线性方程组解的结构研究

线性方程组解的结构研究目录摘要........................................................................IAbstract....................................................................II第一章绪论..................................................................11.1研究目的和意义........................................................11.2国内外研究现状........................................................11.3研究的主要内容........................................................1第二章线性方程组解的结构....................................................12.1线性方程组的定义.....................................................12.2齐次线性方程组的解的结构.............................................22.2.1齐次线性方程组有无穷多解时.....................................22.2.2齐次线性方程组有唯一解时.......................................32.3非齐次线性方程组解的结构.............................................42.3.1一般的非齐次线性方程组的解.....................................42.3.2存在全非零解的情况.............................................72.3.3非齐次线性方程组的基础解系.....................................92.4齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解之间的联系......................112.4.1解集的线性关系................................................112.4.2两个基础解系的不同点..........................................11第三章结论................................................................11参考文献....................................................................11致谢.......................................................................11线性方程组解的结构研究Ⅰ线性方程组解的结构学生：何敏指导教师：何聪摘要线性方程组在解决应用问题中起着重要的作用,是一个极其重要的数学工具。线性方程组的求解过程通常与向量相联系,而空间又可以用向量来表示,向量又与我们日常生活的许多事例相关,所以,我们生活中遇到的许多抽象化的无法快捷求解的难题,都可以通过向量和方程组的求解而实现,而在方程组的求解中,线性方程组是方程组中的最基本的方程组,所以,线性方程组的求解是十分重要的。本文通过对齐次和非齐次线性方程组解的结构的研究来探讨线性方程组解的结构。对线性方程组解的结构作一个详细的归纳，并概括出两者解集间的联系。关键词：线性方程组；矩阵；秩；向量；解的结构线性方程组解的结构研究THESTRUCTUREOFTHESYSTEMOFLINEAREQUATIONSSOLUTIONStudent:Instructor:AbstractSystemoflinearequationsinsolvingtheproblemofapplicationplaysanimportantrole,isanextremelyimportantmathematicaltools.Linearequationssolvingprocessisusuallyassociatedwithvector,andalsocanbeusedinthespacevector,vectorandassociatedwiththemanyexamplesofourdailylife,so,weencounteredinthelifeofmanyabstractcannotbequicktosolvetheproblem,canbestudiedbysolvingtheequationsofthevectorandimplementation,andinsolvingsystemsofnonlinearequations,systemsoflinearequationsisthemostbasicequationsofthesystemofequations,sothesolutionofthesystemoflinearequationsisveryimportantinthisarticle,throughalignmenttimeandthestructureofthesystemofnonhomogeneouslinearequationsresearchtoexplorethestructureofthesystemoflinearequationssolution.Thestructureofsystemoflinearequationssolution,adetailedarticlesumsupandsummarizesboththerelationbetweensolutionset.Keywords:Linearequation；Matrix；Rank；Vector；Thesolutionstructure线性方程组解的结构研究1第一章绪论1.1研究目的和意义线性方程组在解决应用问题中起着重要的作用,是一个极其重要的数学工具。线性方程组的求解过程通常与向量相联系,而空间又可以用向量来表示,向量又与我们日常生活的许多事例相关,所以,我们生活中遇到的许多抽象化的无法快捷求解的难题,都可以通过向量的方程组的求解而实现,而在方程组的求解中,线性方程组是方程组中的最基本的方程组,所以,线性方程组的求解是十分重要的,求解线性方程组的方法就显得尤其必要。1.2国内外研究现状国内外都对方程组的解的结构的求解过程做出了详尽的分析，但是很少有人对的齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的过程放在一起做具体的分析，比较和概括，所以本文将对齐次线性方程组和非齐次线性方程组解的求解过程做详尽的分析，从具体的分析过程中我们可以看到两者的联系与区别，最后将两者解集间的区别和联系系统地归纳在一起，便于理解和记忆。1.3研究的主要内容线性方程组解的结构研究包括两方面的内容，齐次线性方程组和非齐次线性方程组的解法。而非齐次线性方程组的解法与齐次线性方程组的解法相联系，所以，本文通过递进的形式先研究齐次线性方程的解法，再研究非齐次线性方程的解法。即通过齐次线性方程组解的表示及解集的结构,对非齐次线性方程组解的表示及解集的结构进行了讨论和分析,给出了有无穷多解时非齐次线性方程组的解集。然后通过矩阵初等变换等，运用齐次线性方程组的求解方法等来求解非齐次线性方程组。第二章线性方程组解的结构2.1线性方程组的定义数域P上的含有n个未知量和m个方程的线性方程组的一般形式为线性方程组解的结构研究2mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111①线性方程组的矩阵表示为：nnmnmmnnbbbbxxxXaaaaaaaaaA2121212222111211,,若令，则①可以写成bAX，其中A称为方程组①的系数矩阵，)(bA称为方程组①的增广矩阵。若0b，则称方程组①为齐次线性方程组。若b0，则称方程组①为非齐次线性方程组。非齐次线性方程组①的导出组是0AX。2.2齐次线性方程组的解的结构i令0b，则即为一齐次线性方程组，0AX000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa②nnnnnnaaaaaaaaaAAX2122221112110中的)),2,1;,,2,1((为常数其中的njniaij，000,21bxxxXn。2.2.1齐次线性方程组有无穷多解时如果矩阵A的行列式0||A，则说明A的秩nr,即)(Arankn,方程组可以通过线性方程组解的结构研究3矩阵的初等变换使得方程组最简化，简化后的方程组中未知数的个数大于方程组中方程的个数，不妨设sAr)(,则简化后的方程组为：11112212112222311322311220000nnnnnnsssnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax③则该方程组的系数矩阵设为1A,则snssnnaaaaaaaaaA2122221112111,则nsAr)(1,故0||1A,该方程组此时有无穷多个解，我们可以将该方程组的一般解表示为1122=++KnsnsKK为方程组，，，为任意常数，其中snsn，K，KK2121,③的基础解系)。2.2.2齐次线性方程组有唯一解时如果矩阵A的行列式0||A，则说明A的秩nr,即nArank)(,此时方程组最简化，方程组中未知数的个数与方程组的个数相同，方程组此时的结构为：111122121122223113223n11n22n0000nnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxax且nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211且nAr)(,此时||A0，方程组只有唯一的解，且为零解，即021nxxx。线性方程组解的结构研究42.3非齐次线性方程组解的结构ii2.3.1一般的非齐次线性方程组的解令12nbbbb(此时0b),则bAX就为一非齐次线性方程组，即111122112112222231132233n11n22nnnnnnnnnnaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxbaxaxaxb(2.1)该非齐次线性方程组的矩阵表示为：bAX，方程组0AX称为bAX的导出组，矩阵Ab叫做矩阵A的增广矩阵。求非齐次线性方程组的解又涉及到方程组是否有解以及方程组有多少个解的问题，故系数矩阵A及A的增广矩阵Ab有很大联系。下面讨论系数矩阵A及增广矩阵Ab之间的关系。若A=111212122212nnnnnnaaaaaaaaa，设增广矩阵B=Ab=11121121222212nnnnnnnaaabaaabaaab