椭圆中最值问题

费县实验中学高二数学组教学目标目标：1.理解椭圆中的最值问题；2.掌握解决椭圆中的最值问题的方法.重点：椭圆中的最值问题；难点：椭圆中的最值问题。椭圆中的最值问题22221.P1(0)FPFxyabab设点是椭圆上的动点，是椭圆的一个焦点,则||的最大值为____,最小值为______.222212P1(0)FPFPxyabab122.设点是椭圆上的动点，F,F是椭圆的两焦点,则取得最大值时点的坐标为_______.acac(0,)b2222AB1(0)|AB|xyabab3.设弦过椭圆的焦点，则的最大值_____,为最小值为______.22221212P1(0),,________(,).xyababFFFPFab4.设点是椭圆上的动点，是椭圆的两焦点则的余弦值的最小值为用含有的式子表示2221ba2221ca212e2a22ba22221251(0)xyababPFF.椭圆的焦点三角形的最大面积为_____.22226.1(0),xyababABFABF过椭圆中心的直线交椭圆于两点，为椭圆的一个焦点，则面积的最大值为________.bcbc22221xyABCDab例5.设矩形内接于椭圆(0)ab，ABCD则矩形的最大面积为_______.DCBAoyx由椭圆及矩形的对称性可知:矩形的四个顶点关于坐标轴和原点对称.00AC(0)(,),ykxkAxy设方程为,222222202221,xyabxabakbykx由得：222000ABCD222444kabSxykxakb矩形22222222442.2abababbbakakkk.bka当且仅当时等号成立例6:已知椭圆x2+4y2=4,在椭圆上求一点P,使P到直线L:x-y+4=0的距离最小,并求最小值.loxyP离L最远离L最近思路分析：可先设出与L平行且与椭圆相切的直线方程.切线方程与椭圆方程联立,利用求出参数,再解方程组求切点P的坐标.02222yxm4()4,584(1)0.lyxmxxmxmxm解:设与平行的切线方程为，将=+代人椭圆方程得:化简得：205m0m5.L5.yx由与椭圆相切且与直线最近的直线方程为455m5()5510.2Pd当时,解方程组可得，，42从而可得最小距离为0xyB227.F1(2,2)259||||xyBMMFMB例已知为椭圆的左焦点,是其内一点,为椭圆上的动点,则的最大值为_____,最小值为_____.FF'F',|MF|+|MF'|=10.设椭圆的右焦点为则有|MF|+|MB|=10+|MB||MF'|，||MB||MF'|||BF'|=22由于，1022|MF|+|MB|10+22，10+221022