角B的大小为()A．150°B．30°C．120°D．60°答案：A解析：由正弦定理可得b2－c2－a2＝3ac，由余弦定理可得cosB＝a2＋c2－b22ac＝－32.故角B为150°.4．△ABC中，若a＝32，cosC＝13，S△ABC＝43，则b＝________.解析：∵cosC＝13，0Cπ，∴sinC＝223∴S△ABC＝12absinC＝43∴b＝83asinC＝8332×223＝23.答案：235．在△ABC中，已知2sinAcosB＝sinC，那么△ABC的形状是________．解析：法一：因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，即C＝π－(A＋B)，所以sinC＝sin(A＋B)．由2sinAcosB＝sinC，得2sinAcosB＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，即sin(A－B)＝0.又因为－π＜A－B＜π，所以A－B＝0，即A＝B.所以△ABC是等腰三角形．法二：利用正弦定理和余弦定理2sinAcosB＝sinC可化为2a·a2＋c2－b22ac＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，即a2＝b2，故a＝b.所以△ABC是等腰三角形．答案：等腰三角形定理正弦定理余弦定理内容a2＝；b2＝；c2＝.asinA＝bsinB＝csinC=2Rb2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理变形形式①a＝，b＝，c＝；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；(其中R是△ABC外接圆半径)③a∶b∶c＝④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.cosA＝；cosB＝；cosC＝.2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2RsinA∶sinB∶sinCb2＋c2－a22bca2＋c2－b22aca2＋b2－c22ab定理正弦定理余弦定理解决解斜三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边．②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角.①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角.2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞ba≤b解的个数一解两解一解一解无解(2010·浙江高考)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.(1)求sinC的值；(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，求b及c的长．考点一利用正、余弦定理解三角形[自主解答](1)因为cos2C＝1－2sin2C＝－14，及0Cπ，所以sinC＝104.(2)当a＝2,2sinA＝sinC时，由正弦定理asinA＝csinC，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－14，及0Cπ得cosC＝±64.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±6b－12＝0，解得b＝6或26，所以b＝6，c＝4.或b＝26，c＝4.若将例1中“cos2C＝－14”改为“cos(A－C)＋cosB＝32，b2＝ac”，求B.解：由cosA－C＋cosB＝32及B＝π－A＋C得cosA－C－cosA＋C＝32，cosAcosC＋sinAsinC－cosAcosC－sinAsinC＝32，sinAsinC＝34.又由b2＝ac及正弦定理得sin2B＝sinAsinC，故sin2B＝34，sinB＝32或sinB＝－32(舍去)，于是B＝π3或B＝2π3.又由b2＝ac知b≤a或b≤c，所以B＝π3.在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，试根据以下已知条件解三角形．(1)a＝23，b＝6，A＝45°；(2)a＝2，b＝22，c＝6＋2；(3)a＝22，b＝23，C＝15°.解：(1)法一：在△ABC中，由正弦定理得sinB＝bsinAa＝6×2223＝12.∵ab，∴AB，B必为锐角，∴B＝30°，C＝105°.∵sinC＝sin105°＝sin(60°＋45°)＝sin60°cos45°＋cos60°sin45°＝6＋24，∴c＝asinCsinA＝23×6＋2422＝3＋3.法二：在△ABC中，由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得12＝6＋c2－2c×6×22，即c2－23c－6＝0，解得c＝3±3(舍负)，即c＝3＋3.∵cab，∴CAB，由正弦定理得sinB＝basinA＝623×22＝12，∴B＝30°，C＝180°－A－B＝105°.(2)由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝222＋6＋22－222×22×6＋2＝32.又∵0°A60°，∴A＝30°.同理，cosB＝a2＋c2－b22ac＝22＋6＋22－2222×2×6＋2＝22，∴B＝45°，C＝180°－A－B＝180°－30°－45°＝105°.(3)法一：cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝6＋24.∵c2＝a2＋b2－2abcosC＝(22)2＋(23)2－2×22×23×6＋24＝8－43＝(6－2)2，∴c＝6－2.由正弦定理得sinA＝asinCc＝22×6－246－2＝22.∵ab，∴AB.又∵0°A180°，∴A必为锐角．∴A＝45°，从而得B＝120°.法二：求c(同法一)，由余弦定理的推论得cosA＝b2＋c2－a22bc＝232＋6－22－2222×23×6－2＝22，又∵0°A180°，∴A＝45°，从而B＝120°.考点二利用正、余弦定理判定三角形的形状(2010·辽宁高考)在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大小；(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．[自主解答](1)由已知，根据正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，故cosA＝－12，又A∈(0，π)，故A＝120°.(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC.又sinB＋sinC＝1，得sinB＝sinC＝12.因为0°＜B＜90°，0°＜C＜90°，故B＝C.所以△ABC是等腰的钝角三角形．若将条件“2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC”改为“ab＝cosBcosA”，试确定△ABC的形状．解：法一：由ab＝cosBcosA，得acosA＝bcosB，∴a·b2＋c2－a22bc＝b·a2＋c2－b22ac，∴a2b2＋c2－a2＝b2a2＋c2－b2，∴c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)，∴(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，∴a＝b或a2＋b2＝c2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．法二：由ab＝cosBcosA，得sinAsinB＝cosBcosA，∴sinAcosA＝cosBsinB，∴sin2A＝sin2B.∵A、B为△ABC的内角，∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝π2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边．如果(a2＋b2)·sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，且A≠B，试判断△ABC的形状．解：由已知得：a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]＝b2[sin(A－B)＋sin(A＋B)]．利用两角和、差的三角函数公式可得2a2cosAsinB＝2b2sinAcosB.由正弦定理得asinB＝bsinA，∴acosA＝bcosB.又由正弦定理得2RsinA＝a,2RsinB＝b，∴2RsinAcosA＝2RsinBcosB，即sin2A＝sin2B.∵A≠B，∴2A＝π－2B，∴A＋B＝π2.∴△ABC是直角三角形．在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c＝2，C＝π3.(1)若△ABC的面积等于3，求a，b；(2)若sinC＋sin(B－A)＝2sin2A，求△ABC的面积．考点三与三角形面积有关的问题[自主解答](1)由余弦定理及已知条件，得a2＋b2－ab＝4，又因为△ABC的面积等于3，所以12absinC＝3，得ab＝4.联立方程组a2＋b2－ab＝4，ab＝4，解得a＝2，b＝2.(2)由题意得sin(B＋A)＋sin(B－A)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.当cosA＝0时，A＝π2，B＝π6，a＝433，b＝233.所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×433×233×32＝233；当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a，联立方程组a2＋b2－ab＝4，b＝2a，解得a＝233，b＝433.所以△ABC的面积S＝12absinC＝12×233×433×32＝233.综上：△ABC的面积为233.解：由例题易知：a2＋b2－c2＝ab又∵c＝2，∴a2＋b2＝4＋ab又∵a2＋b2≥2ab，∴4＋ab≥2ab，保持例题条件不变，求△ABC面积的最大值.即ab≤4(当且仅当a＝b＝2时取“＝”)，∴S△ABC＝12absinC≤12×4×32＝3，即当a＝b＝2时，△ABC的面积取最大值3.在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边长，已知2sinA＝3cosA.(1)若a2－c2＝b2－mbc，求实数m的值；(2)若a＝3，求△ABC面积的最大值．解：(1)由2sinA＝3cosA两边平方，得2sin2A＝3cosA，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0.解得cosA＝120，∴0Aπ2，∴A＝60°.而a2－c2＝b2－mbc可以变形为b2＋c2－a22bc＝m2，即cosA＝m2＝12，∴m＝1.(2)由(1)知cosA＝12，则sinA＝32.又b2＋c2－a22bc＝12，所以bc＝b2＋c2－a2≥2bc－a2，即bc≤a2.故S△ABC＝bc2sinA≤a22·32＝334.考点四正、余弦定理的综合应用已知向量m＝(cosx4，1)，n＝(3sinx4，cos2x4)．(1)若m·n＝1，求cos(2π3－x)的值；(2)记f(x)＝m·n，在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosB＝bcosC，求函数f(A)的取值范围．[自主解答](1)m·n＝3sinx4cosx4＋cos2x4＝32sinx2＋12cosx2＋12＝sin(x2＋π6)＋12.∵m·n＝1，∴sin(x2＋π6)＝12，∴cos(x＋π3)＝1－2sin2(x2＋π6)＝12，∴cos(2π3－x)＝－cos(x＋π3)＝－12.(2)∵(2a－c)cosB＝bcosC，由正弦定理得：(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB－sinCcosB＝sinBcosC，∴2sinAcosB＝sin(B＋C)，∵A＋B＋C＝π，∴si