第二节 函数极限的定义

1高等数学北邮世纪学院基础部华卫兵22.2函数的极限3(复习)数列{xn=f(n)}可看成自变量为n的函数,定义域为N+.数列xn的极限为a即当n→∞时，对应函数值f(n)无限接近于确定的数a。函数的极限：在自变量的某个变化过程中，若对应的函数值无限接近于某个确定的数，称这个确定的数就叫在这一变化过程中函数的极限。4三种情形时函数的极限：⑴自变量趋于有限值(x→x0)时,对应函数值的变化情形；(2)自变量从单侧趋于有限值(x→x0)时,对应函数值的变化情形；⑵自变量的绝对值无限增大(x→∞)时,对应函数值的变化情形。5[人影长度]考虑一个人沿直线走向路灯的正下方时其影子的长度．若目标总是灯的正下方那一点，灯与地面的垂直高度为H。由日常生活知识知道，当此人直向目标时，其影子长度越短，当人越来越接近终点（数学上如何描述）时，其影子的长度逐渐趋于0（数学上如何描述）。6;)()(任意小表AxfAxf.000的过程表xxxx1、x→x0时,f(x)的极限问题1：函数y=f(x)在x→x0的过程中，对应函数值f(x)无限接近于确定值A。⑴引例.111)(1)(2时的变化趋势当与考察xxxxfxxg在x=1时，g(x)有定义，f(x)无定义，如图可知，当x从左从右无限趋近于1时，g(x)与f(x)都无限接近于2。1)(xxgyxO11211)(2xxxf问题2:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.7⑵定义x0x0x0x,0邻域的去心点x.0程度接近体现xx①设f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果对于任意给定的0,总存在0,使得当0|x-x0|,恒有|f(x)-A|成立，则称x→x0时函数f(x)以常数A为极限，记为).()()(lim00xxAxfAxfxx或②“εδ”定义.|)(|||0,0,0)(lim00AxfxxAxfxx时有当注：;)()0是否有定义无关在点函数极限与xxfa.)有关与任意给定的正数b8⑶几何意义AAA0x0x0xxyo.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线以直线图形完全落在邻域时的去心在当Ayxfyxx.,,越小越好后找到一个显然)(xfy9例1).(,lim0为常数证明CCCxx证Axf)(CC,成立,0任给0.lim0CCxx,0任取,00时当xx例2.lim00xxxx证明证,)(0xxAxf,0任给,取,00时当xx0)(xxAxf,成立.lim00xxxx10例3.211lim21xxx证明证211)(2xxAxf,0任给,只要取,00时当xx函数在点x=1处没有定义.1x,)(Axf要使,2112xx就有.211lim21xxx11例4.lim00xxxx证0)(xxAxf,0任给},,min{00xx取,00时当xx00xxxx,)(Axf要使,0xx就有,00xxx.00且不取负值只要xxx.lim,0:000xxxxx时当证明0xox0x0x0xox12例5证明.lim2020xxxx,00202xxxxxx可以先限制因为此时有,10xx0000022xxxxxxxx故只要所以,)21(00202xxxxx.2100xxx要使分析012,x13这就证明了.202xx.lim2020xxxx证,21,1min0x取00xx当,0有,时14例6求证：00(1)limsinsin;xxxx注在例4、例5中,我们将所考虑的式子适当放大,不是“最佳”的,但这不影响我们解题的有效性.其目的就是为了更简洁地求出,或许所求出的00(2)limcoscos.xxxx15证首先，在右图所示的单位圆内,π0,2x当时显然有即,OABOADOADSSS扇形,tan2121sin21xxx故πsintan0.2xxxxOCDBAyxx16.0时成立上式中的等号仅在xπ,2x因为当时,0,1sinxxx故对一切R.,sinxxx.sinxx,sinx故均是奇函数,x又因为有000sinsin2cossin22xxxxxx对于任意正数,取,00时当xx,0,xx17.sinsinlim00xxxx同理可证:.coscoslim00xxxx所以18例7证明：).1||(11lim02020xxxxx证因为22000220||||1111xxxxxxxx则,0,2120x取00||xx当时，2200202|||11|.1xxxxx这就证明了所需的结论.0202||,1xxx19在上面例题中,需要注意以下几点：,我们强调其存在性.换句话说,对于固定1.对于的,不同的方法会得出不同的,不存在哪一个更好的问题.数都可以充当这个角色.3.正数是任意的,一旦给出,它就是确定的常数.,那么比它更小的正是不惟一的,一旦求出了.220有时为了方便,需要让小于某个正数.一旦对这为贵”.当然也能满足要求.所以我们有时戏称“以小样的能找到相应的,那么比它大的,这个212.单侧极限:例如,.1)(lim0,10,1)(02xfxxxxxfx证明设两种情况分别讨论和分00xx,0xx从左侧无限趋近;00xx记作,0xx从右侧无限趋近;00xx记作yox1xy112xy22左极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当右极限.)(,,0,000Axfxxx恒有时使当}0{}0{}0{:000xxxxxxxxx注意.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作.)0()(lim0)(000AxfAxfxxxx或记作23.)0()0()(lim:000AxfxfAxfxx定理.lim0不存在验证xxxxxxxxx00limlim左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在xfx例8证1)1(lim0xxxxxxx00limlim11lim0xyx11o24[注意]求分段函数的极限的方法就是计算它在指定点的左极限和右极限是否存在并且是否相等。例如：判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴⑵解：⑴∵，∴函数在指定点的极限不存在。⑵∵，∴函数在指定点的极限2,2,1xxxxy2x0,310,sinxxxxy0x3lim,2lim22yyxxyyxx22limlim0031lim,00sinlim00yyxxyyxx00limlim0lim0yx25例9讨论函数.112处的单侧极限在xx解因为,1||x),1(2)1()1(12xxxx.|01|2x.01lim21xx这就证明了.01lim21xx同理可证所以有时当,11x,2,02取26.)(lim)(lim00Axfxfxxxx）有定义，则（在设0)(xUxf定理:)(lim0的充要条件是Axfxx,1sgnlim,1sgnlim00xxxx由于xxsgnlim0所以不存在.特例27例10证明狄利克雷函数无理数，有理数xxxD0,1)(证001R,,.2xA对于任意的以及任意实数取处处无极限.,||00*xx,QR,21||,0*xA取若对于任意的满足28.21|||)(|0*AAxD**01||,Q,0||,2Axxx若取满足则.21|1||)(|0*AAxD这就证明了结论.则29.11时的变化趋势当考察xxy3、x→∞时,f(x)的极限⑴引例xy11yxO1如图可知，当|x|无限增大时，f(x)无限接近于1,即x→∞时,f(x)→1。问题1：y=f(x)在x→∞的过程中,对应函数值f(x)无限接近于确定值A。;)()(任意小表示AxfAxf.的过程表示xXx问题2:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.30①如果对于任意给定的正数ε，总存在着正数X，使得当|x|X时，恒有|f(x)-A|ε成立，则称x趋于无穷大时函数f(x)以A为极限。记为：⑵定义).()()(limxAxfAxfx或②“εX”定义.|)(|,||,0,0)(limAxfXxXAxfx有时当③x→+∞及x→-∞情形.|)(|,,0,0)(limAxfXxXAxfx有时当.|)(|,,0,0)(limAxfXxXAxfx有时当Axfx)(lim:定理.)(lim)(limAxfAxfxx且31④()AfxA有lim()xfxA的几何意义③xM使当时xAA①任意给定0M②存在MaAxyOa32x趋于例11函数,arctanxy当时,xyπ210203040O0.51为极限.以xarctanπ233例12.2arctanlimxx证明证任给),2(0).2tan(M取这就是说πlimarctan.2xx时，当Mx严格增，因为xarctanππ()arctan22fxxππ().2234证对于任意正数),10(,lnM取lnx当时这就是说例13求证lime0.xx.e0exx.0elimxx35例14求证.011lim2xx22110,1xx所以结论成立.,1M有时当,Mx证对于任意正数,可取36定理1(惟一性)证不妨设以及Axfxx)(lim0.)(lim0Bxfxx由极限的定义，对于任意的正数,,1存在正数,||0,102时当xx(1),2|)(|Axf,||020时当xx)(lim0xfxx存在,则此极限惟一.若0lim()xxfxA的基本性质4、37(2)式均成立，所以.|)(||)(|||BxfxfABA由的任意性，推得A=B.这就证明了极限是惟,||0,},min{021时当令xx(1)式与一的..2|)(|Bxf(2)38定理2（局部有界性）证时，当存在取||0,0,10xx.1|)(|Axf.1|||)(|Axf由此得,)(lim0Axfxx若上在)()(0xUxf,)(0xU则存在有界.这就证明了在某个空心邻域上有界.),(0xU)(xf39注：(1)试与数列极限的有界性定理作一(2)有界函数不一定存在极限；这上并不是有界的在但.)2,0(1,11lim)3(1xxx说明定理中“局部”这两个字是关键性的.比较；40定理3（局部保号性）若,)0(0)(lim0或Axfxx则对任何正数)(ArAr或使得存在,)(,0xU.)0)((0)(rxfrxf或.|)(|Axf.)(rAxf由此证得有对一切,)(0xUx有时，当存在||0,00xx证不妨设.对于任何取,rA0A(0,),rA