5-2-2-数的整除之四大判断法综合运用(二).教师版

5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）.题库教师版page1of61.了解整除的性质；2.运用整除的性质解题；3.整除性质的综合运用.一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2或5整除，这个数就能被2或5整除；一个数的末两位能被4或25整除，这个数就能被4或25整除；一个数的末三位能被8或125整除，这个数就能被8或125整除；2.一个位数数字和能被3整除，这个数就能被3整除；一个数各位数数字和能被9整除，这个数就能被9整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11整除，那么这个数能被11整除.4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除.5.如果一个数能被99整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99的倍数，这个数一定是99的倍数。【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质1如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除．即如果c︱a，c︱b，那么c︱(a±b)．性质2如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除．即如果b∣a，c∣b，那么c∣a．用同样的方法，我们还可以得出：性质3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除．即如果bc∣a，那么b∣a，c∣a．性质4如果数a能被数b整除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除．即如果b∣a，c∣a，且(b，c)=1，那么bc∣a．例如：如果3∣12，4∣12，且(3，4)=1，那么(3×4)∣12．性质5如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除．如果b｜a，那么bm｜am（m为非0整数）；性质6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除．如果b｜a，且d｜c，那知识点拨教学目标5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）.题库教师版page2of6么bd｜ac；模块一、11系列【例1】以多位数142857为例，说明被11整除的另一规律就是看奇数位数字之和与偶数位数字之和的差能否被11整除.【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】略【答案】142857110000041000021000810051071110000114199992100118199511171()()()()()11000014999921001899511418275()()因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被11整除，再根据整除性质1，要判断142857能否被11整除，只需判断418275487125()()能否被11整除，因此结论得到说明.【例2】试说明一个4位数，原序数与反序数的和一定是11的倍数(如：1236为原序数，那么它对应的反序数为6321，它们的和7557是11的倍数．【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】略【答案】设原序数为abcd，则反序数为dcba，则abcd＋dcba100010010100010010abcddcba()()10011101101001abcd1191101091abcd()，因为等式的右边能被11整除，所以abcddcba能被11整除【例3】一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.已知这两个4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9866；③9867；④9868；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【考点】整除之11系列【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】设这个4位数是abcd，则新的4位数是bcda.两个数的和为1001110011011abcdbcdaabcd,是11的倍数.在所给的5个数中只有9867是11的倍数，故正确的答案为9867．【答案】9867模块二、7、11、13系列【例4】以多位数142857314275为例，说明被7、11、13整除的规律.【考点】整除之7、11、13系列【难度】3星【题型】解答【【解解析析】】略【答案】142857314275142100000000085710000003141000275142(10000000011)857(9999991)314(10011)27514210000000011428579999998573141001314275(14210000000018579999993141001)(857142275314)因为根据整除性质1和铺垫知，等式右边第一个括号内的数能被7、11、13整除，再根据整除性质1，要判断142857314275能否被7、11、13整除，只需判断857142275314能否被7、11、13整除，因此结论得到说明.【例5】已知道六位数20279□是13的倍数，求□中的数字是几？【考点】整除之7、11、13系列【难度】2星【题型】填空例题精讲5-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）.题库教师版page3of6【【解解析析】】根据一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11或13整除，那么这个数能被7、11或13整除的特点知道：27920=7□□，7□是13的倍数，□是8的时候是13倍数，所以知道方格中填1。【答案】1【例6】三位数的百位、十位和个位的数字分别是5，a和b，将它连续重复写2008次成为：20095555abababab个.如果此数能被91整除，那么这个三位数5ab是多少？【考点】整除之7、11、13系列【难度】3星【题型】填空【【解解析析】】因为91713，所以20095555abababab个也是7和13的倍数，因为能被7和13整除的特点是末三位和前面数字的差是7和13的倍数，由此可知20085200755555555000ababababababababab个个也是7和13的倍数，即20075555abababab个也是7和13的倍数，依次类推可知20075555abababab个末三位和前面数字的差即为：20065200555555555000ababababababababab个个也是7和13的倍数，即20055555abababab个也是7和13的倍数，由此可知5ab也是7和13的倍数，百位是5能被7和13即91整除的数是：916546，所以46ab.【答案】546【例7】已知四十一位数555999□（其中5和9各有20个）能被7整除，那么中间方格内的数字是多少？【考点】整除之7、11、13系列【难度】4星【题型】填空【【解解析析】】我们知道abcabc这样的六位数一定能被7、11、13整除。原41位数中从高位数起共有20个5，从低位数起共有20个9，那么我们可以分别从低位和高位选出555555，和999999，从算式的结构上将就是进行加法的分拆，即：555555×10…00(35个0)+555555×10…00(29个0)+…+55□99+999999×10…00(12个0)+…+999999.这个算式的和就是原来的41位数，我们可以发现每一组含有555555或999999因数的部分都已经是7的倍数，唯独剩余55□99待定，那么只要令55□99是7的倍数即可，即只要□44是7的倍数即可，□应为6。【答案】6【【巩巩固固】】应当在如下的问号“？”的位置上填上哪一个数码，才能使得所得的整数5050666?555个6个5可被7整除？【考点】整除之7、11、13系列【难度】4星【题型】填空【【解解析析】】由于1111111111001可被7整除，因此如果将所得的数的头和尾各去掉48个数码，并不改变其对7的整除性，于是还剩下“6655？”．从中减去63035，并除以10，即得“32？”可被7整除.此时不难验证，具有此种形式的三位数中，只有322和392可被7整除．所以？处应填2或9.【答案】2或9【例8】88888ababababab是77的倍数，则ab最大为_________?【考点】整除之7、11、13系列【难度】4星【题型】填空【关键词】学而思杯，4年级，第9题【解析】8888881001001001001abababababab1001001001001既不是7的倍数，也不是11的倍数所以8ab是7和11的倍数7710770，77077847，84777924所以47ab【答案】475-2-2.数的整除之四大判断法综合运用（二）.题库教师版page4of6【例9】一个19位数997777044444个个能被13整除，求О内的数字．【考点】整除之7、11、13系列【难度】4星【题型】填空【【解解析析】】∵13|997777044444个个，∴13|977770444，∴13|7777770000000+7770444∵13|777777，∴13|7777770000000，∴13|7770444，∴13|7770444∵44413432，∴13|77702，∴设7770=77707770135979，∴013(92)6【答案】6【例10】称一个两头（首位与末尾）都是1的数为“两头蛇数”。一个四位数的“两头蛇数”去掉两头，得到一个两位数，它恰好是这个“两头蛇数”的约数。这个“两头蛇数”是。（写出所有可能）【考点】整除之7、11、13系列【难度】4星【题型】填空【关键词】走美杯，5年级，决赛，第9题，10分【解析】去掉头尾后的两位数必为1001的约数。1001的两位数的约数有11，13，77，91，所有可能的数为1111，1131，1771，1911。【答案】所有可能的数为1111，1131，1771，1911模块三、特殊的数字系列【例11】学生问数学老师的年龄老师说：“由三个相同数字组成的三位数除以这三个数字的和，所得结果就是我的年龄。”老师今年岁。【考点】整除之特殊的数字系列【难度】2星【题型】填空【关键词】走美杯，3年级，决赛，第10题，12分【解析】方法一：操作找规律，当这个三位数为111时，111(111)37，当这个三位数为222时，222(222)37，所以老师今年37岁。方法二，设而不求设这个三位数为aaa时，根据题意列出式子整理得到：111()37aaaa。【答案】37【例12】已知两个三位数abc与def的和abcdef能被37整除，试说明：六位数abcdef也能被37整除．【考点】整除之特殊的数字系列【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】略【答案】1000999()abcdefabcdefabcabcdef，因为999能被37整除，所以999abc能被37整除，而()abcdef也能被37整除，所以其和也能被37整除，即abcdef能被37整除．【例13】一个4位数，把它的千位数字移到右端构成一个新的4位数.再将新的4位数的千位数字移到右端构成一个更新的四位数，已知最新的4位数与最原先的4位数的和是以下5个数的一个：①9865；②9867；③9462；④9696；⑤9869.这两个4位数的和到底是多少?【考点】整除之特殊的数字系列【难度】2星【题型】解答【【解解析析】】设这个4位数是abcd，则最新的4位数是cdab.两个数的和为10101011010101abcdcdababcd,是101的倍数.在所给的5个数中只有9696是101的倍数，故正确的答案为9696.【答案】9696【例14】一个六位数各个数字都不相同，且这个数字能被17整除，则这个数最小是_______