12-随机信号的相关与功率谱估计(1)

2020/4/27大连理工大学12020/4/27大连理工大学1第12章随机信号的相关与功率谱估计大连理工大学硕士研究生校管课程信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部邱天爽2013年12月2020/4/27大连理工大学2内容概要•§12.1相关函数与功率谱密度函数•§12.2自相关序列的估计•§12.3功率谱估计的经典方法•§12.4功率谱估计的现代方法•§12.5信号的倒谱分析•§12.6相关与谱分析的应用2020/4/27大连理工大学3§12.1相关函数与功率谱密度函数2020/4/27大连理工大学4•相关函数的定义2020/4/27大连理工大学5•相关函数的定义（各态历经信号）2020/4/27大连理工大学6•相关函数的主要性质2020/4/27大连理工大学7•几种典型的自相关函数2020/4/27大连理工大学8•常用随机信号的自相关函数•白噪声的自相关函数2020/4/27大连理工大学9•AR(p)信号的自相关函数2020/4/27大连理工大学10•MA(q)信号的自相关函数2020/4/27大连理工大学11•ARMA(p,q)信号的自相关函数2020/4/27大连理工大学12•功率谱密度函数（定义）–功率谱密度（powerspectraldensity，简记为PSD）函数是表示具有有限平均功率信号的频谱分量的单位带宽功率的频率函数，是研究分析随机信号的重要特性。2020/4/27大连理工大学13•相关函数与功率谱密度函数的关系2020/4/27大连理工大学14§12.2自相关序列的估计2020/4/27大连理工大学15•估计的方差–估计的方差（variance）用来度量估计值与其数学期望之间的分散程度。即：–估计的方差越小，表示参数的估计值越集中在其真值或均值附近，即估计的分散性越小。•估计的均方误差–只有采用估计的均方误差，才能较全面地反映估计的质量。估计的均方误差是估计偏差的平方与估计方差之和。ˆˆ[]E22ˆˆˆˆVar[][([])]EE222ˆˆˆ[([])]()EEb2020/4/27大连理工大学16•估计的有效性–如果要比较同一参数的两个无偏估计的优劣，在样本容量相同的情况下，需要看哪一个无偏估计的方差更小。若满足则称为参数的有效估计，或称估计比估计更有效。12ˆˆVar[]Var[]1ˆ1ˆ2ˆ2020/4/27大连理工大学17•估计的一致性–如果当样本容量时，参数估计值无限接近其真值，即偏差和方差均趋于0，则该估计是一致估计。即满足条件的估计为一致估计。N2ˆlim[()]0NE2020/4/27大连理工大学18•自相关序列的无偏估计2020/4/27大连理工大学19•自相关序列的无偏估计（续）2020/4/27大连理工大学20•估计的性质•估计的偏差分析2020/4/27大连理工大学21•估计的均方值分析2020/4/27大连理工大学22•估计的均方值分析（续）2020/4/27大连理工大学23•估计的均方值分析（续2）2020/4/27大连理工大学24•自相关序列的有偏估计2020/4/27大连理工大学25•估计性质•估计的偏差分析2020/4/27大连理工大学26•估计的方差分析2020/4/27大连理工大学27•无偏与有偏估计的比较2020/4/27大连理工大学28•自相关序列的快速估计方法2020/4/27大连理工大学29•自相关序列的快速估计方法（续）2020/4/27大连理工大学30§12.3功率谱估计的经典方法2020/4/27大连理工大学31•功率谱的概念–功率谱（PSD）：是功率密度与频率的曲线关系。–功率谱估计：•是数字信号处理的主要内容之一；•主要研究信号在频域的各种特性；•目的是根据有限数据提供被噪声淹没的有用信号。2020/4/27大连理工大学32•功率谱估计的发展–牛顿（Newton，英）最先提出了“谱”的概念；–1882年，傅里叶（Fourier，法）提出了著名的傅里叶谐波分析理论；–19世纪，Schuster提出周期图（Periodogram）的概念，是最早的经典谱估计方法；–1927年，Yule提出用线性回归方程来模拟时间序列，成为现代谱估计中参数模型法估计功率谱的基础；–1930年，Wiener首次精确定义了随机过程自相关函数与功率谱的关系，Wiener—Khintchine定理；2020/4/27大连理工大学33•功率谱估计的发展（续）–1949年，Tukey提出了对有限长数据进行谱估计的自相关方法；–1958年，Blackman和Tukey给出了BT法；–1948年，Bartlett提出用自回归模型计算功率谱，打下了现代谱估计的基础；–1965年，Coolay和Tukey提出了FFT算法，促进了谱估计的发展。2020/4/27大连理工大学34•功率谱估计的发展（续2）–现代谱估计主要是针对经典谱估计的分辨率差和方差性能不好的问题而提出的。–现代谱估计从方法上大致可分为参数模型谱估计和非参数模型谱估计两种：•前者有AR模型、MA模型、ARMA模型、PRONY指数模型等；•后者有最小方差方法、多分量的MUSIC方法等。2020/4/27大连理工大学35•功率谱估计方法的分类与汇总–（见图12.1）2020/4/27大连理工大学36•周期图谱估计的概念–周期图（periodogram）是一种经典的功率谱密度估计方法。–周期图法的主要优点是能应用快速傅里叶变换算法来进行谱估计。–这种方法适用于长信号序列的情况，在有足够的序列长度时，应用改进的周期图法，可以得到较好的功率谱估值，因而应用很广。2020/4/27大连理工大学37•周期图谱估计方法2020/4/27大连理工大学38•【例12.1】【例12.1】2020/4/27大连理工大学39•周期图谱估计的性能•周期图谱估计的数学期望2020/4/27大连理工大学40•说明2020/4/27大连理工大学41•周期图谱估计的方差2020/4/27大连理工大学42•周期图谱估计的泄漏现象–在周期图谱估计中，对于长度为的有限长随机信号序列，可以看作由无限长随机信号序列经矩形窗截断而成的，即相当于无限长信号序列与窗函数的乘积。–对于这两个信号的乘积，其傅里叶变换为的形式。–因此，由有限长随机信号序列所得到的频谱等于该信号的理想频谱与窗函数频谱的卷积。–如果信号的真正功率集中在一个较窄的频带内，则该卷积运算将会把这个窄带的功率扩展到邻近的频段，这种现象称为频谱“泄漏”。NsinsinNff2020/4/27大连理工大学43•泄漏现象举例2020/4/27大连理工大学44•泄漏现象的危害–泄漏现象除了对频谱估计产生畸变以外，还对功率谱估计及正弦分量的可测性带来有害的影响。因为弱信号的主瓣很容易被强信号泄漏到邻近旁瓣的部分所淹没，从而造成谱估计的模糊与失真。–另外，卷积运算使信号主瓣变宽，其增加的宽度由窗的主瓣所决定。对于矩形窗信号序列，其傅里叶变换的主瓣宽度近似地等于观测时间的倒数。–因此，对于数据长度较短的观测信号，其功率谱估计的分辨率是不高的。2020/4/27大连理工大学45•举例：白噪声序列的周期图2020/4/27大连理工大学46•【例12.2】2020/4/27大连理工大学47•【例12.2】（续）2020/4/27大连理工大学48•改善周期图性能的方法•平均周期图法2020/4/27大连理工大学49•平均周期图法（续）2020/4/27大连理工大学50•窗函数法2020/4/27大连理工大学51•窗函数法（续）2020/4/27大连理工大学52•表12.1中各量的含义2020/4/27大连理工大学53•常用的窗函数曲线2020/4/27大连理工大学54•常用的窗函数曲线（续）2020/4/27大连理工大学55•修正周期图的平均：Welch法–Welch法对平均周期图法（即Bartlett法）进行了两点修正。–首先，将的分段方法进行了改进。它允许每一段的数据与其相邻的数据段有一定的交叠。例如，每一段数据重合一半时，数据的段数变为：–式中，为每段数据的长度，为数据的总长度。–第二，每一段的数据加窗可以不是矩形窗，例如使用汉宁窗或汉明窗。这样可以改善矩形窗旁瓣较大所引起的谱失真。/2/2NMKM()xnMN2020/4/27大连理工大学56•Welch法功率谱估计2020/4/27大连理工大学57•Welch法功率谱估计进一步讨论2020/4/27大连理工大学58•Welch法谱估计结果2020/4/27大连理工大学59•不同谱估计方法的比较2020/4/27大连理工大学60•各种经典谱估计法的主要计算公式2020/4/27大连理工大学61§12.4功率谱估计的现代方法2020/4/27大连理工大学62•经典谱估计存在的问题–这些方法谱估计的方差性能较差；–这些方法谱估计的分辨率较低；–这些方法存在一定的频谱泄漏问题2020/4/27大连理工大学63•存在上述缺点的原因–方差性能问题：主要是由于在实际进行功率谱估计运算中无法实现定义中的求均值和求极限等运算，从而引起一定的估计误差。–分辨率较差问题：主要是这些经典方法均假定数据窗或自相关函数窗以外的数据全为0，这是一种不合理的假定。–频谱泄漏问题：是由加窗所引起的固有的问题，不容易消除2020/4/27大连理工大学64•现代谱估计的概念–学术界将自20世纪60年代以来的以参数模型法和非参数模型法的功率谱估计称为现代谱估计方法，以区别于以傅里叶变换为基础、以周期图方法为核心的经典功率谱估计。–现代谱估计的内容非常丰富，主要包括AR模型法、MA模型法、ARMA模型法、PRONY指数模型法等参数模型法和最小方差法、多信号分类MUSIC法等非参数模型法。–近年来，又出现了高阶谱估计、多维谱估计和多通道谱估计等新理论新方法。其中双谱和三谱估计已经得到广泛的应用。2020/4/27大连理工大学65•现代谱估计的参数模型法–参数模型的概念：•对平稳随机过程（序列）建立准确的或近似的模型。•常用的参数模型为AR，MA，ARMA模型。–参数模型谱估计方法的思路：•先由数据序列估计信号模型，然后再由模型参数来估计功率谱。•优点：避免了加窗问题，从而避免了平滑和泄漏；分辨率较高；所需数据较短。–一般步骤：•选择一个合理的模型；根据已知观测数据估计模型参数；用估计得到的模型参数计算功率谱。2020/4/27大连理工大学66•AR模型谱估计方法（基本思路）2020/4/27大连理工大学67•AR模型谱估计2020/4/27大连理工大学68•AR模型谱估计（续）2020/4/27大连理工大学69•AR模型谱估计（续2）2020/4/27大连理工大学70•【例12.3】2020/4/27大连理工大学71•【例12.3】（续，曲线）2020/4/27大连理工大学72•AR谱估计的性能–稳定性；–平滑性；–高分辨率2020/4/27大连理工大学73•AR谱估计存在的问题–谱线分裂问题。即谱估计中本应该存在一条谱处出现了两个紧挨着的谱峰。–谱峰频率偏移问题。即估计得到的谱峰位置偏离了真实谱峰的位置。–噪声影响问题。若观测数据中含有噪声，AR谱估计的分辨率会下降，这是由于附加噪声使估计的谱峰加宽、平滑，并偏离真实谱峰。–为了解决上述问题，人们提出了许多解决方法，可以参阅有关文献。2020/4/27大连理工大学74•AR谱的例子：2020/4/27大连理工大学75•AR谱估计的性质–AR谱估计隐含着自相关函数的外推。对于自相关函数的外推，是AR谱具有高分辨率的根本原因。–AR谱与线性预测谱等效；–AR谱与最大熵谱估计（MESE）等效；–AR谱估计等效于最佳白化处理。2020/4/27大连理工大学76•最大熵谱估计（信息量与熵的概念）2020/4/27大连理工大学77•最大熵谱估计（思路）–最大熵谱估计（maximumentropyspectralestimation）方法是1967年由伯格提出的，是一种典型的现代谱估计方