2020/4/27大连理工大学12020/4/27大连理工大学1PartIV统计信号处理大连理工大学硕士研究生校管课程信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部邱天爽2013年11月2020/4/27大连理工大学22020/4/27大连理工大学2第11章随机信号分析基础大连理工大学硕士研究生校管课程信号处理与数据分析电子信息与电气工程学部邱天爽2013年11月2020/4/27大连理工大学3内容概要•§11.1随机变量的概念与特性•§11.2随机信号与随机过程•§11.3常见的随机信号与随机噪声•§11.4随机信号的统计分析方法2020/4/27大连理工大学4§11.1随机变量的概念与特性2020/4/27大连理工大学5•信号–连续性:连续信号----离散信号–周期性:周期信号----非周期信号–维数:一维信号----二维或多维信号–随机性•确定性信号:每个时间点上的值可用某个数学式或图表唯一确定。•随机信号:不能用一个确切的数学公式描述。而可以用起统计平均特性来表示。2020/4/27大连理工大学6•1.随机变量的概念–随机现象:在一定条件下,并不总是出现相同结果的现象称为随机现象。–随机事件:在随机试验中,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件。–随机变量(randomvariable):表示随机现象各种结果的变量(一切可能的样本点)。2020/4/27大连理工大学7•随机变量的进一步说明–举例1:随机投掷一枚硬币,可能的结果有正面朝上或反面朝上两种。若定义X为投掷一枚硬币时正面朝上的次数,则X为一随机变量。当正面朝上时,取值1,当反面朝上时,取值0。–举例2:掷一颗骰子,其所有可能的结果是出现1点、2点、3点、4点、5点和6点。若定义X为掷一颗骰子时出现的点数,则X为一随机变量。–举例3:某一时间内公共汽车站等车乘客人数,电话交换台在一定时间内收到的呼叫次数等等,都是随机变量的实例。2020/4/27大连理工大学8•随机变量的数学表示–若变量X的取值依随机试验的结果而定,则称变量X为随机变量。–严格地说,若设为随机试验,其样本空间为。如果对于每一个,有一个实数与之对应,则得到一个定义在上的实的单值函数,称为随机变量,简写为。通常,用大写字母等表示随机变量,而用小写字母来表示对应随机变量的可能取值。–若随机变量的取值是连续的,则称为连续型随机变量;若的全部可能取值是有限个或可列无限多个,则称为离散型随机变量。E}{ieSSei)(ieXS)(eXX)(eXXZYX,,zyx,,2020/4/27大连理工大学9•多维随机变量的概念2020/4/27大连理工大学10•2.随机变量的分布–概率分布函数2020/4/27大连理工大学11•概率分布函数的性质2020/4/27大连理工大学12•概率密度函数2020/4/27大连理工大学13•概率密度函数与概率分布函数举例2020/4/27大连理工大学14•多维随机变量及其分布•多维随机变量的性质(自行阅读)2020/4/27大连理工大学15•3.随机变量的数字特征–数学期望(Mathematicalexpectation)–方差(Variance)–标准差(Standarddeviation)–协方差与相关系数(Covariance,Correlation)–矩与协方差矩阵(Moment)2020/4/27大连理工大学16•随机变量的数学期望–数学期望(mathematicalexpectation)又称为统计平均或均值(mean),用于描述随机变量的集总特性。对于连续随机变量,其数学期望为–对于离散随机变量:–在许多情况下,随机变量的数学期望常记为或。XXXm[]()dEXxfxx11[]()iiiiiiEXxPXxxP2020/4/27大连理工大学17•数学期望的性质2020/4/27大连理工大学18•随机变量的方差与标准差2020/4/27大连理工大学19•方差的主要性质2020/4/27大连理工大学20•数学期望与方差的曲线表示–随机变量数学期望的不同表现为其概率密度曲线在横轴上的平移,而方差的不同则表现为概率密度曲线在数学期望附近的集中程度。2020/4/27大连理工大学21•协方差与相关系数2020/4/27大连理工大学22•矩与协方差矩阵2020/4/27大连理工大学23•4.随机变量的特征函数•特征函数的定义2020/4/27大连理工大学24•特征函数与概率密度函数和矩函数的关系2020/4/27大连理工大学25§11.2随机信号与随机过程2020/4/27大连理工大学26•概念–有些随机变量会随着某些参数变化,是某些参数的函数,通常称为随机函数。在生物特医学信号分析与处理领域中,经常遇到的是以时间作为参变量的随机函数,在数学上称其为随机过程(stochasticprocess,或randomprocess)。–在工程技术中,通常使用随机信号(stochasticsignal,或randomsignal)的概念。所谓随机信号,是指信号中至少有一个参数(例如幅度)属于随机函数的一类信号。例如测量仪器中电子元器件的热噪声是一种典型的随机信号。2020/4/27大连理工大学27•随机信号的定义–设随机试验的样本空间,如果对于空间的每一个样本,总有一个时间函数与之对应。这样,对于样本空间的所有样本,有一族时间函数与其对应,这族时间函数定义为随机过程。在工程上常称为随机信号。–随机过程是一族时间函数的集合,随机过程的每个样本函数是一个确定的时间函数,而整个一族时间函数的集合就是随机过程,用来表示。}{ieSSeiTtetXi),,(Se),(etX)(tx)(tX2020/4/27大连理工大学28•随机信号的图示2020/4/27大连理工大学29•更多的随机信号举例2020/4/27大连理工大学30•参数选择与随机信号的关系2020/4/27大连理工大学31•随机信号的性质–随机信号中任意一点上的取值都不能先验确定•任何具体实验所得到的序列,都只能是随机序列的一个样本序列。–随机信号可以用它的统计平均特性来表示:•均值,方差,相关函数,……2020/4/27大连理工大学32•随机过程(随机信号)的两个变量2020/4/27大连理工大学33•随机过程/随机信号的概率分布与密度函数–随机过程/信号的一维分布函数和概率密度函数定义为:)(tX2020/4/27大连理工大学34•随机过程/信号的数字特征(1)–随机过程的数学期望:是随机过程在时刻的统计平均,是一个确定性的时间函数:–随机过程的方差:描述随机过程所有样本函数相对于数学期望的分散程度:–称为随机过程的标准差(或称为标准离差)txtxxftXEtXXd),()]([)(xtxftxtXDtXXXd),()]([)]([)(22)(tX2020/4/27大连理工大学35•随机过程/信号的数字特征(2)–实随机过程的自相关函数:–随机过程和的互相关函数:–随机过程的自协方差函数和互协方差函数:212121212121dd),;,()]()([),(xxttxxfxxtXtXEttRXX)(tX)(tYyxttyxxyftYtXEttRXYXYdd),;,()]()([),(2121212121212211221121dd),;,()]()][([)]}()()][()({[),(xxttxxftxtxttXttXEttCXXXXXXyxttyxftytxttYttXEttCXYYXYXXYdd),;,()]()][([)]}()()][()({[),(21212211212020/4/27大连理工大学36•随机信号的平稳性分类–随机信号根据其统计特性的时变特性,可以分为2类:–平稳随机信号(stationaryrandomsignal);•严平稳(strictly-sensestationary)随机信号;•宽平稳(Wide-sensestationary)随机信号(即广义平稳随机信号)–非平稳随机信号(non-stationaryrandomsignal)2020/4/27大连理工大学37•严平稳随机信号的定义2020/4/27大连理工大学38•严平稳随机信号的性质–严平稳随机信号的一维概率密度与时间无关。–严平稳随机信号的二维概率密度只与两个时刻与的间隔有关,而与时间的起始点无关。1t2t2020/4/27大连理工大学39•宽平稳(广义平稳)随机信号的定义–如果随机过程(随机信号)满足下述条件:–则为宽平稳随机过程(随机信号)或广义平稳随机过程(随机信号)。211[()]()[()]()[()()][()()]XXXEXttEXtREXtXtEXttXtt)(tX2020/4/27大连理工大学40•联合广义平稳随机信号的概念–当两个随机信号和分别为广义平稳时,若它们的互相关函数满足–则二者为联合广义平稳的。)(tX)(tY)]()([)(tYtXERXY2020/4/27大连理工大学41•离散随机序列的广义平稳性–广义平稳的离散时间随机信号具有以下特性:)(nX2020/4/27大连理工大学42•各态历经性–对于平稳随机信号或,若其所有样本函数在某一固定时刻的一阶和二阶统计特性与单一样本函数在长时间内的统计特性一致,则称或为各态历经信号,又称为各态遍历信号。–各态历经的含义是,单一样本函数随时间变化的过程可以包括该信号所有样本函数的取值经历。)(tX)(nX)(tX)(nX2020/4/27大连理工大学43•各态历经信号的数字特征–设为各态历经信号的一个样本函数,则有:–式中,表示集总平均,而则表示对中某一样本函数取时间平均。对于各态历经的离散随机信号–)(tx)(tXxTTTXttxTtxtXEd)(21lim)()]([TTxTXRttxtxTRtXtXE)(d)()(21lim)()]()([][E)(tx)(tX)(nXxMMnMXnxMnxnXE)(121lim)()]([MMnxMXmRmnxnxMmRmnXnXE)()()(121lim)()]()([2020/4/27大连理工大学44•各态历经性的定义2020/4/27大连理工大学45•非平稳随机信号–从应用的角度来说,生物医学信号一般为非平稳随机信号。–任何既不属于严平稳又不属于广义平稳的随机信号,称为非平稳随机信号。–如果用统计量来叙述,若随机信号的某阶统计量随时间变化,则该随机信号为非平稳随机信号。–最常见的非平稳随机信号是均值、方差、自相关函数与功率谱密度随时间变化的信号。2020/4/27大连理工大学46•非平稳随机信号的概率特性与数字特性2020/4/27大连理工大学47•非平稳随机信号示意图2020/4/27大连理工大学48§11.3常见的随机信号与随机噪声2020/4/27大连理工大学49•高斯分布随机信号•维概率密度函数和维特征函数nn12121/2/21111(,,,;,,,)exp[()()]2(2π)ijnnXnniXjXijnijfxxxtttxxCCC12121111(,,,;,,,)exp(j)2innnXnniXijijiijuuutttuCuu2020/4/27大连理工大学50•说明2020/4/27大连理工大学51•概率密度与特征函数的矩阵形式2020/4/27大连理工大学52•关于高斯信号的进一步说明–高斯信号是最常用的随机信号模型之一。–只要知道信号的均值矢量和协方差矩阵,任意阶数的概率密度函数均可以解析地表示出来。–若高斯过程是宽平稳的,则其一定是严平稳的。–若高斯过程的各随机变量是不相关的,则其一定是统计独立的。