东莞市校本教材第3章1数系的扩充和复数的概念

数系的扩充和复数的概念解方程x2+1=0在实数集中无解!印度数学家婆什迦罗(BhaskaraⅡ,1114-约1185)第一个遇到“x2+1=0”的人，当时他认为无意义.1484年,法国数学家舒开遇到解二次方程4+x2=3x的问题.1545年意大利数学家、怪杰卡尔丹(G.Cardan0,1501-1576)遇到方程x2-10x+40=0自然数集(N)→整数集(Z)→有理数集(Q)→实数集(R)减法,负数除法,分数(有限及无限循环小数)无理数(无限不循环小数)负数不能开方？韦达（FrançoisViète;15401603）棣莫弗（AbrahamdeMoivre;16671754）欧拉（LeonardEuler,1707-1783）笛卡儿（RenéDescartes;15961650）复数的概念1、为了解决负数开方问题，引入新数i,使i是方程x2+1=0的解,即ii=-1把i添加到实数集中得到一个新数集,记作Ax2+1=0在A中的解为x=i引入的数i和实数之间能实现加法,乘法运算,并且加法和乘法都满足交换律,结合律,以及乘法对加法满足分配律.将实数a和数i相加记为:a+i；把实数b与数i相乘记作:bi；将它们的和记作:a+bi(a,b∈R),将这些数加入数集A得到一个新的数集:C={a+bi|a,b∈R}复数全体所组成的集合叫复数集,用字母C表示复数(complexnumbers):2、复数：复数集(setofcomplexnumbers):把形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数i叫做虚数单位(imaginaryunit)虚部(imaginarypart)实部(realpart)用z表示复数,即z=a+bi(a,b∈R)叫做复数的代数形式(algebraicformofcomplex)3、复数的代数形式：规定:0i=0,0+bi=bi4、两个复数相等有两个复数Z1=a+bi(a,b∊R)和Z2=c+di(c,d∊R)a+bi=c+dia=c且b=d注意1、若Z1,Z2均为实数,则Z1,Z2具有大小关系2、若Z1,Z2中不都为实数，Z1与Z2只有相等或不相等两关系，而不能比较大小5、复数的分类：复数z=a+bi(a,bR)条件数的类型RC实数集R是复数集C的真子集，虚数b≠0纯虚数a=0且b≠0实数0a=b=0实数b=0复数z=a+bi(a,bR)实数(b=0)虚数(b≠0)纯虚数(a=0)非纯虚数(a≠0)例.说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部与虚部31i31i71i2i)1(0i23211iii)32(复数集实数集虚数集纯虚数集复数集，实数集，虚数集，纯虚数集之间关系有下列命题：（1）若a、b为实数，则z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则z=a一定不是虚数其中真命题的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）3B例1实数m取什么值时，复数z=m+1+(m-1)i是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？解:(1)当m-1=0，即m=1时，复数z是实数．(2)当m-1≠0，即m≠1时，复数z是虚数．(3)当m+1=0，且m-1≠0，即m=-1时，复数z是纯虚数．关键:m的取值1.当m为何实数时，复数Z=m2+m-2+(m2-1)i是(1)实数(2)虚数（3)纯虚数(4)02.对上题练习中的虚数Z，若实部是虚部的两倍，求实数m的值。练习3.若x，y为实数，且求x，yiyixyx42224.(m2-m)+(m3-2m2-m+2)i是纯虚数，求m的值.5.m取什么实数值时,复数z=(m2-2m-3)+(m2-4m+3)i是实数，是虚数，是纯虚数？43yxm=01、以2i-3的虚部为实部，3i+2i2的实部为虚部的复数是()A.2-2iB.2+2iC.-3+3iD.3+3i2、设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},那么()A.R∪M=IB.R∩M＝{}RMID.IMRC.练习AB(A)-1(B)4(C)-1或4(D)-1或6　　　　的值为实数是纯虚数，则复数3.aiaaaaaz6574322B练习4.已知(5x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,则x=____,y=____.14练习4、已知复数Z=(2m2-3m-2)+(m2-2m)i(m∈R)是:(1)实数；（2）虚数；（3）纯虚数；求m的值.