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1第1章习题解答1．1除（3），（4），（5），（11）外全是命题，其中，（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）是简单命题，（6），（7），（12），（13）是复合命题。分析首先应注意到，命题是陈述句，因而不是陈述句的句子都不是命题。本题中，（3）为疑问句，（5）为感叹句，（11）为祈使句，它们都不是陈述句，所以它们都不是命题。其次，（4）这个句子是陈述句，但它表示的判断结果是不确定。又因为（1），（2），（8），（9），（10），（14），（15）都是简单的陈述句，因而作为命题，它们都是简单命题。（6）和（7）各为由联结词“当且仅当”联结起来的复合命题，（12）是由联结词“或”联结的复合命题，而（13）是由联结词“且”联结起来的复合命题。这里的“且”为“合取”联结词。在日常生活中，合取联结词有许多表述法，例如，“虽然……，但是……”、“不仅……，而且……”、“一面……，一面……”、“……和……”、“……与……”等。但要注意，有时“和”或“与”联结的是主语，构成简单命题。例如，（14）、（15）中的“与”与“和”是联结的主语，这两个命题均为简单命题，而不是复合命题，希望读者在遇到“和”或“与”出现的命题时，要根据命题所陈述的含义加以区分。1．2（1）2:p是无理数，p为真命题。（2）5:p能被2整除，p为假命题。（6）qp→。其中，2:p是素数，q：三角形有三条边。由于p与q都是真命题，因而qp→为假命题。（7）qp→，其中，p：雪是黑色的，q：太阳从东方升起。由于p为假命题，q为真命题，因而qp→为假命题。（8）2000:p年10月1日天气晴好，今日（1999年2月13日）我们还不知道p的真假，但p的真值是确定的（客观存在的），只是现在不知道而已。（9）p：太阳系外的星球上的生物。它的真值情况而定，是确定的。2（10）p：小李在宿舍里.p的真值则具体情况而定，是确定的。（12）qp∨，其中，4:p是偶数，4:q是奇数。由于q是假命题，所以，q为假命题，qp∨为真命题。（13）qp∨，其中，4:p是偶数，4:q是奇数，由于q是假命题，所以，qp∨为假命题。（14）p：李明与王华是同学，真值由具体情况而定（是确定的）。（15）p：蓝色和黄色可以调配成绿色。这是真命题。分析命题的真值是唯一确定的，有些命题的真值我们立即可知，有些则不能马上知道，但它们的真值不会变化，是客观存在的。1．3令,633:,422:=+=+qp则以下命题分别符号化为（1）qp→（2）qp¬→（3）qp→¬（4）qp¬→¬（5）qp↔（6）qp¬↔（7）qp→¬（8）qp¬↔¬以上命题中，（1），（3），（4），（5），（8）为真命题，其余均为假命题。分析本题要求读者记住qp→及qp↔的真值情况。qp→为假当且仅当p为真,q为假,而qp↔为真当且仅当p与q真值相同.由于p与q都是真命题，在4个蕴含式中，只有（2）rp→，其中，p同（1），r：明天为3号。在这里，当p为真时，r一定为假，rp→为假，当p为假时，无论r为真还是为假，rp→为真。31．5（1）qp∧，其中，p：2是偶数，q：2是素数。此命题为真命题。（2）qp∧，其中，p：小王聪明，q：小王用功（3）qp∧，其中，p：天气冷，q：老王来了（4）qp∧，其中，p：他吃饭，q：他看电视（5）qp∧，其中，p：天下大雨，q：他乘公共汽车上班（6）qp→，其中，p，q的含义同（5）（7）qp→，其中，p，q的含义同（5）（8）qp¬↔¬，其中，p：经一事，q：长一智分析1°在前4个复合命题中，都使用了合取联结词，都符号化为合取式，这正说明合取联结词在使用时是很灵活的。在符号化时，应该注意，不要将联结词部分放入简单命题中。例如，在（2）中，不能这样写简单命题：p：小王不但聪明，q：小王而且用功。在（4）中不能这样写：p：他一边吃饭，q：他一边看电视。2°后4个复合命题中，都使用了蕴含联结词，符号化为蕴含式，在这里，关键问题是要分清蕴含式的前件和后件。qp→所表达的基本逻辑关系为，p是q的充公条件，或者说q是p的必要条件，这种逻辑关系在叙述上也是很灵活的。例如，“因为p，所以q”，“只要p，就q”“p仅当q”“只有q才p”“除非q，否则p¬”“没有q，就没有p”等都表达了q是p的必要条件，因而都符号化为qp→或qp¬↔¬的蕴含式。在（5）中，q是p的必要条件，因而符号化为qp→，而在（6）（7）中，p成了q的必要条件，因而符号化为pq→。在（8）中，虽然没有出现联结词，但因两个命题的因果关系可知，应该符号化为蕴含式。1．6（1），（2）的真值为0，（3），（4）的真值为1。分析1°（1）中公式含3个命题变项，因而它应该有823=个赋值：000，4001，…，111题中指派p,q为0,r为1，于是就是考查001是该公式)(rqp∧∧的成真赋值，还是成假赋值，易知001是它的成假赋值。2°在公式（2），（3），（4）中均含4个命题就项，因而共有1624=个赋值：0000，0001，…，1111。现在考查0011是它的成假赋值。1.7（1），（2），（4），（9）均为重言式，（3），（7）为矛盾式，（5），（6），（8），（10）为非重言式的可满足式。一般说来，可用真值表法、等值演算法、主析取范式（主合取范式）法等判断公式的类型。（1）对（1）采用两种方法判断它是重言式。真值表法表1.2给出了（1）中公式的真值表，由于真值表的昀后一列全为1，所以，（1）为重言式。pqrrqp∨∨)(rqpp∨∨→0000100111010110111110011101111101111111等值演算法)(rqpp∨∨→)(rppp∨∨∨¬⇔（蕴含等值式）rppp∨∨∨¬⇔)(（结合律）rq∨∨⇔1（排中律）1⇔（零律）5由昀后一步可知，（1）为重言式。（2）用等值演算法判（2）为重言式。ppp¬→¬→)(pp¬→¬∨¬⇔)(（蕴含等值式）pp¬∨¬⇔（等幂律）pp¬∨⇔（蕴含等值式）1⇔（排中律）（3）用等值演算法判（3）为矛盾式qqp∧→¬)(qqp∧∨¬¬⇔)(（蕴含等值式）qqp∧¬∨⇔（德·摩根律）)(qqp∧¬∨⇔（结合律）0∧⇔p（矛盾律）0⇔（零律）由昀后一步可知，（3）为矛盾式。（5）用两种方法判（5）为非重言式的可满足式。真值表法pqp¬qp→¬pq¬→)()(pqqp¬→→→¬001011011111100111110100由表1.3可知（5）为非重言式的可满足式。主析取范式法)()(pqqp¬→→→¬)()(pqqp¬∨¬→∨⇔6)()(pqqp¬∨¬∨∨¬⇔pqqp¬∨¬∨¬∨¬⇔)(qp¬∨¬⇔)1()1(qp¬∧∨∧¬⇔))(()((qppqqp¬∧∨¬∨∨¬∧¬⇔)()()()(qpqpqpqp¬∨∨¬∧¬∨∨¬∨¬∧¬⇔)()()(qpqpqp¬∧¬∨∨¬∨¬∧¬⇔210mmm∨∨⇔.在（3）的主析取范式中不含全部（4个）极小项，所以（3）为非重言式的可满足式，请读者在以上演算每一步的后面，填上所用基本的等值式。其余各式的类型，请读者自己验证。分析o1真值表法判断公式的类别是万能。公式A为重言式当且仅当A的真值表的昀后一旬全为1；A为矛盾式当且仅当A的真值表的昀后一列全为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的真值表昀后一列至少有一个1，又至少有一个0。真值表法不易出错，但当命题变项较多时，真值表的行数较多。o2用等值演算法判断重言式与矛盾式比较方例，A为重言式当且仅当A与1等值；A为矛盾式当且仅当A与0等值，当A为非重言式的可满足式时，经过等值演算可将A化简，然后用观察法找到一个成真赋值，再找到一个成假赋值，就可判断A为非重言式的可满足式了。例如，对（6）用等值演算判断它的类型。qpp↔¬∧)(q↔⇔0（矛盾律）)0()(→∧→⇔qqp（等价等值式）)0()0(∨¬∧∨¬⇔qq（蕴含等值式）qq¬∧∨⇔)1(（同一律）q¬∧⇔1（零律）7q¬⇔（同一律）到昀后一步已将公式化得很简单。由此可知，无论p取0或1值，只要q取0值，原公式取值为1，即00或10都为原公式的成真赋值，而01，11为成假赋值，于是公式为非重言式的可满足式。用主析取范式判断公式的类型也是万能的。A为重言式当且仅当A的主析取范式含n2（n为A中所含命题变项的个数）个极小项；A为矛盾式当且仅当A的主析取范式中不含任何极小项，记它的主析取范式为0；A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含极小项，但不是完全的。当命题变项较多时，用主析取范式法判公式的类型，运算量是很大的。用主合取范式判断公式的类型也是万能的。A为重言式当且仅当A的主合取范式中不含任何极大项，此时记A的主合取范式为1；A为矛盾式当且仅当A的主合取范式含n2个极大项（n为A中含的命题变项的个数）；A为非重言式的可满足式当且仅当A的主析取范式中含含极大项，但不是全部的。1.8（1）从左边开始演算)()(qpqp¬∧∨∧)(qqp¬∨∧⇔（分配律）1∧⇔p（排中律）.p⇔（同一律）（2）从右边开始演算)(rqp∧→)(rqp∧∨¬⇔（蕴含等值式）)()(rpqp∨¬∧∨¬⇔（分配律）).()(rpqp→∧→⇔（蕴含等值式）（3）从左边开始演算)(qp↔¬8))()((pqqp→∧→⇔))()((qpqp∨¬∨∨¬¬⇔))()()()((qpqqpqp∧∨¬∧∨∧¬∨∧¬¬⇔))()((qpqp∧∨¬∧¬¬⇔).()(qpqp∧¬∧∨⇔请读者填上每步所用的基本等值式。本题也可以从右边开始演算)()(qpqp∧¬∧∨)()((qpqp∧¬∧∨¬¬⇔))()((qpqp∧¬¬∨∨¬¬⇔))()((qpqp∧∨¬∨¬¬⇔))()()()((qqpqqpqp∨¬∧∨¬∧∨¬∧∧¬¬⇔1)()1(∧∨¬∧∨∧¬⇔pqqp))()((pqqp→∧→¬⇔).(qp↔¬⇔读者填上每步所用的基本的等值式。1.9（1）))((pqp→∧¬pqp∨∧¬¬⇔)((（蕴含等值式）))((pqp∨∧¬¬⇔（德·摩根律）pqp¬∧∧⇔（结合律、交换律）qpp∧¬∧⇔)(（矛盾式）.0⇔（零律）9由昀后一步可知该公式为矛盾式。（2）)())()((qppqqp↔→→∧→))((pqp∨∧¬¬⇔（蕴含等值式）由于较高层次等价号两边的公式相同，因而此公式无成假赋值，所以，它为重言式。（3）)()(pqqp¬→→→¬)()(pqqp¬∨¬→∨⇔（蕴含等值式）)()(pqqp¬∨¬∨∨¬⇔（蕴含等值式）pqqp¬∨¬∨∧¬⇔)(（德·摩根律）pq¬∨¬⇔（吸收律）.qp¬∨¬⇔（交换律）由昀后一步容易观察到，11为该公式成假赋值，因而它不是重言式，又00，01，10为成真赋值，因而它不是矛盾式，它是非重言式的可满足式。1.10题中给出的F，G，H，R都是2元真值函数。给出的5个联结词集都是全功能集，可以用观察法或等值演算法寻找与真值函数等值的公式。首先寻找在各联结词集中与F等值的公式。（1）设)(qpA→¬=，易知A是},{→¬中公式且与F等值，即.AF⇔（2）设qpB¬∧=，易知B是},{∧¬中公式且与F等值，即.BF⇔（3）设)(qpC∨¬¬=，易知C是},{∧¬中公式，且.CF⇔（4）设))(())((qqpqqpD↑↑↑↑↑=，易知D为}{↑中公式，且.DF⇔（5）设qppE↓↓=)(，易知E为}{↓中公式，且.EF⇔分析°1只要找到一个联结词集中与F等值的公式，经过等值演算就可以找出其他联结词集中与F等值的公式。例如，已知)(qpA→¬=是},{→¬公式，且AF⇔。进行以下演算，就可以找到F等值的其他联结词集中的公式。对A进行等值演算，消去联结词→，用¬，∧取代，得10)(qpA→¬=)(qp∨¬¬⇔.Bqp记为¬∧⇔则B为},{∧¬中公式，且BF⇔。再对A进行等值演算，消去→，用¬，∧取代，得)(qpA→¬=.)(Cqp记为∨¬¬⇔则C为},{∧¬中公式，且CF⇔。再对B进行演算，消去¬，→，用↑取代，在演算中，注意，对于任意的公式A，有.)(AAAAA↑⇔∧¬