3.4-线性方程组解的结构

3.4线性方程组解的结构当线性方程组有无穷多解时,能否用有限个解把无穷多个解全部表示出来，这就是我们将要讨论的线性方程组解的结构问题.一齐次线性方程组解的结构齐次线性方程组(6)表示为如果为齐次线性方程组(6)的解,则=称为方程组(6)的解向量,它也是矩阵方程的(7)的解.根据矩阵方程（7），我们来讨论解向量的性质。性质1若，为（7）的解，则也是（7）的解。证只要验证满足方程（7）：.即也是方程组(7)的解.证毕性质2若为（7）的解，为实数，则也是（7）的解.证.即也是方程组(7)的解.证毕性质3若为（7）的解,对于的任意一组常数,则其线性组合也是（7）的解.证==即线性组合也是方程组(7)的解.证毕从第二节齐次线性方程组的例题中可知,对于元齐次线性方程组,若,则有个自由未知量,这时无穷多解的一般表达式中含有个任意常数,它也可以表示为个线性无关的解向量与个任意常数的线性组合,这时我们称其为齐次线性方程组的全部解.当然,我们提到了一个概念“向量组的线性无关”性，可以理解为，对于方程组的求解方法，利用增广矩阵的初等行变换把增广矩阵转化为行最简型，可得同解方程组.对于,我们可得用向量表示的一般解形式,与含有个任意常数相乘的向量就是线性无关的解向量组.在上一节的例6中,系数矩阵的秩,而未知量的个数,则自由未知量的个数为,这时方程组无穷解的一般表达式中含2个任意常数,方程组解向量的一般表达式为:=其中,,,如果在解向量的一般表达式中令和可得解向量,则是线性无关的解向量组.依据上面的讨论,对于齐次线性方程组给出一个重要的概念.定义3.1已知齐次线性方程组有无穷多解,并且含有个自由未知量,若解向量的一般表达式为(为任意常数)则称向量为齐次线性方程组的一个基础解系.根据齐次线性方程组解的性质以及求解过程,我们可以判定齐次线性方程组解的基础解系不唯一,有无穷多组,但是它们含有解向量的个数不变,并且都等于自由未知量的个数.构成基础解系的解向量是线性无关的.从而可得齐次线性方程组解的重要定理.定理3.1元齐次线性方程组,若系数矩阵的秩则齐次线性方程组的基础解系含有个线性无关的解向量,方程组的全部解可以表示为个基础解系和个任意常数的线性组合.即那么齐次线性方程组的求解问题转化为求方程组的基础解系问题,而基础解系的求法就是求解线性方程组得到的一般表达式中,与任意常数作线性组合的向量组既是一个基础解系.在例7中,基础解系含一个解向量解向量为所给方程组的一个基础解系.在例6中,基础解系含有2个解向量,解向量与为所给方程组的一个基础解系.1.已知齐次线性方程组求方程组的全部解,并求出一组基础解系.解:对增广矩阵作初等行变换,化成简化的阶梯型矩阵,有于是,原方程组的同解方程组为即(为自由未知量)若令则上式可表示为(其中为任意常数)若令,则为原方程组的一个基础解系.原方程组的通解可表示为.二非齐次线性方程组解的结构设有非齐次线性方程组(6)通常把上式右端换成零向量所得到的齐次线性方程组(7)称为与非齐次线性方程组(1)相对应的齐次线性方程组.性质4设及都是方程组（6）的解，则为对应齐次方程(7)的解。证即是方程组（7）的解。性质5设是方程组（6）的解，是方程组（7）的解，则仍是方程组（6）的解。证即是方程组（6）的解。证毕由以上这两个性质即可以证明非齐次线性方程组解的结构定理.定理3.2设是非齐次线性方程组的一个解,是相应齐次线性方程组的基础解系,则方程组一般解为(8)其中为任意常数.证由性质1,性质3和性质5易知，是方程组的解,为证它是的一般解,只要证方程的任意一解都可以表示成的形式即可.设是的任意一解,已知也是的一个解,由性质4,是的解,又是齐次线性方程组的基础解系,故存在一组常数,使=即定理证毕.例3.求解方程组解:对增广矩阵作初等行变换,化成简化的阶梯型矩阵,有可见，故方程组有无穷多解，原方程组的同解方程组为:即(为自由未知量)令则方程组的解表示为向量形式:(其中为任意常数)其中,令,则为与原方程组相应的齐次线性方程组的一个基础解系,令,则为原方程组的一个特解.为把解表示得更清楚些，可把它写成.例4.求解方程组解:对增广矩阵作初等行变换,化成简化的阶梯型矩阵,有可见，故方程组无解.1.已知非齐次线性方程组求方程组对应的齐次方程组的基础解系,方程组的一般解.解:对增广矩阵作初等行变换,化成简化的阶梯型矩阵,有由于,所以方程组有无穷多解.原方程组的同解方程组整理为:亦即（为任意实数）或令，上式简化为，（）令则为对应的齐次方程组的一个基础解系;为非齐次方程组的一个特解;原方程组的一般解为视图就是观看工作的一种方式。为了便于设计者从不同的方式观看自己设计的幻灯片，PowerPoint提供了多种视图显示模式，可以帮助我们创建演示文稿，包括普通视图、大纲视图、幻灯片视图、幻灯片浏览视图、幻灯片放映视图和备注页视图六种不同的视图。每种视图各有所长，不同的视图方式适用于不同需要的场合。最常使用的两种视图是普通视图和幻灯片浏览视图。