专题55：动态型问题

『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第1页共137页欢迎下载教学资料2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题55：动态型问题一、选择题1.（2012安徽省4分）如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB=60°，设OP=x，则△PAB的面积y关于x的函数图像大致是【】【答案】D。【考点】动点问题的函数图象，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】利用AB与⊙O相切，△BAP是直角三角形，把直角三角形的直角边表示出来，从而用x表示出三角形的面积，根据函数解析式确定函数的图象：∵AB与⊙O相切，∴∠BAP=90°，∵OP=x，AP=2－x，∠BPA=60°，∴AB=3(2x)，∴△APB的面积23y(2x)2，（0≤x≤2）。∴△PAB的面积y关于x的函数图像是经过（2，0）的抛物线在0≤x≤2的部分。故选D。2.（2012浙江嘉兴、舟山4分）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y关于x的函数图象大致是【】A．B．C．D．『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第2页共137页欢迎下载教学资料【答案】D。【考点】动点问题的函数图象。【分析】因为动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，因此，y关于x的函数图象分为四部分：A→B，B→D，D→C，C→A。当动点P在A→B上时，函数y随x的增大而增大，且y=x，四个图象均正确。当动点P在B→D上时，函数y在动点P位于BD中点时最小，且在中点两侧是对称的，故选项B错误。当动点P在D→C上时，函数y随x的增大而增大，故选项A，C错误。当动点P在C→A上时，函数y随x的增大而减小。故选项D正确。故选D。3.（2012浙江温州4分）如图，在△ABC中，∠C=90°，M是AB的中点，动点P从点A出发，沿AC方向匀速运动到终点C,动点Q从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B.已知P，Q两点同时出发，并同时到达终点.连结MP，MQ，PQ.在整个运动过程中，△MPQ的面积大小变化情况是【】A.一直增大B.一直减小C.先减小后增大D.先增大后减小【答案】C。【考点】动点问题的函数图象。【分析】如图所示，连接CM，∵M是AB的中点，∴S△ACM=S△BCM=12S△ABC，开始时，S△MPQ=S△ACM=12S△ABC；由于P，Q两点同时出发，并同时到达终点，从而点P到达AC的中点时，点Q也到达BC的中点，此时，S△MPQ=14S△ABC；结束时，S△MPQ=S△BCM=12S△ABC。△MPQ的面积大小变化情况是：先减小后增大。故选C。4.（2012江苏无锡3分）如图，以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，P是⊙M上异于A．B的一动点，直线PA．PB分别交y轴于C．D，以CD为直径的⊙N与x轴交于E、F，则EF的长【】『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第3页共137页欢迎下载教学资料A．等于4B．等于4C．等于6D．随P点【答案】C。【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理。【分析】连接NE，设圆N半径为r，ON=x，则OD=r﹣x，OC=r+x，∵以M（﹣5，0）为圆心、4为半径的圆与x轴交于A．B两点，∴OA=4+5=9，0B=5﹣4=1。∵AB是⊙M的直径，∴∠APB=90°。∵∠BOD=90°，∴∠PAB+∠PBA=90°，∠ODB+∠OBD=90°。∵∠PBA=∠OBD，∴∠PAB=∠ODB。∵∠APB=∠BOD=90°，∴△OBD∽△OCA。∴OCOD=OBOA，即r+x9=1rx，即r2﹣x2=9。由垂径定理得：OE=OF，由勾股定理得：OE2=EN2﹣ON2=r2﹣x2=9。∴OE=OF=3，∴EF=2OE=6。故选C。5.（2012湖北黄冈3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=6cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒2cm的速度向终点B运动；同时，动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，将△PQC沿BC翻折，点P的对应点为点P′.设Q点运动的时间t秒，若四边形QPCP′为菱形，则t的值为【】A.2B.2C.22D.4【答案】B。【考点】动点问题，等腰直角三角形的性质，翻折对称的性质，菱形的性质，矩形。『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第4页共137页欢迎下载教学资料【分析】如图，过点P作PD⊥AC于点D，连接PP′。由题意知，点P、P′关于BC对称，∴BC垂直平分PP′。∴QP=QP′，PE=P′E。∴根据菱形的性质，若四边形QPCP′是菱形则CE=QE。∵∠C=90°，AC=BC，∴∠A=450。∵AP=2t，∴PD=t。易得，四边形PDCE是矩形，∴CE=PD=t，即CE=QE=t。又BQ=t，BC=6，∴3t=6，即t=2。∴若四边形QPCP′为菱形，则t的值为2。故选B。6.（2012四川攀枝花3分）如图，直角梯形AOCD的边OC在x轴上，O为坐标原点，CD垂直于x轴，D（5，4），AD=2．若动点E、F同时从点O出发，E点沿折线OA→AD→DC运动，到达C点时停止；F点沿OC运动，到达C点是停止，它们运动的速度都是每秒1个单位长度．设E运动秒x时，△EOF的面积为y（平方单位），则y关于x的函数图象大致为【】A．B．C．D．【答案】C。【考点】动点问题的函数图象，勾股定理，相似三角形的判定和性质，抛物线和直线的性质。【分析】如图，过点A作AG⊥OC于点G。∵D（5，4），AD=2，∴OC=5，CD=4，OG=3。∴根据勾股定理，得OA=5。∵点E、F的运动的速度都是每秒1个单位长度，∴点E运动x秒（x＜5）时，OE=OF=x。∴当点E在OA上运动时，点F在OC上运动，当点E在AD和DC上运动时，点F在点C停止。（1）当点E在OA上运动，点F在OC上运动时，如图，作EH⊥OC于点H。『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第5页共137页欢迎下载教学资料∴EH∥AG。∴△EHO∽△AGO。∴EHOEAGOA，即EHx45。∴4EHx5。∴2EOF1142y=SOFEHxxx2255。此时，y关于x的函数图象是开口向上的抛物线。故选项A．B选项错误。（2）当点E在AD上运动，点F在点C停止时，△EOF的面积不变。∴EOF111y=SOFEHOCAG5410222。（3）当点E在DC上运动，点F在点C停止时，如图。EF=OA＋AD＋DC﹣x=11﹣x，OC=5。∴EOF11555y=SOCEF511xx+2222。此时，y关于x的函数图象是直线。故选项D选项错误，选项C正确。故选C。7.（2012四川内江3分）如图，正△ABC的边长为3cm,动点P从点A出发，以每秒1cm的速度，沿ABC的方向运动，到达点C时停止，设运动时间为x（秒），2yPC,则y关于x的函数的图像大致为【】A.B.C.D.【答案】C。【考点】动点问题的函数图象，正三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，勾股定理。【分析】如图，过点C作CD垂直AB于点D，则∵正△ABC的边长为3，∴∠A=∠B=∠C=60°，AC=3。∴AD=32，CD=332。①当0≤x≤3时，即点P在线段AB上时，AP=x，PD=3x2（0≤x≤3）。∴222233yPC3+xx3x+922（0≤x≤3）。∴该函数图象在0≤x≤3上是开口向上的抛物线。②当3＜x≤6时，即点P在线段BC上时，PC=（6－x）（3＜x≤6）；『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第6页共137页欢迎下载教学资料∴y=（6－x）2=（x-6）2（3＜x≤6），∴该函数的图象在3＜x≤6上是开口向上的抛物线。综上所述，该函数为22x3x+90x3yx63x6（）（）（）。符合此条件的图象为C。故选C。8.（2012四川广元3分）如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线yx上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为【】A.（0，0）B.（21，21）C.（22，22）D.（22，22）【答案】B。【考点】一次函数的性质，垂线段最短的性质，等腰直角三角形的判定和性质。【分析】如图，过点A作AB′⊥OB，垂足为点B′，过B′作B′C⊥x轴，垂足为C。由垂线段最短可知，当B′与点B重合时AB最短。∵点B在直线y=x上运动，∴△AOB′是等腰直角三角形。∴△B′CO为等腰直角三角形。∵点A的坐标为（-1，0），∴OC=CB′=12OA=12×1=12。∴B′坐标为（－12，－12）。∴当线段AB最短时，点B的坐标为（－12，－12）。故选B。9.（2012四川巴中3分）如图，点P是等边△ABC的边上的一个作匀速运动的动点，其由点A开始沿AB边运动到B，再沿BC边运动到C为止，设运动时间为t，△ACP的面积为S，则S与t的大致图象是【】【答案】C。『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第7页共137页欢迎下载教学资料【考点】动点问题的函数图象，正三角形的性质。【分析】设等边三角形的边长为a，高为3h=a2，点P的运动速度为v，根据等边三角形的性质可得出点P在AB上运动时△ACP的面积为13avS=vth=t24，也可得出点P在BC上运动时△ACP1的面积为2133av3aS=2avta=t+2242。可见，△ACP的面积S都是关于t的一次函数关系式。如图，根据正三角形轴对称的性质，当AP=AP1时，两三角形全等，它们是关于BD（AC边上的中线）对称的，其中当点P与点B重合时面积最大。∴点P在在AB上运动和在BC上运动得到的三角形是对称的。故选C。10.（2012四川乐山3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确结论的个数是【】A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B。【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】①连接CD（如图1）。∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。∴△DFE是等腰直角三角形。『激活中考』教学网[]做出我们的精彩『激活中考』教学网版权所有第8页共137页欢迎下载教学资料故此结论正确。②当E、F分别为AC、BC中点时，∵由三角形中位线定理，DE平行且等于12BC。∴四边形CEDF是平行四边形。又∵E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，∴四边形CEDF是菱形。又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是正方形。故此结论错误。③如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，由②，知四边形CMDN是正方形，∴DM=DN。由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。∴四边形CEDF的面积不