浅谈线性方程组的解

浅谈线性方程组的解樟树三中徐伟摘要线性代数（LinearAlgebra）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线性空间），线性变换和有限维的线性方程组。随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之间的关系，既求解有限维的线性方程组，使各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题又可以计算出来，解线性方程组正是解决这些问题的有力工具。本文由用初等数学解线性方程组的例子，引用线性代数中的一些基本概念，论述了线性代数与线性方程组的内在联系。关键词线性方程组齐次线性方程组非齐次线性方程组克莱姆法则线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组xj表示未知量，aij为系数，bi为常数项。nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxaLLLL22112222212111212111若x1＝c1，x2＝c2，…，xn＝cn代入所给方程各式均成立，则称（c1，c2，…，cn）为一个解。若c1，c2，…，cn不全为0，则称（c1，c2，…，cn）为非零解。若常数项均为0，则称为齐次线性方程组，它总有零解（0，0，…，0）。两个方程组，若它们的未知量个数相同且解集相等，则称为同解方程组。线性方程组主要讨论的问题是：①一个方程组何时有解。②有解方程组解的个数。③对有解方程组求解，并决定解的结构。当非齐次线性方程组有解时，解唯一的充要条件是对应的齐次线性方程组只有零解；解无穷多的充要条件是对应齐次线性方程组有非零解。但反之当非齐次线性方程组的导出组仅有零解和有非零解时，不一定原方程组有唯一解或无穷解，事实上，此时方程组不一定有解。克莱姆法则给出了一类特殊线性方程组解的公式。n个未知量的任一齐次方程组的解集均构成n维空间的一个子空间。线性方程组有广泛应用，熟知的线性规划问题即讨论对解有一定约束条件的线性方程组问题。请看下面一个例子。例：一个庙里有一百个和尚,这中间有大和尚有小和尚,这一百个和尚每顿饭总共要吃一百个馒头,其中大和尚一个人吃三个,小和尚三个人吃一个,问有多少大和尚,多少小和尚?那么,假设大和尚的数目是x1,小和尚的数目是x2,那么由第一个条件,总共有100个和尚?可以知道：x1+x2=100而由第二个条件,大和尚一个人吃3个馒头,小和尚一个人吃1/3个馒头,吃的馒头的总数是100个,那么就得第二个方程10031321xx将上面两个方程联立,就得线性方程组:)2(100313)1(1002121xxxx要解这个方程组有两种办法,其实质是一样的,一种叫消元法,从(1)式解出x1得x1=100-x2将其代入到(2)式,得2575100758600300)100(910031)100(31222222xxxxxxx因此算出共有75个小和尚,25个大和尚.或者用加减法,先将(1)式乘3得3x1+3x2=300(3)用此(3)式减去(1)式得20031322xx同样能够解得x2=75由此可以推知更多元的线性方程组的解法。为什么在计算机如此发达的今天，线性方程组还是在各方面得到了广泛的应用呢？在物理学方面,整个物理世界可以分为机械运动,电运动,还有量子力学的运动。而机械运动的基本方程是牛顿第二定律,即物体的加速度同它所受到的力成正比,这是一个基本的线性微分方程.由此根据不同的力学系统,又可以构成更为复杂的微分方程。电运动的基本方程是麦克思韦方程组,这个方程组表明电场强度与磁场的变化率成正比,而磁场的强度又与电场强度的变化率成正比,因此麦克思韦方程组也正好是线性方程组。而量子力学中描绘物质的波粒二象性的薜定谔方程,也是线性方程组。所以在各种理、工学的研究与实践中，都脱离不了线性方程组。而在经济学和会计学方面,线性方程组也得到了广泛的运用。比如上面这个实际上是一个经济学的例子,是给一个庙的和尚作伙食供给时的问题。而实际过程如果不是一个庙,而是一家公司,这家公司的职员也不是分为两等,而是许多等,他们的薪水不同,消耗的生产或者办公器材的多少也不同,投资多少也不同,这样就可以构成了大量的线性方程组。总之，线性代数的主要研究如何用高等数学的方法研究解线性方程组。解线性方程组有独立的系统的科学体系，在实践中应用极为广泛，尤其是为计算机解决、归纳和分析目前大量繁琐的科研数据提供了理论基础。参考文献：1.《线性代数》（第五版）同济大学数学系编高等教育出版社2.《线性代数与解析几何学习指导》人民邮电出版社3.《线性代数导教、导学、导考》西北工业大学出版社4.《线性代数与空间解析几何》中国科学技术出版社