二向应力状态分析--解析法和图解法

TSINGHUAUNIVERSITY自学§7-4二向应力状态分析-图解法一、写出应力圆方程二、应力圆的画法三、应力圆的应用四、几种特殊应力状态的应力圆自学提纲1：单向拉伸应力状态的应力圆2：纯剪切应力状态的应力圆3：二向等拉应力状态的应力圆并判断应力圆的圆心在那个轴上？1定圆心2定半径3画圆1求主应力2面内最大切应力)1()1(TSINGHUAUNIVERSITY§7-3二向应力状态分析？？---解析法主应力（计算）、主平面（位置确定！）思路----分析任意斜截面上的应力一任意斜截面上的应力要求：1掌握解决问题的思想要求：2考研的同学理解记忆公式TSINGHUAUNIVERSITYxyxyyxxy各量的含义1)左右面上的正应力上下面上的正应力2)左右面上的切应力TSINGHUAUNIVERSITY使微元或其局部顺时针方向转动为正；反之为负切应力正负号规定xy''yxyx方向角的正负号规定由x正向转到截面外法线逆时针为正反之为负yxn外法线注意：方向角的定义以及正负号规定1方向角与应力分量的正负号规定正应力正负规定拉应力为正压应力为负TSINGHUAUNIVERSITYTSINGHUAUNIVERSITY问题已知原始单元体互相垂直面上的应力求任意斜截面上的应力（斜截面的位置？？）解决问题的方法平衡的思想xyxyyxxyxyTSINGHUAUNIVERSITYxyxyyxxyxyxxyyxy2、单元体的局部平衡n+TSINGHUAUNIVERSITY0nFxyyyxdAx2、单元体的局部平衡-cos)cos(dAx-ydA(sin)sin0dAsindA(cos)xydA(sin)cosyxnt+0????TSINGHUAUNIVERSITY0tF平衡方程dA-xdA(cos)sin-xydA(cos)cosydA(sin)cosyxdA(sin)sin0xyyyxdAxntTSINGHUAUNIVERSITY3、平面应力状态任意方向面上的正应力与切应力sin2cos222xyyxyx--cos2sin22xyyx-xyxyyxxyxyTSINGHUAUNIVERSITY10MPa,30MPaxy-cos2sin222xyxyxy--3010301030cos6020sin6022--sin2cos22xyxy-301030sin6020cos602MPa10MPa30MPa20MPa20030例题1求斜面ab上的正应力和切应力yx解：ab303003017.32MPa-27.32MPa20MPa,20MPa,xyyx-TSINGHUAUNIVERSITY用斜截面截取，此截面上的应力为22sin2cos22xyyxyx--2cos2sin2xyyx---xyyxxy？？？思考009090TSINGHUAUNIVERSITYxyyxxy090-yx090即单元体两个相互垂直面上的正应力之和是一个常数即又一次证明了切应力的互等定理TSINGHUAUNIVERSITY二主平面、主应力与主应力方向1切应力为零的面为主平面??2主应力主平面上的正应力??3主应力方向------主平面的法线方向要求掌握主应力计算！！牢记公式，并进行排序！TSINGHUAUNIVERSITYyxxyτ22-＝－0tan二主平面、主应力与主应力方向1切应力为零的面为主平面sin2cos222xyyxyx--cos2sin22xyyx-0cos2sin220xy0yx0-O0090该式确定了两个相互垂直的主平面的位置TSINGHUAUNIVERSITYσσ对于平面应力状态，平行于xy坐标面的平面，其上既没有正应力，也没有切应力作用，前后面是一个主平面。0σ这一主平面上的主应力等于零TSINGHUAUNIVERSITY解出的角度角度α与α0完全重合。2求正应力的极值面0cos22sin2ddxyyx---)(yxxyτ22-＝－tan表明∶正应力的极值面与主平面重合；正应力的极值就是主应力；sin2cos222xyyxyx--上式对α求一次导数，并令其等于零yxxyτ22-＝－0tanTSINGHUAUNIVERSITY3平面应力状态的三个主应力yxxyτ22-＝－0tan0'''minmax2xy2yxyx)2(2-0xy0yxyxsin2cos222--将三个主应力代数值由大到小顺序排列;321主应力是一点应力状态的最终度量就是所谓的应力状态的不变性TSINGHUAUNIVERSITY由此得出另一特征角，用α1表示对α求一次导数，并令其等于零；不同方向面上的切应力亦随着坐标的旋转而变化，因而切应力亦存在极值三面内最大切应力cos2sin22xyyx-0sin22cos2ddxyyx--)(xyyxτ22-＝1tanTSINGHUAUNIVERSITY得到α的极值上述切应力极值仅对垂直于xy坐标面的方向面而言，因而称为面内最大切应力与面内最小切应力xyyxτ22-＝1tan1xy1yxcos2sin22-2xy2yx)2(-minmax特别指出：二者不一定是过一点的所有方向面中切应力的最大和最小值切记!TSINGHUAUNIVERSITY2xy2yx)2(-minmax0'''minmax2xy2yxyx)2(2-yxxyτ22-＝－0tanO0090主平面主应力面内最大(小)切应力总结TSINGHUAUNIVERSITY1主应力大小2（面内）最大切应力3主平面位置4绘出主（应力)单元体例题2：一点处的应力状态如图。xyxyMPa，60xMPa,30-xy,MPa40-y已知TSINGHUAUNIVERSITY1主应力计算2yxxyyx22)2(-maxMPa3.682yxxyyx22)2(--minMPa3.48-MPa3.48,0MPa,3.68321-yxxyMPa，60xMPa,30-xy,MPa40-y正应力的两个极值就是两个主应力公式排序??TSINGHUAUNIVERSITY2面内最大切应力xyyx22)2(-max3400yxxyMPa，60xMPa,30-xy,MPa40-yTSINGHUAUNIVERSITY3主平面的位置yxxytg--2206.0406060--,5.1505.105905.150yxxy代入表达式可知主应力方向：15.150主应力方向：35.1050MPa，60xMPa,30-xy,MPa40-y主应力方向---主平面的法线方向TSINGHUAUNIVERSITY简单方法主（应力）单元体1习惯直角坐标系按公式确定绝对值小于45度角的02判断给出原始单元体中代数值大的那个正应力3判断最大主应力(的区间)面的法线方向(的区间)(两个切应力箭头指向决定)4大(求出的主应力)之间夹角(小)大(原始单元体中代数值)第一主应力方向TSINGHUAUNIVERSITY4主(应力)单元体：yxxy5.1513,5.1505.105905.150MPa，60xMPa,30-xy,MPa40-y??????????MPa3.48,0MPa,3.68321-起点代数值大转向逆时针?最大主应力(代数值大)二向应力状态,0y若二向应力状态TSINGHUAUNIVERSITYxxy二向应力状态,0y横力弯曲除了梁顶(底)中性轴其它点xy中性轴圆轴扭转二向应力状态特别说明TSINGHUAUNIVERSITYP例题350700yMPax70-MPaxy50解：1主应力大小2主平面位置3绘出(主应力)单元体。TSINGHUAUNIVERSITY2max2min22xyxyxy-2696MPaMPa-027.5117.5或2a0MP1求主应力1a26MP3a96MP-2求主平面位置507027.513大大22)50()2070(2070---710070502220-----yxxytg大大3主单元体逆时针转?二向应力状态TSINGHUAUNIVERSITY主应力、主平面minmax2xy2yxyx)2(2-0'''yxxyτ22-＝－0tan2xy2yx)2(-minmaxO0090TSINGHUAUNIVERSITY练习求单元体4020401主应力的大小2主单元体3(面内)最大切应力（应力单位取MPa)MPaMPaMPaxyyx4020\\\\40---02.71\\\\2.11231-MPaMPaMPa2.41max'593700-顺时针!!TSINGHUAUNIVERSITY为什么脆性材料扭转时沿45º螺旋面断开？铸铁扭转TSINGHUAUNIVERSITY例题4：讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象Me0xyxy解:1(取单元体)圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，其值为yx这也是横力弯曲中性轴上点的单元体tWMeT)(TSINGHUAUNIVERSITY2max2min22xyxyxy-yx022tan200xyxy-----045135--或2求主应力3求主平面位置132013-454主单元体二向应力状态TSINGHUAUNIVERSITY分析破坏原因MeMeTSINGHUAUNIVERSITY§7-4二向应力状态分析-图解法？？一、应力圆方程二、应力圆的画法三、应力圆的应用四、几种特殊应力状态的应力圆如何绘制圆？？TSINGHUAUNIVERSITY一、应力圆方程2sin2cos2)2(xyyxyx---2cos2sin2xyyx-2sin2cos22xyyxyx--xyyxyx2222)2()2(--TSINGHUAUNIVERSITY——半径转过的角度是方向面法线旋转角度的两倍；——半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；——应力圆上某一点的坐标值对应着微元某一方向面上的正应力和切应力；二、应力圆的画法1、点面对应2、转向对应3、二倍角对应xyxyyxxyxyTSINGHUAUNIVERSITY点面对应yyxxyxCEeTSINGHUAUNIVERSITYCDyyxxyxenE2转向对应二倍角对应与二倍角对应xdTSINGHUAUNIVERSITYOCD(x,xy)D’(y,yx)建立坐标系由面找点确定圆心和半径xyAyyxBx具体作圆步骤xxyAy